AMC 8 · 1999 · #12

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionpercentagefraction-arithmetic ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticpercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The ratio of the number of games won to the number of games lost (no ties) by the Middle School Middies is $11/4$ . To the nearest whole percent, what percent of its games did the team lose?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

24%

(B)

27%

(C)

36%

(D)

45%

(E)

73%

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 팀의 승패 비가 $11:4$ 이고 무승부는 없습니다. 진 경기의 비율을 가장 가까운 정수 백분율로 반올림하면 얼마일까요?

주어진 것: 이긴 경기 수와 진 경기 수의 비 $= \dfrac{11}{4}$; 무승부가 없어 모든 경기는 승 아니면 패; 답은 패배 백분율을 가장 가까운 정수 백분율로 반올림한 값; 선택지: (A) $24\%$, (B) $27\%$, (C) $36\%$, (D) $45\%$, (E) $73\%$

구하는 것: 전체 경기 중 진 경기의 백분율 (가장 가까운 정수)

이해

문제 재정리: 한 팀의 승패 비가 $11:4$ 이고 무승부는 없습니다. 진 경기의 비율을 가장 가까운 정수 백분율로 반올림하면 얼마일까요?

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기

실제 경기 수는 주어져 있지 않고 비 $11:4$ 만 주어졌어요. 그러니 같은 비를 가진 어떤 팀이든 패배 백분율은 같아야 합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 "그러면 가장 단순한 팀을 골라" 라고 말해요 — 정확히 $11$ 승 $4$ 패, 즉 전체 $15$ 경기를 택하면 됩니다. 그러면 패배 비율은 $\tfrac{4}{15}$, 변수도 필요 없어요. 도구 #1(그림 그리기) 은 $15$ 칸짜리 띠를 그려 그중 $4$ 칸을 색칠하는 보조 역할이에요. 백분율로 바꾸기 전에 분수를 눈으로 먼저 확인할 수 있죠.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.1 단계 1

비 $11:4$ 를 그대로 만족하는 가장 쉬운 일정을 잡습니다.
가장 작은 자연수 조합은 $11$ 승 $4$ 패, 즉 $11 + 4 = 15$ 경기입니다.
비를 같이 키운 다른 일정(예: $22$ 승 $8$ 패)도 두 수가 같은 배율로 늘기 때문에 패배 비율은 그대로입니다.

$$\text{승} = 11,\; \text{패} = 4,\; \text{전체} = 15$$

💡 비 $11:4$ 는 "$11$ 승마다 $4$ 패" 라는 6학년식 표현. 그 묶음을 딱 한 번만 가져오는 게 가장 단순한 경우입니다.

#1 그림 그리기 3.NF.A.1 단계 2

$15$ 경기를 $15$ 칸 짜리 띠로 그리고 $11$ 칸은 W(승), $4$ 칸은 L(패) 로 표시합니다.
패배 비율은 색칠된 부분, 즉 전체 띠의 $\tfrac{4}{15}$ 입니다.

$$\text{패배 비율} = \dfrac{\text{패}}{\text{전체}} = \dfrac{4}{15}$$

💡 띠를 $15$ 등분해서 그중 $4$ 칸을 세는 것은 3학년식으로 $\tfrac{4}{15}$ 를 "$\tfrac{1}{15}$ 짜리 $4$ 개" 로 정의하는 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 3

분수에 $100\%$ 를 곱해 백분율로 바꿉니다.
$400 \div 15$ 를 계산해 소수 백분율을 얻습니다.

$$\dfrac{4}{15} \times 100\% = \dfrac{400}{15}\% = 26.\overline{6}\%$$

💡 백분율은 "100 당" 이라는 뜻. 분수에 $100$ 을 곱하면 같은 비율을 100 당 표현으로 다시 쓰는 6학년식 변환입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.4 단계 4

$26.\overline{6}\%$ 를 가장 가까운 정수 백분율로 반올림합니다.
소수 첫째 자리 $6$ 은 $5$ 이상이므로 올림합니다.

$$26.\overline{6}\% \;\longrightarrow\; 27\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 5학년 반올림 규칙: 다음 자리 숫자를 본다. $6 \ge 5$ 이므로 정수 부분이 1 올라갑니다.

[1] #9 6.RP.A.1 비 $11:4$ 를 그대로 만족하는 가장 쉬운 일정을 잡습니다. 가장 작은 자연수 조합은 $11$ 승 $4$ 패, 즉 $11 + 4 = 15$

[2] #1 3.NF.A.1 $15$ 경기를 $15$ 칸 짜리 띠로 그리고 $11$ 칸은 W(승), $4$ 칸은 L(패) 로 표시합니다. 패배 비율은 색칠된 부분, 즉 전체

[3] #9 6.RP.A.3 분수에 $100\%$ 를 곱해 백분율로 바꿉니다. $400 \div 15$ 를 계산해 소수 백분율을 얻습니다.

[4] #9 5.NBT.A.4 $26.\overline{6}\%$ 를 가장 가까운 정수 백분율로 반올림합니다. 소수 첫째 자리 $6$ 은 $5$ 이상이므로 올림합니다.

검토

합리성 확인: 크기 점검: 진 경기보다 이긴 경기가 많으므로 패배 백분율은 $50\%$ 보다 작아야 합니다. 그러면 (D) $45\%$ 는 아슬아슬하고 (E) $73\%$ 는 즉시 탈락. 또 $\tfrac{4}{15}$ 는 $\tfrac{4}{16} = \tfrac{1}{4} = 25\%$ 와 가깝기 때문에 답은 $25\%$ 보다 살짝 큰 값이어야 합니다 — (A) $24\%$ ($25\%$ 미만) 와 (C) $36\%$ (너무 큼) 탈락. 남는 건 (B) $27\%$, 계산과 일치합니다. 일반 팀 $11k$ 승 $4k$ 패로 다시 확인하면 패배 비율 $= \tfrac{4k}{15k} = \tfrac{4}{15}$ 로 $k$ 와 무관하게 같은 답이 나와, 쉬운 경우로 줄인 풀이가 옳음을 확인해 줍니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 팀이 $11k$ 승 $4k$ 패라고 두면 전체 $15k$ 경기, 패배 비율 $= \tfrac{4k}{15k} = \tfrac{4}{15}$. 백분율로 바꾸면 $\tfrac{4}{15} \times 100\% \approx 26.67\%$, 반올림 $27\%$. 같은 답이지만 대수 풀이는 "$k$ 가 약분된다" 는 점을 명시적으로 보여줍니다. 도구 #9 풀이는 같은 결론에 기호 하나 덜 쓰고 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 비 언어로 설명하기 ($11:4$ 를 "$11$ 승마다 $4$ 패" 로 읽고 가장 작은 일정 $11$ 승 $4$ 패를 고르는 데 사용.)
3.NF.A.1 전체를 $b$ 등분한 한 부분의 양을 분수 $1/b$ 로 이해하기 ($15$ 경기를 $15$ 등분으로 보고 $4$ 패를 전체의 $\tfrac{4}{15}$ 로 세는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 백분율을 포함한 실생활 및 수학 문제 해결하기 (패배 비율 $\tfrac{4}{15}$ 에 $100$ 을 곱해 $\tfrac{400}{15}\% = 26.\overline{6}\%$ 로 백분율로 바꾸는 데 사용.)
5.NBT.A.4 자릿값 이해를 활용해 소수를 임의의 자리에서 반올림하기 ($26.\overline{6}\%$ 를 정수 백분율로 반올림 — 소수 첫째 자리 $6$ 이므로 정수 부분을 올려 $27$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 비가 답을 정해 주는 문제에서는 모르는 전체 경기 수를 비가 그대로인 가장 작은 일정($11$ 승 $4$ 패, 전체 $15$)으로 바꿔요. 그러면 "$15$ 중 $4$" 가 나누고 반올림 한 번으로 약 $27\%$ 가 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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