AMC 8 · 2016 · #19
쉬운 모드 학년 6문제
25개의 짝수가 한 줄로 늘어선 모습을 떠올려봅시다. 각 수는 바로 앞 수보다 2만큼 큽니다. 예를 들어 2,4,6,8,… 같은 식으로 이어지지만, 여기 나오는 수열은 다른 수에서 시작해요.
이 25개 수를 모두 더하면 합이 10,000이 됩니다.
이 수열에서 가장 큰 수는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 연속하는 짝수 $25$ 개, 즉 $..., n-4, n-2, n, n+2, n+4, ...$ 형태로 늘어놓은 정수들의 합이 $10{,}000$ 입니다. 이 중 가장 큰 수는 얼마일까요?
주어진 것: 정수가 정확히 $25$ 개 있다; 연속하는 짝수이다 (이웃한 항은 $2$ 씩 차이가 난다); $25$ 개의 합은 $10{,}000$ 이다; 선택지: (A) $360$, (B) $388$, (C) $412$, (D) $416$, (E) $424$
구하는 것: $25$ 개의 짝수 중 가장 큰 수 ($25$ 번째 항)
이해
문제 재정리: 연속하는 짝수 $25$ 개, 즉 $..., n-4, n-2, n, n+2, n+4, ...$ 형태로 늘어놓은 정수들의 합이 $10{,}000$ 입니다. 이 중 가장 큰 수는 얼마일까요?
주어진 것: 정수가 정확히 $25$ 개 있다; 연속하는 짝수이다 (이웃한 항은 $2$ 씩 차이가 난다); $25$ 개의 합은 $10{,}000$ 이다; 선택지: (A) $360$, (B) $388$, (C) $412$, (D) $416$, (E) $424$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기
연속 짝수 $25$ 개를 일일이 나열하기는 벅찹니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $3$ 개나 $5$ 개를 먼저 더해 보면 "합 $=$ 개수 $\times$ 가운데 항" 이라는 규칙이 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 규칙을 그대로 적용하면 가운데 항이 $10{,}000 \div 25 = 400$ 으로 단번에 나오죠. 마지막은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가운데 항 구하기 $\to$ 거기서 $12$ 칸 오른쪽으로 $+2$ 씩 이동" 두 단계로 나눠 가장 큰 항에 도달합니다. 도구 #13(대수) 을 꺼낼 필요가 전혀 없습니다.
실행 — 정답: E
3.OA.B.5 단계 1 - $3$ 개로 줄여서 연습해 봅시다.
- $4, 6, 8$ 의 합은 $18$ 이고, 이는 $3 \times 6$ ($6$ 이 가운데 항) 과 같습니다.
- $5$ 개도 확인: $2, 4, 6, 8, 10$ 의 합은 $30 = 5 \times 6$ 이고 가운데 항은 다시 $6$ 입니다.
- 규칙은 "홀수 개의 균등 간격 수열에서 합 $=$ 개수 $\times$ 가운데 항".
💡 가운데 항을 중심으로 양옆이 짝지어 상쇄된다는 사실을 작은 예에서 먼저 확인하는 것은 3학년 "연산 성질" 활동 그대로입니다.
6.SP.B.5 단계 2 - 이 규칙을 원래 문제에 적용합니다.
- 항이 $25$ 개로 홀수이니, 합 $= 25 \times$ (가운데 항) 입니다.
- 양변을 $25$ 로 나누면 가운데 항이 바로 나옵니다.
💡 홀수 개의 균등 간격 수열에서는 평균과 가운데 값이 같다는 것은 6학년 통계 개념입니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 가운데 위치를 찾습니다.
- $25$ 개의 한가운데는 $13$ 번째 항입니다 ($12$ 개가 왼쪽, $12$ 개가 오른쪽).
- 그러므로 $13$ 번째 항이 $400$.
💡 전체 개수를 "가운데보다 앞 / 가운데 / 가운데보다 뒤" 로 쪼개는 것은 4학년 수열 위치 감각입니다.
4.OA.C.5 단계 4 $13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지는 $25 - 13 = 12$ 칸이고, 연속 짝수라 한 칸 갈 때마다 $2$ 씩 커집니다.
💡 공차를 $12$ 번 더해서 $13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지 이동하는 것은 4학년 "규칙에 따라 수 만들기" 의 건너뛰며 세기 그대로입니다.
3.OA.B.5 $3$ 개로 줄여서 연습해 봅시다. $4, 6, 8$ 의 합은 $18$ 이고, 이는 $3 \times 6$ ($6$ 이 가운데 항) 과 같습니다 6.SP.B.5 이 규칙을 원래 문제에 적용합니다. 항이 $25$ 개로 홀수이니, 합 $= 25 \times$ (가운데 항) 입니다. 양변을 $25$ 로 나누면 4.OA.C.5 가운데 위치를 찾습니다. $25$ 개의 한가운데는 $13$ 번째 항입니다 ($12$ 개가 왼쪽, $12$ 개가 오른쪽). 그러므로 $13$ 번째 4.OA.C.5 $13$ 번째 항에서 $25$ 번째 항까지는 $25 - 13 = 12$ 칸이고, 연속 짝수라 한 칸 갈 때마다 $2$ 씩 커집니다. 검토
합리성 확인: 가장 작은 항도 같이 확인합니다. $400 - 12 \times 2 = 376$ 이니 수열은 $376, 378, \ldots, 424$. 양 끝부터 짝지으면 $376 + 424 = 800$, 가운데 $400$ 을 빼면 $12$ 쌍이 남고 모두 $800$. 합 $= 12 \times 800 + 400 = 9600 + 400 = 10{,}000$. \checkmark\ 답 $424$ 는 보기 중 가장 큰 값이고, 가운데가 깔끔한 $400$ 이라는 점과도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 검증합시다. 가장 큰 항을 $L$ 이라 하면 가장 작은 항은 $L - 48$ 이고, 합은 $25 \times \dfrac{L + (L - 48)}{2} = 25(L - 24)$. 이를 $10{,}000$ 으로 놓으면 $L - 24 = 400$, 즉 $L = 424$. (E) 만 식을 만족하고 (A)–(D) 는 모두 어긋납니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.OA.B.5연산의 성질을 곱셈·나눗셈 전략으로 활용 ($3$ 개 / $5$ 개의 작은 예에서 합이 "개수 $\times$ 가운데 항" 으로 인수분해됨을 확인 — 분배·교환 법칙의 응용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($25$ 항 중 가운데 위치인 $13$ 번째 항을 찾고, 거기서 공차 $2$ 를 $12$ 번 더해 $25$ 번째 항에 도달.)6.SP.B.5수치 자료의 평균·중앙값으로 자료 요약 (홀수 개의 균등 간격 수열에서 평균($10{,}000 / 25 = 400$) 이 곧 가운데 값과 같다는 사실을 사용.)
⭐ 균등 간격으로 늘어선 수가 홀수 개라면, 평균이 바로 가운데 수예요 — 6학년에서 배우는 이 사실 하나로 AMC 8 문제가 나눗셈 한 번에 풀립니다!
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