AMC 8 · 2017 · #13
쉬운 모드 학년 2문제
피터, 엠마, 카일러가 체스를 여러 판 두었어요. 한 판마다 셋 중 두 사람이 맞붙고, 둘 중 한 명은 이기고 한 명은 졌습니다. (무승부는 없어요.)
세 사람에 대해 알고 있는 정보는 이래요:
- 피터는 4 판 이기고 2 판 졌어요.
- 엠마는 3 판 이기고 3 판 졌어요.
- 카일러는 3 판 졌어요.
카일러는 몇 판을 이겼을까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 피터, 엠마, 카일러 세 친구가 서로 체스를 두었습니다(무승부 없음). 피터는 $4$ 번 이기고 $2$ 번 졌고, 엠마는 $3$ 번 이기고 $3$ 번 졌으며, 카일러는 $3$ 번 졌습니다. 카일러는 몇 번 이겼을까요?
주어진 것: 피터: $4$ 승, $2$ 패; 엠마: $3$ 승, $3$ 패; 카일러: $3$ 패(승수는 모름); 체스 한 판마다 이긴 사람 한 명, 진 사람 한 명이 반드시 정해진다(무승부 없음); 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: 카일러가 이긴 게임 수 $W_K$
이해
문제 재정리: 피터, 엠마, 카일러 세 친구가 서로 체스를 두었습니다(무승부 없음). 피터는 $4$ 번 이기고 $2$ 번 졌고, 엠마는 $3$ 번 이기고 $3$ 번 졌으며, 카일러는 $3$ 번 졌습니다. 카일러는 몇 번 이겼을까요?
주어진 것: 피터: $4$ 승, $2$ 패; 엠마: $3$ 승, $3$ 패; 카일러: $3$ 패(승수는 모름); 체스 한 판마다 이긴 사람 한 명, 진 사람 한 명이 반드시 정해진다(무승부 없음); 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
각 게임을 "진 사람 $\to$ 이긴 사람" 화살표 하나로 그려 보면, 화살표 하나마다 승 하나와 패 하나가 동시에 생긴다는 사실이 눈에 그대로 들어옵니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 "승의 총합 $=$ 패의 총합" 이라는 핵심 규칙을 추상이 아니라 그림으로 보여 줍니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 다섯 개의 선택지를 직접 식에 대입해 답을 확인하는 안전장치 역할을 합니다.
실행 — 정답: B
1.OA.A.1 단계 1 - 모든 게임을 화살표 한 개로 상상해 봅시다.
- 두 친구가 한 판을 두면 이긴 쪽(화살표 머리) 한 명과 진 쪽(화살표 꼬리) 한 명이 생깁니다.
- 그래서 세 친구가 둔 게임을 전부 화살표로 그리면, 화살표 머리의 개수(총 승수) 와 꼬리의 개수(총 패수) 는 반드시 같아집니다.
💡 게임 한 판을 화살표 하나로 바꾸면 승과 패가 한 쌍씩 생기는 게 보입니다 — 1학년 "더하기·빼기 그림" 그대로입니다.
1.OA.A.2 단계 2 - 문제가 알려 준 패수를 모두 더합니다.
- 피터는 $2$ 번, 엠마는 $3$ 번, 카일러는 $3$ 번 졌으므로 세 친구가 진 횟수의 합은 $2 + 3 + 3 = 8$ 입니다.
💡 작은 세 수를 한꺼번에 더해 $20$ 이하의 합을 구하는 1학년 문장제 유형입니다.
1.OA.A.1 단계 3 - 이번엔 이미 아는 승수를 더합니다.
- 피터 $4$ 승 $+$ 엠마 $3$ 승 $= 7$ 승까지는 확실하고, 여기에 카일러의 승수 $W_K$ 가 아직 빠져 있습니다.
💡 아는 수는 더해 두고 모르는 수에 $W_K$ 라는 이름표를 붙이는 1학년 "미지의 더하는 수" 세팅입니다.
2.OA.A.1 단계 4 - 1단계의 규칙(승수 합 $=$ 패수 합)을 적용합니다.
- $7 + W_K$ 가 $8$ 과 같아야 하므로, 카일러의 승수는 $7$ 을 $8$ 로 만들어 주는 "빠진 더하는 수" 입니다.
💡 "$7$ 에 얼마를 더하면 $8$ 이 될까?" 는 2학년 한 단계 빼기 문장제입니다.
2.OA.A.1 단계 5 - 구한 수를 선택지와 맞춰 봅니다.
- 카일러가 이긴 게임 수는 $1$, 즉 (B) 입니다.
- 다른 선택지를 $7 + W_K = 8$ 에 직접 대입해 봐도 $W_K = 1$ 만 식을 만족시켜 답이 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.
💡 선택지를 식에 직접 넣어 검산하는 것은 2학년 한 단계 식의 점검입니다.
1.OA.A.1 모든 게임을 화살표 한 개로 상상해 봅시다. 두 친구가 한 판을 두면 이긴 쪽(화살표 머리) 한 명과 진 쪽(화살표 꼬리) 한 명이 생깁니다. 1.OA.A.2 문제가 알려 준 패수를 모두 더합니다. 피터는 $2$ 번, 엠마는 $3$ 번, 카일러는 $3$ 번 졌으므로 세 친구가 진 횟수의 합은 $2 + 1.OA.A.1 이번엔 이미 아는 승수를 더합니다. 피터 $4$ 승 $+$ 엠마 $3$ 승 $= 7$ 승까지는 확실하고, 여기에 카일러의 승수 $W_K$ 가 아 2.OA.A.1 1단계의 규칙(승수 합 $=$ 패수 합)을 적용합니다. $7 + W_K$ 가 $8$ 과 같아야 하므로, 카일러의 승수는 $7$ 을 $8$ 로 만 2.OA.A.1 구한 수를 선택지와 맞춰 봅니다. 카일러가 이긴 게임 수는 $1$, 즉 (B) 입니다. 다른 선택지를 $7 + W_K = 8$ 에 직접 대입해 검토
합리성 확인: $W_K = 1$ 은 선택지 범위 $0$~$4$ 안에 있어 자연스럽습니다. 한 번 더 점검하면 승수 합 $= 4 + 3 + 1 = 8$, 패수 합 $= 2 + 3 + 3 = 8$ 로 두 값이 같으므로 "한 판당 승 하나, 패 하나" 라는 게임의 기본 성질과도 모순이 없습니다. 또 카일러는 승($1$) 보다 패($3$) 가 더 많아서 다른 두 친구가 카일러에게서 게임을 더 많이 따냈다는 문제 상황과도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로도 풀 수 있습니다. 세 쌍(피터-엠마, 피터-카일러, 엠마-카일러) 사이의 승패 수를 직접 적어 가며 피터 $4$ 승 $2$ 패, 엠마 $3$ 승 $3$ 패가 되도록 맞춰 봅니다. 예를 들어 피터가 카일러에게 $3$-$0$, 엠마에게 $1$-$2$, 엠마가 카일러에게 $2$-$1$ 이면 카일러의 승수는 $0 + 1 = 1$ 로 (B) 가 그대로 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
1.OA.A.120 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 (각 게임을 "승 $1$, 패 $1$" 이 동시에 생기는 한 단계 더하기 상황으로 그려서 총 승수의 식을 세우는 데 사용.)1.OA.A.2합이 20 이내인 세 자연수 문장제 해결 (세 친구의 패수 $2 + 3 + 3 = 8$ 을 한꺼번에 더해 총 패수를 구하는 데 사용.)2.OA.A.1100 이내 덧셈·뺄셈을 이용한 한·두 단계 문장제 해결 ($7 + W_K = 8$ 의 빠진 더하는 수를 구하고 선택지로 검산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 "빠진 더하는 수" 덧셈·뺄셈 문장제만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 "빠진 더하는 수" 덧셈·뺄셈 문장제만 알면 풀 수 있어요!
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