AMC 8 · 2017 · #15

쉬운 모드 학년 4

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문제

글자와 숫자가 격자처럼 배열되어 있다고 떠올려 봅시다. 한가운데에는 $A$ 가 있어요. $A$ 주위에는 $M$ 이 있고, 그 바깥에는 $C$ 가 있고, 가장자리에는 $8$ 이 있어요.

이 격자 위에서 칸을 따라 이동하면서 $\text{AMC8}$ 을 차례대로 만들어 봅시다. 규칙은 다음과 같아요:

가운데 $A$ 에서 출발합니다.
한 걸음은 바로 옆 칸(위·아래·왼쪽·오른쪽)으로만 이동할 수 있어요. 대각선 이동은 안 돼요.
첫 걸음은 $M$ 위로, 두 번째 걸음은 $C$ 위로, 세 번째 걸음은 $8$ 위로 가야 해요.

이렇게 $\text{AMC8}$ 을 만들 수 있는 서로 다른 경로는 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마름모 모양 격자의 한가운데에 글자 A가 놓여 있고, 그 주위로 M, C, 8이 배치되어 있습니다. 가운데 A에서 출발해 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 인접한 칸으로만 한 칸씩 움직이면서 A-M-C-8 순서로 글자를 따라가는 서로 다른 경로는 모두 몇 가지인가요?

주어진 것: 가운데 칸은 A이고, 주변 글자는 그림과 같이 배치되어 있다; 한 번에 위·아래·왼쪽·오른쪽으로 인접한 칸 하나로만 이동할 수 있다 (대각선 불가); 각 이동은 A $\to$ M $\to$ C $\to$ 8 순서의 다음 글자에 도착해야 한다; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $12$, (D) $24$, (E) $36$

구하는 것: 가운데 A에서 출발해 A-M-C-8을 만드는 서로 다른 경로의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기

격자 위에서 길을 따라가는 순수 공간 문제이므로 도구 #1(그림 그리기) 가 출발점입니다. 그림을 그려 두면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "세 번의 이동" 을 세 개의 작은 셈 — A $\to$ M, M $\to$ C, C $\to$ 8 — 으로 나눠서 다룰 수 있습니다. 그리고 도구 #5(패턴 찾기) 가 결정타입니다: 모든 M에서 갈 수 있는 C의 수가 같고, 모든 C에서 갈 수 있는 8의 수도 같다는 패턴을 발견하면, 일일이 경로를 늘어놓을 필요 없이 세 단계의 선택지 수를 곱하기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

1단계 — 가운데 A에서 인접한 M으로 가는 경우의 수를 세어 봅니다.
그림에서 가운데 A의 직각 방향 이웃은 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽의 M 네 개입니다.
따라서 첫 이동의 선택지는 $4$ 가지입니다.

$$\text{A} \to \text{M}: \; 4 \text{ 가지}$$

💡 A의 "위·아래·왼쪽·오른쪽" 으로 위치를 말하는 것은 유치원 수준의 공간 표현입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

2단계 — 어떤 M에서 출발하든 다음에 갈 수 있는 C의 개수를 셉니다.
예를 들어 A 바로 위에 있는 M을 보면, 그 이웃은 (이미 지나온) A 하나와 왼쪽·위·오른쪽의 C 세 개입니다.
따라서 그 M에서 갈 수 있는 C는 $3$ 개.
격자의 대칭성에 의해 아래·왼쪽·오른쪽 M에서도 똑같이 $3$ 가지 선택지가 나옵니다.

$$\text{M} \to \text{C}: \; \text{모든 M마다 } 3 \text{ 가지}$$

💡 M마다 "3개" 라는 같은 규칙이 반복된다는 사실을 알아채는 것은 4학년 "규칙을 가진 패턴 만들기" 와 똑같습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

3단계 — 어떤 C에서 출발하든 다음에 갈 수 있는 8의 개수를 셉니다.
두 종류의 C를 모두 확인해야 합니다.
(1) A의 대각선 위치에 있는 안쪽 C는 M 두 개와 8 두 개에 인접 → 8 은 $2$ 개.
(2) 마름모 꼭짓점 쪽 바깥 C는 M 하나와 8 두 개에 인접 → 8 은 $2$ 개.
어느 쪽이든 C마다 8의 선택지는 정확히 $2$ 가지입니다.

$$\text{C} \to 8: \; \text{모든 C마다 } 2 \text{ 가지}$$

💡 두 종류의 C 모두에서 같은 "2개" 규칙이 나오는지 확인하는 것 역시 4학년 패턴 규칙 점검입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 4

4단계 — 세 단계의 선택지 수를 곱의 법칙으로 모읍니다 (단계마다 독립적인 선택의 수를 가질 때 총 경우의 수 = 단계별 선택지의 곱, 이는 3학년 곱셈 개념).
따라서 A-M-C-8 경로의 총 개수는 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 이고, 답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.

$$4 \times 3 \times 2 = 24 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 단계별 선택지를 곱해서 총 경우를 구하는 것은 3학년 "몇 묶음 $\times$ 한 묶음당 몇 개" 곱셈과 똑같은 아이디어입니다.

[1] #1 K.G.A.1 1단계 — 가운데 A에서 인접한 M으로 가는 경우의 수를 세어 봅니다. 그림에서 가운데 A의 직각 방향 이웃은 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽의 M

[2] #5 4.OA.C.5 2단계 — 어떤 M에서 출발하든 다음에 갈 수 있는 C의 개수를 셉니다. 예를 들어 A 바로 위에 있는 M을 보면, 그 이웃은 (이미 지나온)

[3] #5 4.OA.C.5 3단계 — 어떤 C에서 출발하든 다음에 갈 수 있는 8의 개수를 셉니다. 두 종류의 C를 모두 확인해야 합니다. (1) A의 대각선 위치에 있는

[4] #7 3.OA.A.3 4단계 — 세 단계의 선택지 수를 곱의 법칙으로 모읍니다 (단계마다 독립적인 선택의 수를 가질 때 총 경우의 수 = 단계별 선택지의 곱, 이는

검토

합리성 확인: $24$ 라는 값이 그럴듯한가? 이동이 $3$ 번이고 매 단계 최대 $4$ 가지 선택이라고 보면 상한은 $4 \times 4 \times 4 = 64$. 우리의 답 $24$ 는 그 안에 충분히 들어옵니다. 대칭성으로도 확인해 봅시다 — 위로 출발하는 경로, 아래·왼쪽·오른쪽으로 출발하는 경로의 수는 모두 같아야 합니다. 위로 출발하면 M에서 C가 $3$ 가지, 각 C에서 8이 $2$ 가지이므로 한 방향당 $3 \times 2 = 6$ 가지, 네 방향이면 $6 \times 4 = 24$. 같은 값이 나오므로 답이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 직접 셀 수도 있습니다. A에서 출발하는 네 방향(위, 오른쪽, 아래, 왼쪽) 을 차례로 정해 두고, 각 방향마다 M에서 갈 수 있는 C 세 개, 각 C에서 갈 수 있는 8 두 개를 표로 적어 내려가면 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 개의 경로가 빠짐없이 나열되고, 같은 칸을 두 번 지나는 경로가 없는지 눈으로 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

K.G.A.1 위, 아래, 옆, 앞과 같은 표현으로 사물의 위치 설명하기 (가운데 A의 직각 방향 이웃이 위·아래·왼쪽·오른쪽 네 개이고 모두 M이라는 것을 알아내는 데 사용.)
3.OA.A.3 100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (단계별 선택지 수를 곱의 법칙으로 모아 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 를 계산하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (모든 M마다 C의 선택지가 똑같이 $3$ 개, 모든 C마다 8의 선택지가 똑같이 $2$ 개라는 반복 규칙을 확인하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "같은 규칙이 반복되는 패턴 알아채기" 와 3학년 때 배운 "단계별 선택지 곱하기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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