AMC 8 · 2018 · #19

쉬운 모드 학년 4

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문제

상자들로 만든 피라미드를 떠올려 봅시다. 맨 아래 줄에는 상자가 $4$ 개 있어요. 그 위에 $3$ 개짜리 줄이 있고, 다시 그 위에 $2$ 개, 그리고 맨 꼭대기에는 상자 한 개가 놓여 있습니다.

각 상자 안에는 "+" 또는 "-" 가 하나 들어가요.

위쪽 줄에 들어가는 부호는 이런 규칙으로 정해져요. 맨 아래가 아닌 상자를 하나 봅시다. 이 상자는 바로 아래 두 상자 위에 올라가 있어요.

아래 두 상자의 부호가 같으면 (둘 다 "+" 거나 둘 다 "-"), 위 상자는 "+" 가 됩니다.
아래 두 상자의 부호가 다르면 (하나는 "+", 하나는 "-"), 위 상자는 "-" 가 됩니다.

(아래 그림은 피라미드를 채운 예시 하나를 보여줘요.)

내가 직접 정할 수 있는 건 맨 아래 줄의 $4$ 개 부호뿐이에요. 이 $4$ 개를 정하고 나면, 나머지 상자는 규칙에 따라 저절로 정해져요.

맨 꼭대기 상자가 "+" 가 되게 하려면, 맨 아래 줄의 $4$ 개 부호를 몇 가지 방법으로 채울 수 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $4$ 층짜리 부호 피라미드가 있습니다. 맨 아래 줄에는 $4$ 칸이 있고, 각 칸에는 $+$ 또는 $-$ 가 들어갑니다. 윗칸의 부호는 아래 두 칸의 부호가 같으면 $+$, 다르면 $-$ 가 되는 규칙으로 정해집니다. 맨 아래 줄을 채우는 모든 방법 중에서, 꼭대기 칸이 $+$ 가 되는 경우는 몇 가지일까요?

주어진 것: 맨 아래 줄의 칸은 $4$ 개이고, 각 칸은 독립적으로 $+$ 또는 $-$; 맨 아래 줄을 채우는 전체 경우의 수 $= 2^4 = 16$ 가지; 결합 규칙: 같으면 $+$, 다르면 $-$ (문제의 예시 그림이 보여 주는 규칙 그대로); 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $8$, (D) $12$, (E) $16$

구하는 것: $16$ 가지 채우기 중에서 꼭대기 칸이 $+$ 가 되는 경우의 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기

맨 아래 줄을 채우는 경우의 수는 $2^4 = 16$ 가지뿐이라 손으로 모두 나열해 볼 수 있습니다 (도구 #2). 다만 곧장 $16$ 가지를 다 적기보다, 먼저 맨 아래 줄이 $2$ 칸인 더 작은 피라미드 (도구 #9 더 쉬운 문제) 와 $3$ 칸인 경우를 풀어 보고, 거기서 규칙성을 찾는 (도구 #5) 게 훨씬 깔끔합니다. 작은 경우에서 보이는 규칙은 "맨 왼쪽 한 칸만 바꾸면 꼭대기 부호도 그대로 한 번 뒤집힌다" 라는 점이고, 그래서 전체의 정확히 절반이 꼭대기에 $+$ 를 만든다는 결론이 나옵니다. $4$ 칸짜리에도 같은 논리를 적용한 뒤, 마지막에 직접 나열해서 한 번 더 검증합니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

먼저 규칙을 깔끔히 정리합니다.
문제의 그림을 보면 윗칸은 아래 두 칸에 의해 다음과 같이 결정됩니다: $(+,+)\to+$, $(-,-)\to+$, $(+,-)\to-$, $(-,+)\to-$.
즉 윗칸이 $+$ 가 되는 것은 "아래 두 칸의 부호가 같을 때" 뿐입니다.

$$\text{윗칸} = +\;(\text{두 칸이 같을 때}),\;\;-\;(\text{다를 때})$$

💡 이것은 4학년의 "주어진 규칙대로 패턴 만들기" 그대로입니다 — 입력 두 개에서 출력 한 개를 만드는 규칙을 반복 적용할 뿐입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

쉬운 문제부터 시작합니다.
맨 아래 줄이 $2$ 칸인 아주 작은 피라미드를 생각하면 채우는 방법은 $2^2 = 4$ 가지입니다.
규칙대로 꼭대기를 구해 봅시다: $(+,+)\to+$, $(+,-)\to-$, $(-,+)\to-$, $(-,-)\to+$.
$4$ 가지 중 꼭대기가 $+$ 인 것은 정확히 $2$ 가지 — 절반입니다.

$$n=2\;:\;\text{꼭대기}=+\;\text{인 경우}\;=\;\tfrac{2}{4}\;=\;\tfrac{1}{2}$$

💡 문제를 작게 줄이면 (도구 #9) 4학년 학생도 손으로 규칙을 직접 적용해 보고 어느 정도가 "성공" 인지 확인할 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 3

다음 단계: 맨 아래 줄이 $3$ 칸인 경우.
채우는 방법은 $2^3 = 8$ 가지입니다.
순서를 정해 빠짐없이 나열한 뒤 규칙을 두 번 적용해 꼭대기를 구합니다: $+\!+\!+\to+$, $+\!+\!-\to-$, $+\!-\!+\to+$, $+\!-\!-\to-$, $-\!+\!+\to-$, $-\!+\!-\to+$, $-\!-\!+\to-$, $-\!-\!-\to+$.
꼭대기가 $+$ 인 것은 $8$ 가지 중 $4$ 가지 — 또 절반입니다.

$$n=3\;:\;\text{꼭대기}=+\;\text{인 경우}\;=\;\tfrac{4}{8}\;=\;\tfrac{1}{2}$$

💡 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 핵심은 정한 순서대로 적는 것 — 4학년의 규칙 적용을 한 줄씩 따라가면 빠짐없이 셀 수 있습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

이제 패턴을 찾습니다 (도구 #5).
$n=2$ 와 $n=3$ 모두 꼭대기가 $+$ 인 경우가 정확히 절반입니다.
그 이유는 어떤 채우기 하나를 골라 "맨 왼쪽 한 칸의 부호만 뒤집어 보면" 알 수 있습니다.
그 바뀐 칸 위에 있는 칸이 $+$ 에서 $-$ (또는 그 반대로) 바뀌고, 그 위에 있는 칸도 같이 뒤집히면서, 꼭대기까지 한 번 뒤집힘이 전달됩니다.
그러니까 맨 왼쪽 한 칸을 뒤집으면 꼭대기 부호가 항상 같이 뒤집힌다는 뜻이고, 이는 모든 채우기가 "꼭대기 $+$ 짝" 과 "꼭대기 $-$ 짝" 으로 정확히 짝지어진다는 의미입니다.

$$\#\{\text{꼭대기}=+\}\;=\;\#\{\text{꼭대기}=-\}\;=\;\tfrac{1}{2}\cdot 2^{n}\;=\;2^{\,n-1}$$

💡 "한 곳만 뒤집어도 결과가 그대로 뒤집힌다" 는 4학년 수준의 패턴 추론으로, 왜 항상 절반인지 자연스럽게 설명됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

이제 본 문제 ($n=4$) 에 패턴을 적용합니다.
전체 채우기 수는 $2^4 = 16$ 이고, 그중 절반이 꼭대기에 $+$ 를 만드므로 답은 $16 \div 2 = 8$ 입니다.
한 번 더 검증하기 위해 "성공" 하는 $8$ 가지를 직접 나열해 보면: $++++$, $+--+$, $-++-$, $----$, $+-+-$, $-+-+$, $++--$, $--++$ — 정확히 $8$ 가지 입니다.

$$\#\{\text{꼭대기}=+\}\;=\;\tfrac{1}{2}\cdot 2^{4}\;=\;\tfrac{1}{2}\cdot 16\;=\;8\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 4학년 학생도 "절반 규칙" 을 그대로 쓰고, 동시에 $8$ 가지 성공 사례를 직접 적어 확인할 수 있습니다.

[1] #2 4.OA.C.5 먼저 규칙을 깔끔히 정리합니다. 문제의 그림을 보면 윗칸은 아래 두 칸에 의해 다음과 같이 결정됩니다: $(+,+)\to+$, $(-,-)\to

[2] #9 4.OA.C.5 쉬운 문제부터 시작합니다. 맨 아래 줄이 $2$ 칸인 아주 작은 피라미드를 생각하면 채우는 방법은 $2^2 = 4$ 가지입니다. 규칙대로 꼭대기

[3] #2 4.OA.C.5 다음 단계: 맨 아래 줄이 $3$ 칸인 경우. 채우는 방법은 $2^3 = 8$ 가지입니다. 순서를 정해 빠짐없이 나열한 뒤 규칙을 두 번 적용해

[4] #5 4.OA.C.5 이제 패턴을 찾습니다 (도구 #5). $n=2$ 와 $n=3$ 모두 꼭대기가 $+$ 인 경우가 정확히 절반입니다. 그 이유는 어떤 채우기 하나를

[5] #2 4.OA.C.5 이제 본 문제 ($n=4$) 에 패턴을 적용합니다. 전체 채우기 수는 $2^4 = 16$ 이고, 그중 절반이 꼭대기에 $+$ 를 만드므로 답은

검토

합리성 확인: 맨 아래 줄을 채우는 전체 경우는 $2^4 = 16$ 가지이므로, 답이 $16$ 을 넘으면 불가능합니다 — 선택지 (E) 가 최댓값. 또한 규칙은 $+$ 와 $-$ 에 대해 대칭이라서, 모든 칸의 부호를 일제히 바꿔도 같은 구조가 나옵니다. 그래서 꼭대기가 $+$ 인 경우의 수와 $-$ 인 경우의 수가 같아야 자연스럽고, 곧 답이 $16$ 의 정확히 절반인 $8$ — 즉 선택지 (C) 가 되어야 한다는 직관과 일치합니다. 마지막 단계에서 $8$ 가지 성공 사례를 모두 적어 본 결과와도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) 로도 풀 수 있습니다. 꼭대기 $+$ 에서 출발해 "3번째 줄은 $++$ 또는 $--$ 여야 한다" 는 것을 먼저 알아내고, 각각의 경우에 대해 2번째 줄, 그다음 맨 아래 줄을 차례로 거슬러 올라갑니다. 경우를 따져 보면 $4+4=8$ 가지가 나와 같은 답 (C) 가 나오고, 이 경로 또한 4학년의 "규칙 적용하기" 수준만으로 가능합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (부호 피라미드 규칙 (같으면 $+$, 다르면 $-$) 을 $n=2$, $n=3$, $n=4$ 의 각 경우에 한 줄씩 반복 적용하고, 맨 아래 줄을 순서대로 나열해 "정확히 절반이 $+$" 라는 규칙성을 발견해 최종 답 $8$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙대로 따라가서 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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