AMC 8 · 2022 · #14
쉬운 모드 학년 3문제
BEEKEEPER라는 단어를 떠올려 봅시다. 글자가 모두 9개 있어요. 그중 E가 5개입니다. 나머지 네 글자는 B, K, P, R이에요.
이 9개의 글자를 새로운 순서로 다시 늘어놓으려고 합니다. 단, 한 가지 규칙이 있어요. E 두 개가 서로 바로 옆에 붙어 있으면 안 됩니다.
이 규칙을 지키는 배열 방법은 몇 가지일까요?
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\textbf{BEEKEEPER}$ 라는 단어는 글자 $9$ 개로 이루어져 있고, 그 안에는 $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 하나씩 들어 있습니다. $9$ 개의 글자를 모두 한 줄로 늘어놓을 때, 어떤 $E$ 두 개도 서로 이웃하지 않게 배열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 글자 구성: $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 $1$ 개 (총 $9$ 개); 제약 조건: 최종 배열에서 어떤 두 $E$ 도 서로 붙어 있을 수 없음; 선택지: (A) $1$, (B) $4$, (C) $12$, (D) $24$, (E) $120$
구하는 것: $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 $9$ 개 글자를 모두 한 번씩 써서, 어떤 두 $E$ 도 이웃하지 않게 만든 배열의 가짓수
이해
문제 재정리: $\textbf{BEEKEEPER}$ 라는 단어는 글자 $9$ 개로 이루어져 있고, 그 안에는 $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 하나씩 들어 있습니다. $9$ 개의 글자를 모두 한 줄로 늘어놓을 때, 어떤 $E$ 두 개도 서로 이웃하지 않게 배열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 글자 구성: $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 $1$ 개 (총 $9$ 개); 제약 조건: 최종 배열에서 어떤 두 $E$ 도 서로 붙어 있을 수 없음; 선택지: (A) $1$, (B) $4$, (C) $12$, (D) $24$, (E) $120$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
"두 $E$ 가 이웃하지 않게" 라는 조건을 정면으로 부수기는 까다롭지만, $E$ 를 먼저 사이를 띄워 늘어놓는 그림 — $E\,\_\,E\,\_\,E\,\_\,E\,\_\,E$ — 을 그려 보면 한눈에 풀립니다. 도구 #1(그림 그리기) 이 구조를 드러내 줘서, 빈칸이 정확히 $4$ 개이고 $E$ 가 아닌 글자도 정확히 $4$ 개라는 사실이 바로 보입니다. 그러면 문제는 "$B$, $K$, $P$, $R$ 을 $4$ 칸에 늘어놓는 경우의 수" 로 줄어듭니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 이 분해 — (가) $E$ 뼈대 고정, (나) 서로 다른 $4$ 글자 배열 — 에 이름을 붙여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 검산용으로, $\textbf{BEE}$ 같은 더 짧은 단어로 빈칸 셈이 맞는지 먼저 확인합니다.
실행 — 정답: D
2.OA.A.1 단계 1 - 먼저 $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 글자를 정리합니다.
- $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R$ 이 각각 하나씩 — 합쳐서 $9$ 글자입니다.
- 제약 조건은 오직 $E$ 끼리의 관계에만 걸리므로, $E$ 를 먼저 다루는 전략이 자연스럽습니다.
💡 두 묶음의 글자 수를 세어 더하는 것은 $2$ 학년 덧셈 문장제 그대로입니다.
3.OA.A.3 단계 2 - 같은 아이디어를 아주 작은 단어로 먼저 시험해 봅시다.
- $\textbf{BEE}$ 에는 $E$ 가 $2$ 개, 다른 글자 $B$ 가 $1$ 개 있습니다.
- $E \,\_\, E$ 로 늘어놓으면 빈칸은 정확히 $1$ 개.
- $B$ 를 그 한 칸에 넣을 방법은 $1$ 가지뿐 — $EBE$ 입니다.
- 실제로 $\textbf{BEE}$ 를 두 $E$ 가 안 붙게 배열하는 방법은 $EBE$ 하나뿐이므로, "$E$ 를 띄워 늘어놓고 빈칸을 채운다" 라는 전략이 옳다는 것을 확인할 수 있습니다.
💡 같은 상황의 더 작은 판본으로 먼저 풀어 보는 것은 $3$ 학년 문장제 학습 습관이자, 빈칸 전략이 통한다는 증거가 됩니다.
1.OA.A.1 단계 3 - 이제 원래 문제의 그림을 그립니다.
- $5$ 개의 $E$ 사이마다 빈칸을 하나씩 두고 늘어놓으면 $E \,\_\, E \,\_\, E \,\_\, E \,\_\, E$ 가 되고, $E$ 사이 빈칸은 정확히 $5 - 1 = 4$ 개입니다.
- 이 $4$ 개의 빈칸마다 $E$ 가 아닌 글자가 하나씩 들어가기만 하면, 두 $E$ 가 이웃하는 일은 절대 일어나지 않습니다 — 빈칸의 글자가 자동으로 $E$ 들을 떼어 놓아 주기 때문입니다.
💡 $5$ 개 사물 사이의 간격을 세는 "하나 적게" 뺄셈은 $1$ 학년 수준이면 충분합니다.
3.OA.A.3 단계 4 - $E$ 가 아닌 네 글자를 $4$ 개의 빈칸에 짝지어 줍니다.
- 서로 다른 글자가 정확히 $4$ 개 ($B$, $K$, $P$, $R$) 이고 빈칸도 정확히 $4$ 개이므로, 조건을 만족하는 $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 모든 배열은 "$B$, $K$, $P$, $R$ 을 $4$ 칸에 어떤 순서로 넣을지" 와 일대일로 대응합니다.
- 그래서 원래 문제는 "서로 다른 $4$ 글자를 한 줄로 늘어놓는 경우의 수" 로 깔끔하게 줄어듭니다.
💡 원래의 세는 문제를 더 작은, 똑같이 "세는" 문제로 환원시키는 것이 도구 #7 의 핵심 동작입니다.
3.OA.C.7 단계 5 - $B$, $K$, $P$, $R$ 을 늘어놓는 순서를 셉니다.
- 첫 칸에 들어갈 글자는 $4$ 가지, 두 번째 칸은 (한 글자가 이미 쓰였으니) $3$ 가지, 세 번째 칸은 $2$ 가지, 마지막 칸은 $1$ 가지입니다.
- 곱하면 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
- 답은 선택지 $\textbf{(D)}$ 와 일치합니다.
💡 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 같은 $100$ 이하의 곱셈은 $3$ 학년 "$100$ 까지 능숙한 곱셈" 표준입니다.
2.OA.A.1 먼저 $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 글자를 정리합니다. $E$ 가 $5$ 개, 그리고 서로 다른 글자 $B$, $K$, $P$, $R 3.OA.A.3 같은 아이디어를 아주 작은 단어로 먼저 시험해 봅시다. $\textbf{BEE}$ 에는 $E$ 가 $2$ 개, 다른 글자 $B$ 가 $1$ 개 1.OA.A.1 이제 원래 문제의 그림을 그립니다. $5$ 개의 $E$ 사이마다 빈칸을 하나씩 두고 늘어놓으면 $E \,\_\, E \,\_\, E \,\_\, 3.OA.A.3 $E$ 가 아닌 네 글자를 $4$ 개의 빈칸에 짝지어 줍니다. 서로 다른 글자가 정확히 $4$ 개 ($B$, $K$, $P$, $R$) 이고 빈 3.OA.C.7 $B$, $K$, $P$, $R$ 을 늘어놓는 순서를 셉니다. 첫 칸에 들어갈 글자는 $4$ 가지, 두 번째 칸은 (한 글자가 이미 쓰였으니) 검토
합리성 확인: $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 모든 (제약 없는) 서로 다른 배열의 수는 $\tfrac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ 가지입니다. $24$ 는 그중 아주 작은 비율인데, $9$ 자리 중 $5$ 자리가 $E$ 라서 거의 모든 배열에서 $E$ 가 어딘가 붙게 되니 "두 $E$ 가 절대 안 붙는" 배열이 드문 것은 자연스럽습니다. 또 답이 정확히 $4! = 24$ 인 것도 "$E$ 뼈대는 한 가지로 고정되고 서로 다른 $4$ 글자만 자유롭게 자리바꿈한다" 는 우리 그림과 정확히 들어맞습니다. 선택지 (E) $120 = 5!$ 은 빈칸이 $5$ 개일 때나 나올 값인데 우리는 $4$ 개이므로 (D) $24$ 가 맞습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기) 으로도 풀 수는 있지만 더 번거롭습니다 — $\textbf{BEEKEEPER}$ 의 모든 배열 $\tfrac{9!}{5!} = 3024$ 에서 "$EE$ 가 한 번이라도 등장하는" 배열의 수를 빼야 하는데, 그러려면 $EE$, $EEE$, $EEEE$, $EEEEE$ 의 포함·배제 계산을 거쳐야 합니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 처음부터 조건을 만족하는 뼈대를 만들어 셈하면 그 골치 아픔이 통째로 사라집니다. 또는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 판본 $\textbf{BEE} \to EBE$ 를 직접 나열해 빈칸 전략을 확인하고, 같은 논리로 $4! = 24$ 까지 그대로 확장할 수도 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
1.OA.A.1$20$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 ($5$ 개의 $E$ 사이 빈칸이 $5 - 1 = 4$ 개라는 — 풀이 전체를 떠받치는 — 구조적 관찰.)2.OA.A.1$100$ 이내 덧셈·뺄셈을 이용한 한·두 단계 문장제 해결 (글자 구성 정리: $E$ $5$ 개와 서로 다른 $4$ 글자를 합쳐 총 $9$ 글자임을 확인.)3.OA.A.3$100$ 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (문제를 "서로 다른 $4$ 글자를 $4$ 칸에 배열" 로 환원하고, 작은 $\textbf{BEE}$ 사례로 그 환원이 옳음을 확인.)3.OA.C.7$100$ 이내의 곱셈·나눗셈 능숙하게 수행 ($B$, $K$, $P$, $R$ 의 배열 수를 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 로 계산.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 $3$ 학년 때 배운 곱셈 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 만 알면 풀 수 있어요 — $E\_E\_E\_E\_E$ 그림만 한 번 그리면, 남는 일은 $4$ 칸에 글자 $4$ 개를 늘어놓는 것뿐이에요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 $3$ 학년 때 배운 곱셈 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 만 알면 풀 수 있어요 — $E\_E\_E\_E\_E$ 그림만 한 번 그리면, 남는 일은 $4$ 칸에 글자 $4$ 개를 늘어놓는 것뿐이에요!
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