AMC 8 · 2023 · #13
쉬운 모드 학년 4문제
길게 쭉 뻗은 자전거 경주 코스를 떠올려 봅시다. 한쪽 끝에 출발선이 있고, 반대쪽 끝에 결승선이 있어요.
출발선과 결승선 사이에 급수소 7개가 한 줄로 놓여 있습니다. 급수소들 사이의 간격은 모두 같아요. 첫 번째 급수소와 출발선 사이의 거리도, 마지막 급수소와 결승선 사이의 거리도 같은 간격이에요.
같은 코스에 정비소도 2개가 있습니다. 정비소들 사이의 간격도 같고, 첫 번째 정비소와 출발선 사이의 거리, 두 번째 정비소와 결승선 사이의 거리도 같은 간격이에요.
여기에 한 가지 사실이 더 있습니다. 3번째 급수소는 1번째 정비소보다 정확히 2마일 뒤에 놓여 있다는 거예요.
이 경주 코스의 전체 길이는 몇 마일일까요?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 출발선과 결승선이 한 직선 위에 놓인 자전거 경주로가 있습니다. 그 사이에 7개의 급수대가 일정한 간격으로, 또 2개의 수리소가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수대가 1번째 수리소보다 2마일 더 결승선 쪽에 있다고 할 때, 경주로의 전체 길이 $d$ (마일)를 구합니다.
주어진 것: 출발선과 결승선 사이에 급수대 7개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 8개의 같은 구간으로 나뉜다; 출발선과 결승선 사이에 수리소 2개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 3개의 같은 구간으로 나뉜다; 1번째 수리소에서 3번째 급수대까지의 거리는 2마일 (급수대 쪽이 결승선에 더 가깝다); 보기: 8, 16, 24, 48, 96
구하는 것: 경주로 전체 길이 $d$ (마일)
이해
문제 재정리: 출발선과 결승선이 한 직선 위에 놓인 자전거 경주로가 있습니다. 그 사이에 7개의 급수대가 일정한 간격으로, 또 2개의 수리소가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수대가 1번째 수리소보다 2마일 더 결승선 쪽에 있다고 할 때, 경주로의 전체 길이 $d$ (마일)를 구합니다.
주어진 것: 출발선과 결승선 사이에 급수대 7개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 8개의 같은 구간으로 나뉜다; 출발선과 결승선 사이에 수리소 2개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 3개의 같은 구간으로 나뉜다; 1번째 수리소에서 3번째 급수대까지의 거리는 2마일 (급수대 쪽이 결승선에 더 가깝다); 보기: 8, 16, 24, 48, 96
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
보기는 다섯 개뿐이고, 각 후보 길이 $d$ 에 대해 1번째 수리소 위치 ($d \div 3$) 와 3번째 급수대 위치 ($3 \times d \div 8$) 를 어렵지 않게 계산할 수 있습니다. 따라서 보기를 하나씩 대입해 두 위치의 차이가 정확히 2마일이 되는 것을 찾으면 됩니다. 그 전에 간단한 그림으로 '8등분', '3등분' 의 의미를 명확히 하고, 객관식이라는 점을 활용해 나머지 보기를 지워 답을 확정합니다.
실행 — 정답: D
3.NF.A.1 단계 1 - 출발선 S와 결승선 F를 잇는 직선을 그립니다.
- 그 위에 급수대 7개를 같은 간격으로 찍어 경주로가 8등분이 되도록 표시하고, 또 다른 선에 수리소 2개를 같은 간격으로 찍어 3등분이 되도록 표시합니다.
- 그러면 급수대 한 칸의 길이는 전체의 $\tfrac{1}{8}$, 수리소 한 칸의 길이는 전체의 $\tfrac{1}{3}$ 임이 한눈에 보입니다.
💡 출발선과 결승선 사이에 정거장 $n$ 개를 같은 간격으로 놓으면 구간은 항상 $n+1$ 개가 돼요.
4.NF.B.4 단계 2 - 그림에서 1번째 수리소의 출발선으로부터의 거리는 $1 \times \tfrac{d}{3} = \tfrac{d}{3}$ 마일이고, 3번째 급수대의 거리는 $3 \times \tfrac{d}{8} = \tfrac{3d}{8}$ 마일입니다.
- 모두 ‘한 칸의 길이 × 몇 칸인지’로 위치가 정해집니다.
💡 한 칸의 길이에 자연수를 곱하면 $k$ 번째 정거장의 위치가 나와요.
4.NBT.B.6 단계 3 - 보기를 하나씩 넣어 $R_1 = d \div 3$, $W_3 = 3 \times (d \div 8)$ 을 구하고 $W_3 - R_1 = 2$ 인지 확인합니다.
- 8, 16, 24는 차이가 너무 작아 조건에 미치지 못합니다.
💡 보기를 대입하면 문제 풀이가 간단한 나눗셈과 비교로 바뀌어요.
4.MD.A.2 단계 4 - $d = 48$ 일 때에만 $W_3 - R_1 = 2$ 마일이 되어 문제의 조건과 정확히 일치합니다.
- 나머지 네 보기는 모두 지워집니다.
💡 객관식이니까 모든 조건을 만족하는 보기가 한 개라면 그것이 답이에요.
3.NF.A.1 출발선 S와 결승선 F를 잇는 직선을 그립니다. 그 위에 급수대 7개를 같은 간격으로 찍어 경주로가 8등분이 되도록 표시하고, 또 다른 선에 수 4.NF.B.4 그림에서 1번째 수리소의 출발선으로부터의 거리는 $1 \times \tfrac{d}{3} = \tfrac{d}{3}$ 마일이고, 3번째 급수대의 4.NBT.B.6 보기를 하나씩 넣어 $R_1 = d \div 3$, $W_3 = 3 \times (d \div 8)$ 을 구하고 $W_3 - R_1 = 2$ 인 4.MD.A.2 $d = 48$ 일 때에만 $W_3 - R_1 = 2$ 마일이 되어 문제의 조건과 정확히 일치합니다. 나머지 네 보기는 모두 지워집니다. 검토
합리성 확인: $d = 48$을 처음 상황에 다시 대입해 확인합니다. 급수대는 출발선으로부터 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 마일 (각각 48의 $\tfrac{1}{8}$ 배)에 놓이고, 수리소는 16, 32 마일 (각각 48의 $\tfrac{1}{3}$ 배)에 놓입니다. 3번째 급수대는 18, 1번째 수리소는 16이므로 급수대가 수리소보다 정확히 2마일 더 결승선 쪽에 있어 조건을 만족합니다. 또한 48마일은 실제 자전거 경주 길이로도 자연스러운 값입니다.
대안 접근: 도구 13(대수로 바꾸기)로 한 번에 풀 수도 있습니다. $\tfrac{3d}{8} = \tfrac{d}{3} + 2$ 를 정리하면 $\tfrac{d}{24} = 2$ 가 되어 $d = 48$ 이 나옵니다. 분모가 다른 분수의 뺄셈에 익숙한 학생에게는 더 빠르지만, 보기 대입을 이용한 추측·확인은 4학년 수준의 나눗셈만으로도 같은 답을 안전하게 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.NF.A.1Understand a fraction as quantity formed by parts of a whole (경주로를 8등분(급수대), 3등분(수리소)으로 보아 한 칸의 길이를 전체의 단위 분수($\tfrac{1}{8}$ 또는 $\tfrac{1}{3}$)로 해석하는 데 사용했습니다.)4.NF.B.4Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a whole number (한 칸의 길이에 자연수 $k$ 를 곱해 $k$ 번째 정거장의 위치 $W_3 = \tfrac{3d}{8}$, $R_1 = \tfrac{d}{3}$ 를 식으로 나타내는 데 사용했습니다.)4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (보기 $d \in \{8, 16, 24, 48, 96\}$ 각각에 대해 $d \div 8$, $d \div 3$ 을 계산하는 추측·확인 과정에 사용했습니다.)4.MD.A.2Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (두 위치의 거리 차이를 비교해 조건(2마일)을 만족하는 보기를 가려내는 데 사용했습니다.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 ‘나눗셈과 전체의 분수 부분’만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 ‘나눗셈과 전체의 분수 부분’만 알면 풀 수 있어요!
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