AMC 8 · 2023 · #13
학년 4 geometry-2d문제
아래 그림과 같이, 어떤 자전거 경주 코스에는 출발선과 결승선 사이에 7개의 급수소가 같은 간격으로 놓여 있습니다. 또한 출발선과 결승선 사이에는 2개의 정비소도 같은 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수소는 1번째 정비소보다 2마일 뒤에 있습니다. 이 경주의 전체 길이는 몇 마일입니까?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 출발선과 결승선이 한 직선 위에 놓인 자전거 경주로가 있습니다. 그 사이에 7개의 급수대가 일정한 간격으로, 또 2개의 수리소가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수대가 1번째 수리소보다 2마일 더 결승선 쪽에 있다고 할 때, 경주로의 전체 길이 $d$ (마일)를 구합니다.
주어진 것: 출발선과 결승선 사이에 급수대 7개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 8개의 같은 구간으로 나뉜다; 출발선과 결승선 사이에 수리소 2개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 3개의 같은 구간으로 나뉜다; 1번째 수리소에서 3번째 급수대까지의 거리는 2마일 (급수대 쪽이 결승선에 더 가깝다); 보기: 8, 16, 24, 48, 96
구하는 것: 경주로 전체 길이 $d$ (마일)
이해
문제 재정리: 출발선과 결승선이 한 직선 위에 놓인 자전거 경주로가 있습니다. 그 사이에 7개의 급수대가 일정한 간격으로, 또 2개의 수리소가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수대가 1번째 수리소보다 2마일 더 결승선 쪽에 있다고 할 때, 경주로의 전체 길이 $d$ (마일)를 구합니다.
주어진 것: 출발선과 결승선 사이에 급수대 7개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 8개의 같은 구간으로 나뉜다; 출발선과 결승선 사이에 수리소 2개가 같은 간격으로 놓여, 경주로가 3개의 같은 구간으로 나뉜다; 1번째 수리소에서 3번째 급수대까지의 거리는 2마일 (급수대 쪽이 결승선에 더 가깝다); 보기: 8, 16, 24, 48, 96
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
보기는 다섯 개뿐이고, 각 후보 길이 $d$ 에 대해 1번째 수리소 위치 ($d \div 3$) 와 3번째 급수대 위치 ($3 \times d \div 8$) 를 어렵지 않게 계산할 수 있습니다. 따라서 보기를 하나씩 대입해 두 위치의 차이가 정확히 2마일이 되는 것을 찾으면 됩니다. 그 전에 간단한 그림으로 '8등분', '3등분' 의 의미를 명확히 하고, 객관식이라는 점을 활용해 나머지 보기를 지워 답을 확정합니다.
실행 — 정답: D
3.NF.A.1 단계 1 - 출발선 S와 결승선 F를 잇는 직선을 그립니다.
- 그 위에 급수대 7개를 같은 간격으로 찍어 경주로가 8등분이 되도록 표시하고, 또 다른 선에 수리소 2개를 같은 간격으로 찍어 3등분이 되도록 표시합니다.
- 그러면 급수대 한 칸의 길이는 전체의 $\tfrac{1}{8}$, 수리소 한 칸의 길이는 전체의 $\tfrac{1}{3}$ 임이 한눈에 보입니다.
💡 출발선과 결승선 사이에 정거장 $n$ 개를 같은 간격으로 놓으면 구간은 항상 $n+1$ 개가 돼요.
4.NF.B.4 단계 2 - 그림에서 1번째 수리소의 출발선으로부터의 거리는 $1 \times \tfrac{d}{3} = \tfrac{d}{3}$ 마일이고, 3번째 급수대의 거리는 $3 \times \tfrac{d}{8} = \tfrac{3d}{8}$ 마일입니다.
- 모두 ‘한 칸의 길이 × 몇 칸인지’로 위치가 정해집니다.
💡 한 칸의 길이에 자연수를 곱하면 $k$ 번째 정거장의 위치가 나와요.
4.NBT.B.6 단계 3 - 보기를 하나씩 넣어 $R_1 = d \div 3$, $W_3 = 3 \times (d \div 8)$ 을 구하고 $W_3 - R_1 = 2$ 인지 확인합니다.
- 8, 16, 24는 차이가 너무 작아 조건에 미치지 못합니다.
💡 보기를 대입하면 문제 풀이가 간단한 나눗셈과 비교로 바뀌어요.
4.MD.A.2 단계 4 - $d = 48$ 일 때에만 $W_3 - R_1 = 2$ 마일이 되어 문제의 조건과 정확히 일치합니다.
- 나머지 네 보기는 모두 지워집니다.
💡 객관식이니까 모든 조건을 만족하는 보기가 한 개라면 그것이 답이에요.
3.NF.A.1 출발선 S와 결승선 F를 잇는 직선을 그립니다. 그 위에 급수대 7개를 같은 간격으로 찍어 경주로가 8등분이 되도록 표시하고, 또 다른 선에 수 4.NF.B.4 그림에서 1번째 수리소의 출발선으로부터의 거리는 $1 \times \tfrac{d}{3} = \tfrac{d}{3}$ 마일이고, 3번째 급수대의 4.NBT.B.6 보기를 하나씩 넣어 $R_1 = d \div 3$, $W_3 = 3 \times (d \div 8)$ 을 구하고 $W_3 - R_1 = 2$ 인 4.MD.A.2 $d = 48$ 일 때에만 $W_3 - R_1 = 2$ 마일이 되어 문제의 조건과 정확히 일치합니다. 나머지 네 보기는 모두 지워집니다. 검토
합리성 확인: $d = 48$을 처음 상황에 다시 대입해 확인합니다. 급수대는 출발선으로부터 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 마일 (각각 48의 $\tfrac{1}{8}$ 배)에 놓이고, 수리소는 16, 32 마일 (각각 48의 $\tfrac{1}{3}$ 배)에 놓입니다. 3번째 급수대는 18, 1번째 수리소는 16이므로 급수대가 수리소보다 정확히 2마일 더 결승선 쪽에 있어 조건을 만족합니다. 또한 48마일은 실제 자전거 경주 길이로도 자연스러운 값입니다.
대안 접근: 도구 13(대수로 바꾸기)로 한 번에 풀 수도 있습니다. $\tfrac{3d}{8} = \tfrac{d}{3} + 2$ 를 정리하면 $\tfrac{d}{24} = 2$ 가 되어 $d = 48$ 이 나옵니다. 분모가 다른 분수의 뺄셈에 익숙한 학생에게는 더 빠르지만, 보기 대입을 이용한 추측·확인은 4학년 수준의 나눗셈만으로도 같은 답을 안전하게 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.NF.A.1Understand a fraction as quantity formed by parts of a whole (경주로를 8등분(급수대), 3등분(수리소)으로 보아 한 칸의 길이를 전체의 단위 분수($\tfrac{1}{8}$ 또는 $\tfrac{1}{3}$)로 해석하는 데 사용했습니다.)4.NF.B.4Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a whole number (한 칸의 길이에 자연수 $k$ 를 곱해 $k$ 번째 정거장의 위치 $W_3 = \tfrac{3d}{8}$, $R_1 = \tfrac{d}{3}$ 를 식으로 나타내는 데 사용했습니다.)4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (보기 $d \in \{8, 16, 24, 48, 96\}$ 각각에 대해 $d \div 8$, $d \div 3$ 을 계산하는 추측·확인 과정에 사용했습니다.)4.MD.A.2Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (두 위치의 거리 차이를 비교해 조건(2마일)을 만족하는 보기를 가려내는 데 사용했습니다.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 ‘나눗셈과 전체의 분수 부분’만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 ‘나눗셈과 전체의 분수 부분’만 알면 풀 수 있어요!
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