AMC 8 · 2023 · #4
쉬운 모드 학년 4문제
7×7짜리 정사각형 격자에 빈 칸들이 있다고 생각해 봅시다.
한가운데 칸에서 시작해 1을 쓰고, 그다음에는 나선 모양을 따라 바깥쪽으로 돌아가면서 2,3,4,…를 한 칸에 하나씩 적어 나갑니다. 49까지 다 적으면 격자가 가득 차요. 아래 그림은 처음 몇 칸이 어떻게 채워지는지를 보여 줍니다.
그림을 보면 회색으로 칠해진 칸이 네 개 있어요. 이 네 칸은 숫자 7이 들어 있는 칸과 같은 대각선 위에 놓여 있습니다.
나선을 끝까지 다 채우면, 그 네 칸에는 어떤 수가 들어가게 됩니다. 그렇게 들어가는 네 수 중에서 소수는 몇 개일까요?
그림
한가운데 1에서 시작하는 7×7 나선의 1부터 7까지가 보이고, 7과 같은 대각선 위 네 개 회색 칸에는 물음표가 적혀 있으며, 점선과 점들은 나선이 바깥쪽으로 이어져 나머지 칸을 채운다는 표시예요.
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $1$부터 $49$까지의 수를 $7 \times 7$ 격자에 가운데 $1$부터 시작하는 나선 모양으로 적어 놓았다. 네 개의 음영 처리된 칸은 모두 숫자 $7$과 같은 대각선(격자의 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선) 위에 있다. 이 네 개의 음영 칸에 들어가는 수가 무엇인지 알아내고, 그중 몇 개가 소수인지 세는 문제이다.
주어진 것: $7 \times 7$ 격자에 $1, 2, 3, \ldots, 49$의 정수가 적혀 있음; 수를 채우는 규칙은 가운데 $1$에서 시작하는 나선; 네 개의 음영 칸은 모두 $7$과 같은 대각선(왼쪽 위 → 오른쪽 아래) 위에 있음; 보기: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4
구하는 것: 네 개의 음영 칸에 들어가는 네 수; 그 네 수 중 소수가 몇 개인지
이해
문제 재정리: $1$부터 $49$까지의 수를 $7 \times 7$ 격자에 가운데 $1$부터 시작하는 나선 모양으로 적어 놓았다. 네 개의 음영 처리된 칸은 모두 숫자 $7$과 같은 대각선(격자의 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선) 위에 있다. 이 네 개의 음영 칸에 들어가는 수가 무엇인지 알아내고, 그중 몇 개가 소수인지 세는 문제이다.
주어진 것: $7 \times 7$ 격자에 $1, 2, 3, \ldots, 49$의 정수가 적혀 있음; 수를 채우는 규칙은 가운데 $1$에서 시작하는 나선; 네 개의 음영 칸은 모두 $7$과 같은 대각선(왼쪽 위 → 오른쪽 아래) 위에 있음; 보기: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기
$49$개의 칸을 전부 채울 필요는 없다. 나선에는 깔끔한 **패턴**(도구 #5)이 있다 — 각 "층"이 끝나는 자리에는 완전제곱수($9, 25, 49$)가 오고, 이 홀수 완전제곱수들은 모두 $7$과 같은 대각선 위에 놓인다. 그러니 필요한 부분만 **그림으로 그려**(도구 #1) 나선이 어느 방향으로 도는지 확인한 뒤, 각 완전제곱수에서 한두 칸씩 따라가며 음영 칸의 네 수를 **빠짐없이 나열**(도구 #2)하면 된다. 마지막으로 그 네 수의 소수 여부만 확인하면 끝 — 대수(도구 #13)도 큰 계산도 필요 없다.
실행 — 정답: D
4.OA.C.5 단계 1 - $7 \times 7$ 격자를 가볍게 그려 보고 나선의 기준점을 표시한다.
- 가운데 $1$에서 시작한 나선은 바깥쪽으로 감겨 나가면서 각 층의 끝에서 완전제곱수에 도달한다: 가운데의 $1 = 1^2$, 그 다음 $9 = 3^2$, 그 다음 $25 = 5^2$, 마지막으로 $49 = 7^2$.
- 이 **홀수** 완전제곱수들은 모두 격자의 왼쪽 위 → 오른쪽 아래 대각선, 즉 $7$이 있는 그 대각선 위에 놓인다.
- 따라서 네 개의 음영 칸은 모두 이 대각선 위에서 $9$, $25$, $49$ 같은 기준점 근처에 있다.
💡 "층 $n$이 $n^2$에서 끝난다"는 규칙을 발견하는 일은 4학년 수 규칙 만들기 수준이다.
4.OA.C.5 단계 2 - 그림에서 나선의 방향을 읽는다.
- 홀수 완전제곱수(각 층의 오른쪽 아래 모서리)를 적은 다음, 나선은 한 칸 **위로** 올라가 다음 층을 시작하고 그 후 **왼쪽**으로 꺾인다.
- 그래서 $25 = 5^2$ 바로 위 칸은 $26$이고, 그 왼쪽은 $27$, 그렇게 이어진다.
- 오른쪽 아래 쪽 음영 칸(즉 $7$-대각선에서 $25$ 옆에 있는 칸)은 사실 $5 \times 5$ 층의 아래 가장자리에서 $25$로 들어오기 직전 두 칸 떨어진 자리이다.
- $25$에서 거꾸로 세면 $25, 24, \mathbf{23}$.
- 따라서 오른쪽 아래 음영 칸은 $\mathbf{23}$.
💡 나선 경로를 한 칸씩 따라가는 일은 4학년 격자 패턴 추적 수준이다.
4.OA.C.5 단계 3 - 나머지 세 음영 칸도 같은 방식으로 가까운 홀수 완전제곱수 모서리에서 출발해 나선을 따라간다.
- • 오른쪽 위 음영 칸: 기준은 $16 = 4^2$(이는 $5 \times 5$ 층의 왼쪽 위 모서리이며, 나선은 $16 \to 17$에서 아래로 한 칸 내려간 뒤 오른쪽으로 꺾는다).
- $17$에서 위쪽 가장자리를 따라 두 칸 가면 $17, 18, \mathbf{19}$.
- • 왼쪽 위 음영 칸: 기준은 $36 = 6^2$($7 \times 7$ 층의 왼쪽 위 모서리).
- $36$에서 위쪽 가장자리를 따라 세 칸 가면 $36, 37, 38, \mathbf{39}$.
- • 왼쪽 아래 음영 칸: 기준은 $49 = 7^2$(전체 격자의 오른쪽 아래 모서리).
- 아래쪽 가장자리를 따라 두 칸 거꾸로 가면 $49, 48, \mathbf{47}$.
💡 각 기준점에서 한두 칸씩 세어 네 수를 빠짐없이 적는 일은 4학년 패턴 규칙 적용이다.
4.OA.B.4 단계 4 - 이제 네 수의 소수 여부를 확인한다.
- 소수란 $1$보다 큰 정수 중 약수가 $1$과 자기 자신뿐인 수이다.
- • $19$: $2, 3$(자릿수 합 $1+9=10$이 3의 배수가 아님), $5$로 나누어지지 않고, $4^2 = 16 < 19 < 25 = 5^2$이므로 $4$ 이하의 소수까지만 확인하면 된다.
- **소수.** • $23$: $2, 3, 5$로 나누어지지 않고, $\sqrt{23} < 5$.
- **소수.** • $39 = 3 \times 13$.
- **합성수.** • $47$: $2, 3, 5$로 나누어지지 않고, $7 \times 7 = 49 > 47$이므로 $6$ 이하의 소수까지만 확인하면 된다.
- **소수.** 네 수 중 세 개가 소수다.
💡 약수 쌍을 찾아 소수/합성수를 판정하는 것은 정확히 4학년 표준 4.OA.B.4에 해당한다.
4.OA.B.4 단계 5 네 음영 수 중 소수는 $19, 23, 47$의 세 개이므로 정답은 $3$, 즉 보기 **(D)**.
💡 조건("소수")을 만족하는 항목의 개수를 세는 일은 4학년 소수/합성수 학습 안에서 자연스럽다.
4.OA.C.5 $7 \times 7$ 격자를 가볍게 그려 보고 나선의 기준점을 표시한다. 가운데 $1$에서 시작한 나선은 바깥쪽으로 감겨 나가면서 각 층의 끝 4.OA.C.5 그림에서 나선의 방향을 읽는다. 홀수 완전제곱수(각 층의 오른쪽 아래 모서리)를 적은 다음, 나선은 한 칸 **위로** 올라가 다음 층을 시작하 4.OA.C.5 나머지 세 음영 칸도 같은 방식으로 가까운 홀수 완전제곱수 모서리에서 출발해 나선을 따라간다.
• 오른쪽 위 음영 칸: 기준은 $16 = 4^2 4.OA.B.4 이제 네 수의 소수 여부를 확인한다. 소수란 $1$보다 큰 정수 중 약수가 $1$과 자기 자신뿐인 수이다.
• $19$: $2, 3$(자릿수 합 4.OA.B.4 네 음영 수 중 소수는 $19, 23, 47$의 세 개이므로 정답은 $3$, 즉 보기 **(D)**. 검토
합리성 확인: 음영 칸은 모두 네 개이므로 답은 $0$부터 $4$ 사이의 수여야 하고, $3$은 그 범위 안에 있다. 후보 수($19, 23, 47$)는 모두 작아서 손으로 검증할 수 있다 — $50$ 미만의 수는 $\sqrt{49} = 7$까지의 소수($2, 3, 5, 7$)만 확인하면 충분하다. 유일한 합성수 $39$는 자릿수 합 $3 + 9 = 12$가 $3$의 배수이므로 한눈에 보인다. 그림과도 일치한다 — 네 음영 칸은 정말로 $9, 25, 49$ 사이의 $7$-대각선 위에 놓인다. AMC 8 초반 문제의 난이도와도 잘 맞는다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)만 써서 $7 \times 7$ 격자에 $1$부터 $49$까지를 모두 직접 적어 보아도 된다 — 정확하지만 시간이 더 걸린다. 또 다른 빠른 방법은 도구 #3(가능성 지우기)과 부분 스케치를 함께 쓰는 것이다. 음영 칸 중 하나가 $39 = 3 \times 13$(합성수)임을 확인하는 즉시 (A) $0$, (E) $4$는 모두 탈락하고, 남은 세 수 $19, 23, 47$이 모두 소수임을 빠르게 확인하면 답이 (D)로 좁혀진다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 모양 패턴을 만든다 (홀수 완전제곱수($1, 9, 25, 49$)가 나선의 $7$-대각선 위에 놓인다는 규칙을 인식하고, 각 기준점에서 한두 칸씩 따라가 음영 칸의 네 수 $19, 23, 39, 47$를 찾는 데 사용.)4.OA.B.4약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하며, 소수/합성수를 판정한다 ($19, 23, 39, 47$ 각각이 소수인지 합성수인지($39 = 3 \times 13$ 포함) 판정하고 소수의 개수를 세는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 규칙 찾기와 소수 판정만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 규칙 찾기와 소수 판정만 알면 풀 수 있어요!
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