AMC 8 · 2023 · #8

쉬운 모드 학년 3

문제

네 명의 친구, 롤라, 롤로, 티야, 티요가 탁구 대회를 한다고 떠올려 봅시다.

두 사람씩 짝을 지어, 모든 짝이 정확히 두 번씩 시합을 합니다. 그러면 한 사람당 모두 $6$ 번 시합을 하게 됩니다.

각 선수의 결과는 $1$ 과 $0$ 이 여섯 개 늘어선 문자열로 적어 둡니다. $1$ 은 그 시합에서 이긴 것, $0$ 은 진 것을 뜻해요.

지금까지 기록된 결과는 다음과 같고, 티요의 기록만 빠져 있습니다.

$\begin{tabular}{c | c} Player & Result \\ \hline Lola & \texttt{111011}\\ Lolo & \texttt{101010}\\ Tiya & \texttt{010100}\\ Tiyo & \texttt{??????} \end{tabular}$

(예를 들어, 롤라의 기록에는 $1$ 이 다섯 개 있으니 다섯 시합을 이긴 거예요. $0$ 은 네 번째 자리에 있으니 네 번째 시합에서 졌다는 뜻입니다.)

티요의 승패 기록은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\texttt{000101}$

(B)

$\texttt{001001}$

(C)

$\texttt{010000}$

(D)

$\texttt{010101}$

(E)

$\texttt{011000}$

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 롤라, 롤로, 티야, 티요 네 명이 서로 두 번씩 탁구 경기를 해서 총 6번의 라운드가 진행되었습니다. 각 선수의 6경기 결과가 1(승)과 0(패)로 된 여섯 자리 문자열로 표에 적혀 있습니다. 롤라 = 111011, 롤로 = 101010, 티야 = 010100 이고 티요의 기록은 빈칸입니다. 다섯 개의 선택지 중 티요의 승패 기록 문자열을 고르는 문제입니다.

주어진 것: 선수 4명: 롤라, 롤로, 티야, 티요; 어느 두 선수든 정확히 $2$ 번씩 맞붙는다; 롤라의 기록: $\texttt{111011}$ ($5$승 $1$패); 롤로의 기록: $\texttt{101010}$ ($3$승 $3$패); 티야의 기록: $\texttt{010100}$ ($2$승 $4$패); 선택지: (A) $\texttt{000101}$, (B) $\texttt{001001}$, (C) $\texttt{010000}$, (D) $\texttt{010101}$, (E) $\texttt{011000}$

구하는 것: 티요의 여섯 자리 승패 기록 문자열

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기

표는 자연스럽게 **행(선수별 기록)** 으로 읽히지만, 핵심 아이디어는 **열(라운드별 결과)** 로 다시 정리하는 것입니다(도구 #15). 한 라운드에 선수 4명이 동시에 경기하면 두 경기가 진행되므로, 각 열에는 1이 정확히 두 개 있어야 합니다. 이 사실만 알면 티요의 칸은 "2 빼기 나머지 세 사람의 합"으로 한 번에 결정됩니다. 마지막에 선택지와 맞춰 검산하는 데 도구 #3(가능성 지우기)을, 여섯 열을 빠짐없이 훑는 데 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 함께 씁니다.

실행 — 정답: A

#15 다르게 정리하기 3.OA.A.3 단계 1

표를 **행이 아니라 열**로 다시 정리합니다.
네 선수가 같은 라운드에 한꺼번에 경기하면 두 경기가 동시에 진행되므로, 한 라운드(한 열)에는 승리 $1$이 정확히 두 개, 패배 $0$이 정확히 두 개 들어 있어야 합니다.
즉 어느 열을 봐도 네 칸의 합은 $2$입니다.

$$\text{각 열의 합} = 2$$

💡 선수 $4$명을 짝지어 경기를 만들면 $4 \div 2 = 2$ 경기 — 3학년에서 배우는 기본 나눗셈 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.A.1 단계 2

여섯 개의 열을 빠짐없이 차례로 살핍니다.
각 라운드마다 롤라, 롤로, 티야의 칸을 더하고, 그 합이 $2$가 되도록 티요의 칸을 채워 넣으면 됩니다.

$$\text{티요의 칸} = 2 - (\text{롤라} + \text{롤로} + \text{티야})$$

💡 합이 $2$가 되도록 빠진 수를 찾는 것은 1학년의 "빈칸 채우기" 덧셈 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.A.1 단계 3

1열: $1 + 1 + 0 = 2$이므로 티요 $= 2 - 2 = 0$.
2열: $1 + 0 + 1 = 2$이므로 티요 $= 0$.
3열: $1 + 1 + 0 = 2$이므로 티요 $= 0$.
4열: $0 + 0 + 1 = 1$이므로 티요 $= 2 - 1 = 1$.
5열: $1 + 1 + 0 = 2$이므로 티요 $= 0$.
6열: $1 + 0 + 0 = 1$이므로 티요 $= 1$.

$$\text{티요} = \texttt{0},\,\texttt{0},\,\texttt{0},\,\texttt{1},\,\texttt{0},\,\texttt{1}$$

💡 각 열에서 합 $2$를 만들기 위해 빠진 수를 찾는 1학년 덧셈을 여섯 번 반복할 뿐입니다.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 4

왼쪽부터 차례로 이어 붙이면 티요의 기록은 $\texttt{000101}$.
선택지와 맞춰 보면 (A) $\texttt{000101}$ 과 정확히 일치합니다.
(C) $\texttt{010000}$ 과 (D) $\texttt{010101}$ 은 총 승수부터 맞지 않고, (B) $\texttt{001001}$ 과 (E) $\texttt{011000}$ 은 적어도 한 개의 열 합이 $2$를 어기므로 제외됩니다.

$$\texttt{000101} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 쌓아 올린 답 문자열을 다섯 선택지와 한 칸씩 비교하는 1학년 수준의 단순 대조입니다.

[1] #15 3.OA.A.3 표를 **행이 아니라 열**로 다시 정리합니다. 네 선수가 같은 라운드에 한꺼번에 경기하면 두 경기가 동시에 진행되므로, 한 라운드(한 열)에는

[2] #2 1.OA.A.1 여섯 개의 열을 빠짐없이 차례로 살핍니다. 각 라운드마다 롤라, 롤로, 티야의 칸을 더하고, 그 합이 $2$가 되도록 티요의 칸을 채워 넣으면

[3] #2 1.OA.A.1 1열: $1 + 1 + 0 = 2$이므로 티요 $= 2 - 2 = 0$. 2열: $1 + 0 + 1 = 2$이므로 티요 $= 0$. 3열: $1

[4] #3 1.OA.A.1 왼쪽부터 차례로 이어 붙이면 티요의 기록은 $\texttt{000101}$. 선택지와 맞춰 보면 (A) $\texttt{000101}$ 과 정확

검토

합리성 확인: 총 승수로 다시 확인합니다. 라운드 $6$ 개에 라운드마다 $2$ 승씩이니 표 전체의 $1$의 개수는 $6 \times 2 = 12$ 여야 합니다. 롤라 $5$, 롤로 $3$, 티야 $2$, 티요($\texttt{000101}$) $2$를 더하면 $5 + 3 + 2 + 2 = 12$로 정확히 들어맞고, 모든 열의 합도 $2$로 유지됩니다. 여섯 개의 열 조건을 모두 만족하는 선택지는 (A) 하나뿐입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)부터 쓰는 방법도 있습니다. 각 선수가 $6$ 경기를 하므로 총 승수는 $12$이고, 알려진 승수의 합 $5 + 3 + 2 = 10$ 에서 티요는 정확히 $2$승이어야 합니다. 이로써 1이 한 개뿐인 (C)와 세 개인 (D)가 즉시 제외되고, 남은 세 선택지를 열 합 규칙으로 검사하면 (A)만 살아남습니다. 열별 직접 계산보다 약간 덜 우아하지만 같은 답에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 $100$ 이하의 수에서 곱셈과 나눗셈 문장제를 푼다 (한 라운드의 선수 $4$명을 짝지으면 $4 \div 2 = 2$ 경기가 되어 라운드마다 정확히 $2$ 승이 있다는 것을 알아내는 데 사용.)
1.OA.A.1 $20$ 이하의 덧셈·뺄셈 문장제를 푼다 (각 열에서 "$2$ − (다른 세 명의 합)" 으로 티요의 칸을 채우고, 완성된 문자열 $\texttt{000101}$ 을 선택지와 맞추는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 "$4$명을 둘씩 짝지으면 $2$경기" 같은 나눗셈만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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