AMC 8 · 2024 · #8
쉬운 모드 학년 4문제
태오가 월요일에 $2를 가지고 있다고 상상해봅시다.
매일 태오는 전날 가지고 있던 돈에 대해 다음 두 가지 중 정확히 하나를 합니다:
- $3를 더하거나,
- 가진 돈을 두 배로 만들거나.
그래서 화요일에 그가 가진 돈은 그가 어떤 선택을 했는지에 따라 달라지고, 수요일과 목요일에도 마찬가지입니다.
월요일에서 사흘이 지난 목요일에, 태오가 가질 수 있는 서로 다른 금액의 가짓수는 몇 가지일까요?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 태오는 월요일에 $2$달러를 가지고 있고, 매일 두 가지 행동 중 하나를 한다: '$3$달러 더하기' 또는 '돈을 두 배로 만들기'. 월요일에서 3일 뒤인 목요일까지 행동을 세 번 한 뒤, 태오가 가질 수 있는 서로 다른 금액의 개수가 몇 가지인지 구해야 한다.
주어진 것: 월요일 시작 금액: $2$달러; 매일 두 가지 선택 중 하나: $+3$ 또는 $\times 2$; 월요일 → 화요일 → 수요일 → 목요일, 총 3번의 행동; 다섯 개의 선택지: (A) 3, (B) 4, (C) 5, (D) 6, (E) 7
구하는 것: 목요일에 가능한 서로 다른 달러 금액의 개수
이해
문제 재정리: 태오는 월요일에 $2$달러를 가지고 있고, 매일 두 가지 행동 중 하나를 한다: '$3$달러 더하기' 또는 '돈을 두 배로 만들기'. 월요일에서 3일 뒤인 목요일까지 행동을 세 번 한 뒤, 태오가 가질 수 있는 서로 다른 금액의 개수가 몇 가지인지 구해야 한다.
주어진 것: 월요일 시작 금액: $2$달러; 매일 두 가지 선택 중 하나: $+3$ 또는 $\times 2$; 월요일 → 화요일 → 수요일 → 목요일, 총 3번의 행동; 다섯 개의 선택지: (A) 3, (B) 4, (C) 5, (D) 6, (E) 7
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
행동이 매일 두 가지뿐이고 총 3일이므로 가능한 경로는 최대 $2^3 = 8$개에 불과하다. 이 정도 크기는 빠짐없이 나열해서 직접 추적하는 것이 가장 안전하다(도구 #2). 매일의 가능한 금액을 가지에서 갈라지는 가지(나무 그림)로 그려 두면 중복과 누락을 한눈에 확인할 수 있다(도구 #1). 마지막에는 중복된 금액을 지워 서로 다른 금액의 수를 세는데, 이는 후보 목록에서 같은 값을 지우는 가능성 소거와 같다(도구 #3). 대수나 식 세우기는 필요 없다.
실행 — 정답: D
2.OA.B.2 단계 1 - 월요일에서 화요일로 가는 한 번의 행동을 적용해 화요일에 가능한 금액을 모두 나열한다.
- 시작값은 $2$달러이고 두 가지 선택지는 '$+3$'과 '$\times 2$'다.
- 각각을 적용하면 $2+3=5$ 또는 $2 \times 2 = 4$가 나온다.
- 따라서 화요일의 가능한 금액 집합은 $\{4, 5\}$이다.
💡 20 이내의 한 자리 덧셈과 두 배 만들기는 2학년에서 자동화된 연산이다.
3.OA.C.7 단계 2 - 이번에는 화요일의 두 금액 각각에 다시 두 가지 행동을 적용해 수요일에 가능한 금액을 모두 나열한다.
- $4$에서: $4+3=7$, $4 \times 2 = 8$.
- $5$에서: $5+3=8$, $5 \times 2 = 10$.
- 결과 목록은 $\{7, 8, 8, 10\}$인데 $8$이 중복되므로 **서로 다른** 금액의 집합은 $\{7, 8, 10\}$이다.
- 서로 다른 경로가 같은 금액으로 합쳐질 수 있다는 점에 주의한다.
💡 나무 모양으로 갈라지는 가지를 그려 두면, 두 경로가 같은 금액 $8$로 합쳐지는 모습이 한눈에 보인다. 한 자리 곱셈($5\times 2$, $4 \times 2$)은 3학년의 곱셈구구 자동화 수준이다.
3.OA.D.8 단계 3 - 마지막으로 수요일의 서로 다른 세 금액 $\{7, 8, 10\}$ 각각에 두 가지 행동을 적용해 목요일의 모든 후보를 나열한다.
- $7 \to 10, 14$.
- $8 \to 11, 16$.
- $10 \to 13, 20$.
- 결과 목록은 $\{10, 14, 11, 16, 13, 20\}$, 즉 여섯 개의 값이다.
💡 더하기와 곱하기를 정해진 규칙대로 100 이내에서 차례로 적용하는 다단계 계산은 3학년의 네 연산을 활용한 문제 해결과 같다.
4.OA.C.5 단계 4 - 목요일의 후보 여섯 개 $\{10, 14, 11, 16, 13, 20\}$ 중에 중복이 있는지 확인한다.
- 오름차순으로 다시 적으면 $10, 11, 13, 14, 16, 20$이고 모두 서로 다르다.
- 따라서 가능한 서로 다른 금액의 수는 $6$개이며, 선택지 중 이 값과 같은 것은 (D)이다.
- 다른 선택지 3, 4, 5, 7은 우리가 만든 명시적 목록과 일치하지 않으므로 제거한다.
💡 주어진 규칙('$+3$ 또는 $\times 2$')을 반복 적용해 만들어지는 수열의 항을 생성하고 그 가짓수를 세는 일은 4학년 '수·도형 패턴 생성하기' 표준의 정수다.
2.OA.B.2 월요일에서 화요일로 가는 한 번의 행동을 적용해 화요일에 가능한 금액을 모두 나열한다. 시작값은 $2$달러이고 두 가지 선택지는 '$+3$'과 3.OA.C.7 이번에는 화요일의 두 금액 각각에 다시 두 가지 행동을 적용해 수요일에 가능한 금액을 모두 나열한다. $4$에서: $4+3=7$, $4 \tim 3.OA.D.8 마지막으로 수요일의 서로 다른 세 금액 $\{7, 8, 10\}$ 각각에 두 가지 행동을 적용해 목요일의 모든 후보를 나열한다. $7 \to 1 4.OA.C.5 목요일의 후보 여섯 개 $\{10, 14, 11, 16, 13, 20\}$ 중에 중복이 있는지 확인한다. 오름차순으로 다시 적으면 $10, 11 검토
합리성 확인: 가능한 경로의 총 개수는 $2 \times 2 \times 2 = 8$개다. 만약 어느 경로도 같은 금액을 만들지 않았다면 답은 $8$이어야 하지만, 우리는 수요일에 $8$달러로 합쳐지는 경로 두 개($4 \to 8$과 $5 \to 8$)가 있음을 확인했다. 이 합쳐진 경로는 결국 목요일의 후보 두 쌍을 같게 만들 잠재력이 있는데, 실제로 목록 $\{10, 11, 13, 14, 16, 20\}$을 보면 추가 중복은 없고 한 번의 합침만 살아남아 $8 - 2 = 6$가지가 된다. 따라서 답 $6$은 경로 수 계산과도 일치한다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)을 단독 주연으로 써서 "가지치는 나무"를 그려도 똑같이 풀린다. 뿌리에 $2$, 각 노드에서 위쪽 가지(+3)와 아래쪽 가지(×2)를 그려 3단계까지 확장한 뒤, 잎(목요일 금액)들을 모아 중복을 표시한다. 시각적이라 더 직관적이지만, 표(나열)와 본질은 같다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.B.220 이하의 덧셈·뺄셈을 암산 전략으로 능숙하게 한다 (월요일 $2$에서 화요일로 갈 때 $2+3=5$와 $2\times 2 = 4$ 같은 작은 덧셈·두 배 만들기 계산에 사용.)3.OA.C.7100 이하의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 (화요일·수요일 금액을 두 배($4\times 2, 5\times 2, 7\times 2, 8\times 2, 10 \times 2$)로 만드는 한 자리 곱셈에 사용.)3.OA.D.8100 이하의 네 연산을 이용한 두 단계 문장제 풀이 (수요일 금액에 다시 더하기 또는 두 배를 적용해 목요일 후보를 모두 만드는 다단계 계산에 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴을 생성한다 ('$+3$ 또는 $\times 2$' 규칙을 세 번 반복 적용해 가능한 모든 금액을 생성하고 서로 다른 항의 개수를 세는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '규칙에 따라 수열 만들기'만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '규칙에 따라 수열 만들기'만 알면 풀 수 있어요!
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