AMC 8 · 2025 · #10

쉬운 모드 학년 5

문제

직사각형 $ABCD$ 가 책상 위에 평평하게 놓여 있다고 상상해 봅시다. 긴 변 $AB$ 는 $5$ 인치이고, 짧은 변 $AD$ 는 $3$ 인치예요.

이제 변 $DC$ 의 한가운데 점을 찾으세요. 그러니까 아래쪽 변의 정확한 중심을 말해요. 직사각형을 그 점에 핀으로 고정합니다. 그리고 그 핀을 중심으로 직사각형 전체를 시계 방향으로 $90^\circ$ 돌립니다. 다 돌리고 나면, 두 번째 직사각형이 생기게 되지요.

이제 두 직사각형이 책상의 일부를 함께 덮고 있어요. 어떤 자리는 직사각형 하나만 덮고 있어요. 또 어떤 자리는 두 직사각형이 동시에 겹쳐서 덮고 있어요.

두 직사각형 중 적어도 하나가 덮고 있는 부분의 전체 넓이는 몇 제곱인치일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

22.25

(C)

(D)

23.75

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로 $5$인치, 세로 $3$인치 직사각형 $ABCD$를 변 $DC$ 의 중점 $M$ 을 중심으로 시계 방향 $90^\circ$ 만큼 회전시켜 두 번째 직사각형을 얻습니다. 이때 두 직사각형이 겹쳐서 덮는 영역의 총 넓이(제곱인치)를 구하세요.

주어진 것: 직사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 5$ 인치, $AD = 3$ 인치; 변 $DC$ 의 중점 $M$ 을 중심으로 시계 방향 $90^\circ$ 회전; $DC = AB = 5$ 이므로 $MD = MC = 2.5$ 인치; 선택지: (A) $21$, (B) $22.25$, (C) $23$, (D) $23.75$, (E) $25$

구하는 것: 원본 직사각형과 회전된 직사각형의 합집합이 덮는 전체 넓이(제곱인치)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #10 직접 만져보기

회전 후 두 직사각형이 어떻게 겹치는지가 핵심이므로 도구 #1(그림 그리기) 로 $ABCD$ 와 중점 $M$, 그리고 회전된 사본을 직접 스케치하는 것이 가장 빠른 출발입니다. 머릿속 회전이 어렵다면 도구 #10(직접 만져보기) — $5 \times 3$ 종이를 잘라 긴 변의 중점에 핀을 꽂고 시계 방향으로 돌려보면 겹친 부분이 작은 정사각형이라는 사실이 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (i) 직사각형 한 개의 넓이, (ii) 겹친 부분의 모양과 넓이, (iii) 포함-배제 원리로 합산: 전체 $=$ 넓이$_1 +$ 넓이$_2 -$ 겹친 넓이 — 이 세 조각으로 문제를 분해합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 1

원본 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다 — 위쪽에 $AB = 5$, 아래쪽에 $DC = 5$, 왼쪽 변 $AD = 3$.
그리고 $DC$ 의 중점 $M$ 을 찍으면 $MD = MC = 2.5$ 인치가 됩니다.
이 그림이 이후 풀이의 기준이 됩니다.

$$MD = MC = \tfrac{5}{2} = 2.5 \text{ 인치}$$

💡 변을 똑같이 둘로 나누어 중점을 찍는 것은 3학년 도형 등분 그대로 — 공식이 필요 없는 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3 단계 2

직사각형 한 개의 넓이는 가로 $\times$ 세로로 구합니다.
직사각형 하나의 넓이는 $5 \times 3 = 15$ 제곱인치입니다.

$$\text{넓이}_{\text{한 개}} = 5 \times 3 = 15 \text{ in}^2$$

💡 가로 곱하기 세로로 직사각형의 넓이를 구하는 것은 4학년 넓이 공식 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 1.G.A.2 단계 3

이제 회전된 직사각형을 그리거나(또는 종이를 잘라 직접 돌려) 위치를 잡습니다.
$M$ 에 핀을 꽂고 시계 방향으로 $90^\circ$ 돌리면, 원래 $M$ 에서 $C$ 까지의 오른쪽 절반($2.5 \times 3$ 조각) 은 $M$ 의 오른쪽 위로 빠져나가고, 원본의 위쪽 변 일부가 $M$ 의 오른쪽으로 내려와 가로 변이 됩니다.
그림을 보면 겹친 부분은 $M$ 에서 오른쪽으로 $2.5$, 위로 $2.5$ 인 작은 정사각형임이 보입니다.

겹친 부분 = 한 변이 $2.5$ 인치인 정사각형

💡 종이를 직접 돌려보면 겹친 영역의 모양이 한눈에 보입니다 — 도형을 조합·분해해서 새 도형을 만드는 것은 1학년 기하 활동입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 4

겹친 부분의 넓이를 구합니다.
한 변이 $2.5$ 인치인 정사각형이므로 넓이는 $2.5 \times 2.5$ 입니다.

$$\text{겹친 넓이} = 2.5 \times 2.5 = 6.25 \text{ in}^2$$

💡 소수점 둘째 자리까지의 곱셈($2.5 \times 2.5 = 6.25$) 은 5학년 소수 연산 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 5

포함-배제 원리로 합산합니다.
두 도형이 겹칠 때, 두 넓이를 더한 다음 겹친 넓이를 한 번 빼 줘야 같은 영역을 두 번 세지 않습니다.

$$\text{전체} = 15 + 15 - 6.25 = 30 - 6.25 = 23.75 \text{ in}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 겹친 부분을 한 번 빼주면 중복이 사라집니다 — $30 - 6.25$ 자체도 5학년 소수 뺄셈입니다.

[1] #1 3.G.A.2 원본 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다 — 위쪽에 $AB = 5$, 아래쪽에 $DC = 5$, 왼쪽 변 $AD = 3$. 그리고 $DC$ 의 중

[2] #7 4.MD.A.3 직사각형 한 개의 넓이는 가로 $\times$ 세로로 구합니다. 직사각형 하나의 넓이는 $5 \times 3 = 15$ 제곱인치입니다.

[3] #10 1.G.A.2 이제 회전된 직사각형을 그리거나(또는 종이를 잘라 직접 돌려) 위치를 잡습니다. $M$ 에 핀을 꽂고 시계 방향으로 $90^\circ$ 돌리면,

[4] #7 5.NBT.B.7 겹친 부분의 넓이를 구합니다. 한 변이 $2.5$ 인치인 정사각형이므로 넓이는 $2.5 \times 2.5$ 입니다.

[5] #7 5.NBT.B.7 포함-배제 원리로 합산합니다. 두 도형이 겹칠 때, 두 넓이를 더한 다음 겹친 넓이를 한 번 빼 줘야 같은 영역을 두 번 세지 않습니다.

검토

합리성 확인: 직사각형 한 개의 넓이가 $15$ in$^2$ 이므로, 두 직사각형의 합집합은 반드시 $15$ 보다 크고 $2 \times 15 = 30$ 보다 작아야 합니다. 답 $23.75$ 는 그 사이에 자연스럽게 들어가고, 겹친 넓이 $6.25$ 도 $2.5 \times 5$ 짜리 "오른쪽 절반" 의 절반인 $\tfrac{1}{2} \times 2.5 \times 5 = 6.25$ 와 일치해 기하 구조와 맞아떨어집니다. 선택지 중 $30 - 6.25$ 가 되는 값은 (D) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기) 로 좌표를 잡아 풀 수도 있습니다. $M$ 을 $(0,0)$ 에 두면 원본 직사각형은 $-2.5 \le x \le 2.5$, $0 \le y \le 3$ 영역이고, 회전된 직사각형은 $0 \le x \le 3$, $-2.5 \le y \le 2.5$ 영역입니다. 두 영역의 교집합은 $0 \le x \le 2.5$, $0 \le y \le 2.5$ 인 정사각형으로 넓이는 $6.25$ — 같은 답 $23.75$ in$^2$ 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

1.G.A.2 평면도형이나 입체도형을 조합하기 (회전 후 겹친 영역이 작은 정사각형이라는 사실을, 두 직사각형의 모서리들이 만나서 만드는 단순한 도형으로 인식하는 데 사용.)
3.G.A.2 도형을 넓이가 같은 부분들로 등분하기 ($5$ 인치 변을 똑같이 둘로 나눠 $2.5$ 인치씩 잘라 $DC$ 의 중점 $M$ 을 찾는 데 사용.)
4.MD.A.3 실생활 문제에서 직사각형의 넓이·둘레 공식 활용 (직사각형 한 개의 넓이를 $5 \times 3 = 15$ in$^2$ 로 계산.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (겹친 넓이 $2.5 \times 2.5 = 6.25$ 의 소수 곱셈과 최종 합산 $30 - 6.25 = 23.75$ 의 소수 뺄셈에 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 소수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 겹친 부분이 한 변 $2.5$ 인치짜리 작은 정사각형인 걸 보기만 하면, 나머지는 $15 + 15 - 6.25$ 계산뿐이거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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