AMC 10 · 2019 · #13
학년 8 geometry-2d문제
Let △ABC be an isosceles triangle with BC=AC and ∠ACB=40∘. Construct the circle with diameter BC, and let D and E be the other intersection points of the circle with the sides AC and AB, respectively. Let F be the intersection of the diagonals of the quadrilateral BCDE. What is the degree measure of \angle BFC ?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\triangle ABC$ 는 $BC = AC$ 인 이등변삼각형이고 $\angle ACB = 40^{\circ}$. $\overline{BC}$ 를 지름으로 하는 원이 $\overline{AC}$ 와 만나는 다른 점을 $D$, $\overline{AB}$ 와 만나는 다른 점을 $E$ 라 하자. 사각형 $BCDE$ 의 두 대각선 $\overline{BD}, \overline{CE}$ 의 교점을 $F$ 라 할 때 $\angle BFC$ 의 크기는?
주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $BC = AC$ 인 이등변삼각형; $\angle ACB = 40^{\circ}$; $\overline{BC}$ 가 원의 지름; $D \in \overline{AC}$, $E \in \overline{AB}$ 가 원 위에 있음; $F$ 는 삼각형 안에서 $\overline{BD}, \overline{CE}$ 가 만나는 점; 선택지: $90^{\circ}, 100^{\circ}, 105^{\circ}, 110^{\circ}, 120^{\circ}$
구하는 것: $\angle BFC$ 의 크기 (도)
이해
문제 재정리: $\triangle ABC$ 는 $BC = AC$ 인 이등변삼각형이고 $\angle ACB = 40^{\circ}$. $\overline{BC}$ 를 지름으로 하는 원이 $\overline{AC}$ 와 만나는 다른 점을 $D$, $\overline{AB}$ 와 만나는 다른 점을 $E$ 라 하자. 사각형 $BCDE$ 의 두 대각선 $\overline{BD}, \overline{CE}$ 의 교점을 $F$ 라 할 때 $\angle BFC$ 의 크기는?
주어진 것: $\triangle ABC$ 는 $BC = AC$ 인 이등변삼각형; $\angle ACB = 40^{\circ}$; $\overline{BC}$ 가 원의 지름; $D \in \overline{AC}$, $E \in \overline{AB}$ 가 원 위에 있음; $F$ 는 삼각형 안에서 $\overline{BD}, \overline{CE}$ 가 만나는 점; 선택지: $90^{\circ}, 100^{\circ}, 105^{\circ}, 110^{\circ}, 120^{\circ}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림): 지름 $\overline{BC}$ 인 원과 $\triangle ABC$ 를 그리고 탈레스로 $D, E$ 에서의 직각을 표시. 도구 #7(쪼개기): 작은 삼각형 셋을 차례로 풀어 각만 추적 — $\triangle ABC$ 에서 밑각, $\triangle BEC$(직각 $E$)에서 $\angle BCE$, $\triangle BDC$(직각 $D$)에서 $\angle DBC$, 마지막에 $\triangle BFC$ 에서 내각의 합. 도구 #3 으로 $110^{\circ}$ 매칭.
실행 — 정답: D
4.G.A.1 단계 1 - 그림을 그린다.
- 꼭짓점 $A$ 를 위, $\overline{BC}$ 를 아래에 놓고, $\overline{BC}$ 중점을 중심으로 하는 원을 그린다.
- $\overline{AC}$ 위에서 원과 다시 만나는 점이 $D$, $\overline{AB}$ 위에서 원과 다시 만나는 점이 $E$.
- 사각형 $BCDE$ 의 대각선 $\overline{BD}, \overline{CE}$ 의 교점이 $F$.
💡 4학년 도형: 잘 표시한 그림 한 장에 모든 각이 보임.
8.G.A.5 단계 2 - $\triangle ABC$ 의 밑각을 구한다.
- $BC = AC$ 이므로 같은 변의 대각이 같다 — $\angle BAC = \angle ABC$.
- 내각의 합 $180^{\circ}$ 에서 $\angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$, 즉 $\angle BAC = \angle ABC = 70^{\circ}$.
💡 8학년 내각의 합: 남은 $140^{\circ}$ 를 두 밑각이 똑같이 나눠 가짐.
7.G.B.5 단계 3 - $E$ 에서 탈레스.
- $\overline{BC}$ 가 지름이고 $E$ 가 원 위이므로 $\angle BEC = 90^{\circ}$.
- $\triangle BEC$ 에서 $\angle BEC = 90^{\circ}$, $\angle EBC = \angle ABC = 70^{\circ}$ 이므로 $\angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.
💡 7학년 각의 성질: 직각 하나와 알려진 각 하나면 세 번째 각이 결정.
7.G.B.5 단계 4 - $D$ 에서 탈레스.
- $D$ 가 원 위이고 $\overline{BC}$ 가 지름이므로 $\angle BDC = 90^{\circ}$.
- $\triangle BDC$ 에서 $\angle BDC = 90^{\circ}$, $\angle DCB = \angle ACB = 40^{\circ}$ 이므로 $\angle DBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.
💡 7학년 각의 성질: 또 다른 직각이 또 다른 작은 삼각형을 깔끔히 정리.
8.G.A.5 단계 5 - 이제 $\triangle BFC$ 를 보자.
- $F$ 가 $\overline{BD}$ 위에 있으므로 $\angle FBC = \angle DBC = 50^{\circ}$.
- $F$ 가 $\overline{CE}$ 위에 있으므로 $\angle FCB = \angle ECB = 20^{\circ}$.
- 내각의 합: $\angle BFC = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$.
💡 8학년: 대각선이 만든 마지막 삼각형도 결국 내각의 합 한 번.
4.MD.C.6 단계 6 $110^{\circ}$ 을 선택지와 매칭: $(D)$.
💡 4학년 각도: 같은 도수를 선택지에서 고르기.
4.G.A.1 그림을 그린다. 꼭짓점 $A$ 를 위, $\overline{BC}$ 를 아래에 놓고, $\overline{BC}$ 중점을 중심으로 하는 원을 그 8.G.A.5 $\triangle ABC$ 의 밑각을 구한다. $BC = AC$ 이므로 같은 변의 대각이 같다 — $\angle BAC = \angle ABC 7.G.B.5 $E$ 에서 탈레스. $\overline{BC}$ 가 지름이고 $E$ 가 원 위이므로 $\angle BEC = 90^{\circ}$. $\tri 7.G.B.5 $D$ 에서 탈레스. $D$ 가 원 위이고 $\overline{BC}$ 가 지름이므로 $\angle BDC = 90^{\circ}$. $\tri 8.G.A.5 이제 $\triangle BFC$ 를 보자. $F$ 가 $\overline{BD}$ 위에 있으므로 $\angle FBC = \angle DBC 4.MD.C.6 $110^{\circ}$ 을 선택지와 매칭: $(D)$. 검토
합리성 확인: 교점 $F$ 주위에서 맞꼭지각 관계로 네 각은 $110^{\circ}, 70^{\circ}, 110^{\circ}, 70^{\circ}$ 가 되어 합이 $360^{\circ}$ — 대각선이 안에서 만나는 볼록사각형의 전형적인 모습. $110^{\circ}$ 는 둔각이고, 그림에서도 $F$ 가 $A$ 보다 약간 아래에 위치하므로 $\angle BFC$ 가 $90^{\circ}$ 보다 크게 벌어진다는 시각적 직관과 일치.
대안 접근: 도구 #4(원주사각형 성질 활용): $BCDE$ 가 원에 내접하므로 외각 = 대각, 즉 $\angle AED = \angle DCB = 40^{\circ}$. $\triangle ADE$ 에서 $\angle A = 70^{\circ}, \angle AED = 40^{\circ}$ 이므로 $\angle ADE = 70^{\circ}$. $\overline{BD}$ 를 따라 $D$ 에서의 외각이 $110^{\circ}$ 이고, 맞꼭지·동측 각 관계로 그 값이 곧 $\angle BFC$ — $(D)$ 확인.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.1점·선·선분·반직선·각을 그리고 도형에서 식별하기 ($\triangle ABC$, 지름 $\overline{BC}$ 의 원, 점 $D, E$, 교점 $F$ 를 표시한 그림 그리기.)4.MD.C.6각도기로 도(°) 단위 각의 크기 재기 ($110^{\circ}$ 을 선택지 값과 매칭.)7.G.B.5보각·여각·맞꼭지각·인접각의 성질 활용하기 (두 탈레스 직각삼각형 안에서 $\angle BCE = 20^{\circ}, \angle DBC = 50^{\circ}$ 계산.)8.G.A.5내각의 합·외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 세우기 ($\triangle ABC$ 의 밑각 $70^{\circ}$ 를 구하고 $\triangle BFC$ 의 내각의 합으로 $\angle BFC = 110^{\circ}$ 도출.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 각 추적만 알면 풀 수 있어요! $BC$ 가 지름이라 $\angle BEC$ 와 $\angle BDC$ 는 각각 $90^{\circ}$ (탈레스). 이등변삼각형의 밑각은 $70^{\circ}$. 두 직각삼각형에서 $\angle BCE = 20^{\circ}, \angle DBC = 50^{\circ}$ 가 나옴. 마지막으로 $\triangle BFC$ 에서 $180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ} = \mathbf{110^{\circ}}$, 답 $(D)$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 각 추적만 알면 풀 수 있어요! $BC$ 가 지름이라 $\angle BEC$ 와 $\angle BDC$ 는 각각 $90^{\circ}$ (탈레스). 이등변삼각형의 밑각은 $70^{\circ}$. 두 직각삼각형에서 $\angle BCE = 20^{\circ}, \angle DBC = 50^{\circ}$ 가 나옴. 마지막으로 $\triangle BFC$ 에서 $180^{\circ} - 50^{\circ} - 20^{\circ} = \mathbf{110^{\circ}}$, 답 $(D)$.
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