AMC 10 · 2019 · #15
학년 8 number-theory문제
A sequence of numbers is defined recursively by a1=1, a2=73, and
an=2an−2−an−1an−2⋅an−1for all n≥3 Then a2019 can be written as qp, where p and q are relatively prime positive integers. What is p+q ?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $a_1 = 1, a_2 = \frac{3}{7}$ 이고 $n \ge 3$ 에 대해 $a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ 로 정의된 수열이 있다. $a_{2019} = \dfrac{p}{q}$ ($p, q$ 는 서로소인 양의 정수)일 때 $p + q$ 를 구하시오.
주어진 것: $a_1 = 1,\;\; a_2 = \tfrac{3}{7}$; $a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ ($n \ge 3$); $a_{2019} = \tfrac{p}{q}$ 가 기약분수; 선택지: $2020, 4039, 6057, 6061, 8078$
구하는 것: $p + q$
이해
문제 재정리: $a_1 = 1, a_2 = \frac{3}{7}$ 이고 $n \ge 3$ 에 대해 $a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ 로 정의된 수열이 있다. $a_{2019} = \dfrac{p}{q}$ ($p, q$ 는 서로소인 양의 정수)일 때 $p + q$ 를 구하시오.
주어진 것: $a_1 = 1,\;\; a_2 = \tfrac{3}{7}$; $a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ ($n \ge 3$); $a_{2019} = \tfrac{p}{q}$ 가 기약분수; 선택지: $2020, 4039, 6057, 6061, 8078$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
도구 #15(다르게 정리): 역수를 취해 $b_n = 1/a_n$ 로 두면 곱셈식이 깔끔한 일차 점화식 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$ 로 바뀜 — 즉 $b_n - b_{n-1}$ 가 일정해 등차수열. 도구 #5(패턴) + 도구 #9(쉬운 문제): $a_3, a_4$ 를 손으로 검증해 등차 패턴 확인. 그러면 $b_{2019}$ 는 등차 일반항으로 즉시 계산, 마지막으로 $p + q$ 도출. 도구 #3 으로 선택지 매칭.
실행 — 정답: E
8.EE.A.1 단계 1 - 다르게 정리.
- $a_n = \dfrac{a_{n-2} a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ 의 양변에 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2 a_{n-2} - a_{n-1}}{a_{n-2} a_{n-1}} = \dfrac{2}{a_{n-1}} - \dfrac{1}{a_{n-2}}$.
- $b_n = \dfrac{1}{a_n}$ 으로 두면 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$ 가 됨.
💡 8학년 식 변형: 곱셈 규칙을 역수 규칙으로 뒤집으면 더러운 곱이 깔끔한 일차 결합으로 바뀜.
4.OA.C.5 단계 2 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$ 를 $b_n - b_{n-1} = b_{n-1} - b_{n-2}$ 로 쓰면 연속한 차가 모두 같음 — $\{b_n\}$ 은 등차수열.
💡 4학년 규칙수열: 차가 일정하면 매번 같은 양을 더해가는 수열.
4.OA.C.5 단계 3 - $b_1, b_2$ 로 공차 결정.
- $b_1 = 1/a_1 = 1$, $b_2 = 1/a_2 = 7/3$.
- 공차 $d = b_2 - b_1 = \tfrac{7}{3} - 1 = \tfrac{4}{3}$.
- 따라서 $b_n = 1 + (n-1) \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{3 + 4(n-1)}{3} = \tfrac{4n - 1}{3}$.
💡 4학년 규칙수열: 일반항은 "첫 항 + $(n-1) \times$ 공차".
5.NF.B.7 단계 4 - $n = 3$ 으로 작게 검증.
- $b_3 = \tfrac{4 \cdot 3 - 1}{3} = \tfrac{11}{3}$, 즉 $a_3 = \tfrac{3}{11}$.
- 원래 점화식: $a_3 = \dfrac{a_1 a_2}{2 a_1 - a_2} = \dfrac{1 \cdot \tfrac{3}{7}}{2 - \tfrac{3}{7}} = \dfrac{\tfrac{3}{7}}{\tfrac{11}{7}} = \dfrac{3}{11}$.
- 일치.
💡 5학년 분수 나눗셈: 작은 사례로 일반항 검증.
6.EE.A.2 단계 5 - $n = 2019$ 대입.
- $b_{2019} = \dfrac{4 \cdot 2019 - 1}{3} = \dfrac{8076 - 1}{3} = \dfrac{8075}{3}$.
- 따라서 $a_{2019} = \dfrac{1}{b_{2019}} = \dfrac{3}{8075}$.
💡 6학년 식 계산: 일반항에 $n = 2019$ 대입.
6.NS.B.4 단계 6 - $\tfrac{3}{8075}$ 가 기약분수인지 확인.
- 소인수분해: $8075 = 25 \cdot 323 = 25 \cdot 17 \cdot 19 = 5^2 \cdot 17 \cdot 19$.
- $3$ 이 들어가지 않으므로 $\gcd(3, 8075) = 1$ — 기약.
- 따라서 $p = 3, q = 8075$.
💡 6학년 최대공약수: 소인수분해 후 $3$ 이 없는지 확인.
4.NBT.B.4 단계 7 $p + q = 3 + 8075 = 8078$.
💡 4학년 여러 자릿수 덧셈: $3 + 8075 = 8078$.
4.NBT.A.2 단계 8 $8078$ 을 선택지와 매칭: $(E)$.
💡 4학년: 선택지에서 일치하는 값을 고름.
8.EE.A.1 다르게 정리. $a_n = \dfrac{a_{n-2} a_{n-1}}{2 a_{n-2} - a_{n-1}}$ 의 양변에 역수를 취하면 $\dfr 4.OA.C.5 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$ 를 $b_n - b_{n-1} = b_{n-1} - b_{n-2}$ 로 쓰면 연속한 차가 모두 4.OA.C.5 $b_1, b_2$ 로 공차 결정. $b_1 = 1/a_1 = 1$, $b_2 = 1/a_2 = 7/3$. 공차 $d = b_2 - b_1 = 5.NF.B.7 $n = 3$ 으로 작게 검증. $b_3 = \tfrac{4 \cdot 3 - 1}{3} = \tfrac{11}{3}$, 즉 $a_3 = \tf 6.EE.A.2 $n = 2019$ 대입. $b_{2019} = \dfrac{4 \cdot 2019 - 1}{3} = \dfrac{8076 - 1}{3} = \ 6.NS.B.4 $\tfrac{3}{8075}$ 가 기약분수인지 확인. 소인수분해: $8075 = 25 \cdot 323 = 25 \cdot 17 \cdot 1 4.NBT.B.4 $p + q = 3 + 8075 = 8078$. 4.NBT.A.2 $8078$ 을 선택지와 매칭: $(E)$. 검토
합리성 확인: 선택지 자체가 좋은 단서: $8078 = 2 \cdot 4039 \approx 4 \cdot 2019$ 이고, 실제 $q = 8075 \approx 4 \cdot 2019$ — $b_{2019} = \tfrac{4 \cdot 2019 - 1}{3}$ 의 분자와 정확히 부합. 또 $n$ 이 커지면 $b_n \to \infty$ 이므로 $a_n \to 0$ 이고, $\tfrac{3}{8075}$ 가 작은 값인 것도 일관됨.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 점화식으로 처음 몇 항을 직접 계산. $a_3 = 3/11, a_4 = 3/15 = 1/5, a_5 = 3/19, a_6 = 3/23$. 패턴: $a_n = \dfrac{3}{4n - 1}$ ($n \ge 2$, $n = 1$ 에서도 $3/3 = 1 = a_1$ 로 들어맞음). $n = 2019$ 에서 $a_{2019} = 3/8075$ — 같은 답.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.NBT.A.2다자릿수 자연수 읽기·쓰기·비교하기 (최종 값 $8078$ 을 선택지와 매칭.)4.NBT.B.4다자릿수 자연수 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 ($p + q = 3 + 8075 = 8078$ 계산.)4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 ($b_n - b_{n-1} = $ 상수임을 알아채고 등차수열 일반항 $b_n = (4n - 1)/3$ 얻기.)5.NF.B.7단위분수 나눗셈 이해와 확장 ($a_3 = (3/7)/(11/7) = 3/11$ 로 검증.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식 쓰기·읽기·계산하기 ($b_n = (4n - 1)/3$ 을 $n = 2019$ 에 대입.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 ($8075 = 5^2 \cdot 17 \cdot 19$ 분해로 $\gcd(3, 8075) = 1$ 확인.)8.EE.A.1정수 지수의 성질 알고 활용하기 (곱셈 점화식을 역수 형태의 일차 점화식 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$ 로 변형.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 역수와 등차수열만 알면 풀 수 있어요! 역수 $b_n = 1/a_n$ 로 두면 복잡한 곱셈 규칙이 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$, 곧 $\{b_n\}$ 은 등차. $b_1 = 1, b_2 = 7/3$ 라 공차 $4/3$, 일반항 $b_n = (4n - 1)/3$. $n = 2019$ 에서 $b_{2019} = 8075/3$, $a_{2019} = 3/8075$. $8075 = 5^2 \cdot 17 \cdot 19$ 이라 기약분수이므로 $p + q = 3 + 8075 = \mathbf{8078}$, 답 $(E)$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 역수와 등차수열만 알면 풀 수 있어요! 역수 $b_n = 1/a_n$ 로 두면 복잡한 곱셈 규칙이 $b_n = 2 b_{n-1} - b_{n-2}$, 곧 $\{b_n\}$ 은 등차. $b_1 = 1, b_2 = 7/3$ 라 공차 $4/3$, 일반항 $b_n = (4n - 1)/3$. $n = 2019$ 에서 $b_{2019} = 8075/3$, $a_{2019} = 3/8075$. $8075 = 5^2 \cdot 17 \cdot 19$ 이라 기약분수이므로 $p + q = 3 + 8075 = \mathbf{8078}$, 답 $(E)$.
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