AMC 10 · 2019 · #14
학년 8 arithmetic문제
For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly N distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of N?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 평면 위에 서로 다른 네 직선을 그릴 때, 두 직선 이상이 만나는 점의 개수를 $N$ 이라 한다 (한 점에서 몇 개의 직선이 만나든 그 점은 한 번만 셈). 가능한 모든 $N$ 의 값을 모두 더한 값을 구하시오.
주어진 것: 서로 다른 직선 네 개; $N = $ 두 직선 이상이 만나는 점의 개수; 선택지: $14, 16, 18, 19, 21$
구하는 것: 가능한 $N$ 의 값을 모두 더한 합
이해
문제 재정리: 평면 위에 서로 다른 네 직선을 그릴 때, 두 직선 이상이 만나는 점의 개수를 $N$ 이라 한다 (한 점에서 몇 개의 직선이 만나든 그 점은 한 번만 셈). 가능한 모든 $N$ 의 값을 모두 더한 값을 구하시오.
주어진 것: 서로 다른 직선 네 개; $N = $ 두 직선 이상이 만나는 점의 개수; 선택지: $14, 16, 18, 19, 21$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림): 후보 배치들을 직접 스케치. 도구 #2(나열): 후보 값 $N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (최대는 $\binom{4}{2} = 6$)를 적어두고 각 값이 가능한지 점검. 도구 #9(쉬운 문제): 각 값마다 구체적인 작은 그림 — 전부 평행, 한 점 다발, 평행쌍 + 횡단선 등. 도구 #3(가능성 지우기): $N = 2$ 가 불가능함을 짧은 모순 논증으로 보이고 살아남는 값을 모두 더함.
실행 — 정답: D
7.SP.C.8 단계 1 - 먼저 최댓값.
- 두 직선마다 교점은 최대 한 개이고, 네 직선의 쌍은 $\binom{4}{2} = 6$ 개이므로 $N \le 6$.
- 후보는 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
💡 7학년 조직적 세기: 쌍의 수가 곧 상한.
4.G.A.2 단계 2 - $N = 0$ 만들기.
- 네 직선을 모두 같은 방향으로 평행(예: 가로 네 줄).
- 어떤 쌍도 만나지 않으므로 $N = 0$.
- 가능.
💡 4학년 평행선: 절대 만나지 않으니 가장 깔끔한 $0$.
4.G.A.1 단계 3 - $N = 1$ 만들기.
- 네 직선이 모두 한 점을 지나도록 그림(예: 원점을 지나는 기울기 다른 네 직선).
- 모든 쌍이 그 한 점에서 만나니 $N = 1$.
💡 4학년: 모든 쌍이 그 점에서만 만나면 교점은 단 하나.
8.G.A.5 단계 4 - $N = 2$ 는 불가능.
- 교점이 $P, Q$ 단 두 개라 가정.
- 경우 1: $P, Q$ 를 동시에 지나는 직선이 없음 — 그러면 $P$ 를 지나는 두 직선과 $Q$ 를 지나는 두 직선이 따로 있고, 새 교점이 생기지 않으려면 $P$-쌍과 $Q$-쌍이 서로 짝을 이뤄 평행이어야 함.
- 그러면 $P$ 를 지나는 두 직선이 같은 $Q$-쪽 직선에 평행이므로 서로도 평행 — 그런데 둘은 $P$ 에서 만난다는 가정과 모순.
- 경우 2: 어떤 직선 $\ell$ 이 $P, Q$ 둘 다 지남.
- 그러면 $P$ 만 지나는 둘째 직선 $m$ 과 $Q$ 만 지나는 둘째 직선 $n$ 이 필요하고, $m, n$ 이 새 교점을 안 만들려면 $m \parallel n$.
- 네 번째 직선은 $P$ 또는 $Q$ 중 하나만 지나야 함; 어느 쪽이든 자기 짝과 평행이 못 되므로 새 교점이 생겨 셋 번째 교점 발생 — 모순.
- 따라서 $N = 2$ 불가능.
💡 8학년 비형식 논증: 평행 관계만 추적하면 $N = 2$ 는 어떤 배치로도 안 됨.
4.G.A.2 단계 5 - $N = 3$ 만들기.
- 평행한 세 직선과 그 셋을 모두 가로지르는 횡단선 하나.
- 횡단선이 세 평행선과 각각 다른 점에서 만나니 교점 $3$ 개, 평행선들끼리는 안 만남.
- $N = 3$.
💡 4학년 평행과 횡단: 평행 셋을 가로지르는 한 직선이 정확히 세 점.
4.G.A.1 단계 6 - $N = 4$ 만들기.
- $P$ 를 지나는 공점 세 직선($1$ 교점)에 $P$ 를 안 지나면서 어느 것과도 평행이 아닌 네 번째 직선을 추가.
- 네 번째 직선이 세 직선과 각각 새 점에서 만나 $3$ 개 더 — 총 $N = 1 + 3 = 4$.
💡 4학년: 공점 세 직선을 가로지르는 직선이 새 교점 셋을 더함.
4.G.A.2 단계 7 - $N = 5$ 만들기.
- 정확히 한 쌍만 평행, 나머지는 일반 위치.
- 최댓값 $6$ 에서 평행 한 쌍이 교점 하나를 지우므로 $N = 6 - 1 = 5$.
- 예: 평행 가로 두 직선 + 일반 위치 두 직선.
💡 4학년: 평행쌍 하나는 교점을 정확히 하나 잡아먹음.
4.G.A.1 단계 8 - $N = 6$ 만들기.
- 일반 위치 네 직선(어떤 쌍도 평행 아님, 어떤 세 직선도 공점 아님).
- 모든 쌍이 서로 다른 점에서 만나므로 $N = 6$.
💡 4학년: 지름길이 없으면 모든 쌍이 자기 교점을 가짐.
4.NBT.B.4 단계 9 가능한 값 $\{0, 1, 3, 4, 5, 6\}$ 의 합: $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19$.
💡 4학년 여러 자릿수 덧셈: 살아남은 여섯 값을 합산.
4.NBT.A.2 단계 10 $19$ 를 선택지와 매칭: $(D)$.
💡 4학년: 선택지에서 $19$ 를 고름.
7.SP.C.8 먼저 최댓값. 두 직선마다 교점은 최대 한 개이고, 네 직선의 쌍은 $\binom{4}{2} = 6$ 개이므로 $N \le 6$. 후보는 $0, 4.G.A.2 $N = 0$ 만들기. 네 직선을 모두 같은 방향으로 평행(예: 가로 네 줄). 어떤 쌍도 만나지 않으므로 $N = 0$. 가능. 4.G.A.1 $N = 1$ 만들기. 네 직선이 모두 한 점을 지나도록 그림(예: 원점을 지나는 기울기 다른 네 직선). 모든 쌍이 그 한 점에서 만나니 $N 8.G.A.5 $N = 2$ 는 불가능. 교점이 $P, Q$ 단 두 개라 가정. 경우 1: $P, Q$ 를 동시에 지나는 직선이 없음 — 그러면 $P$ 를 지 4.G.A.2 $N = 3$ 만들기. 평행한 세 직선과 그 셋을 모두 가로지르는 횡단선 하나. 횡단선이 세 평행선과 각각 다른 점에서 만나니 교점 $3$ 개, 4.G.A.1 $N = 4$ 만들기. $P$ 를 지나는 공점 세 직선($1$ 교점)에 $P$ 를 안 지나면서 어느 것과도 평행이 아닌 네 번째 직선을 추가. 4.G.A.2 $N = 5$ 만들기. 정확히 한 쌍만 평행, 나머지는 일반 위치. 최댓값 $6$ 에서 평행 한 쌍이 교점 하나를 지우므로 $N = 6 - 1 4.G.A.1 $N = 6$ 만들기. 일반 위치 네 직선(어떤 쌍도 평행 아님, 어떤 세 직선도 공점 아님). 모든 쌍이 서로 다른 점에서 만나므로 $N = 4.NBT.B.4 가능한 값 $\{0, 1, 3, 4, 5, 6\}$ 의 합: $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19$. 4.NBT.A.2 $19$ 를 선택지와 매칭: $(D)$. 검토
합리성 확인: $N$ 의 범위는 $0$ (모두 평행) 부터 $6$ (일반 위치)까지. 모든 값이 가능하면 합은 $0 + 1 + \dots + 6 = 21$ 인데 $N = 2$ 하나만 불가능 — $21 - 2 = 19$ 와 정확히 일치.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 각 $N$ 을 직접 만들지 말고 최댓값 $6$ 에서 "잃는 양" 으로 셈. 평행쌍 하나는 교점 $1$ 잃음, $k$ 직선이 한 점에 모이면 $\binom{k}{2} - 1$ 잃음. 가능한 손실 $0, 1, 3, 5, 6$ 을 모아 보면 손실 $4$ 만(곧 $N = 2$ 만) 불가능 — 다른 부기 같은 결론.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.1점·선·선분·반직선·각을 그리고 도형에서 식별하기 (공점 다발, 일반 위치 등 다양한 배치 스케치.)4.G.A.2평행·수직 유무로 평면도형 분류하기 (전부 평행, 평행 셋 + 횡단선, 평행쌍 하나 배치 구성.)4.NBT.A.2다자릿수 자연수 읽기·쓰기·비교하기 (합 $19$ 를 선택지와 매칭.)4.NBT.B.4다자릿수 자연수 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 ($0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19$ 계산.)7.SP.C.8조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($\binom{4}{2} = 6$ 쌍을 세어 $N$ 의 상한 결정.)8.G.A.5내각의 합·외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 세우기 (평행 관계 추적으로 $N = 2$ 가 불가능함을 두 경우 모순으로 증명.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 직선·평행 추론만 알면 풀 수 있어요! 네 직선으로 $0, 1, 3, 4, 5, 6$ 개의 교점은 모두 만들 수 있어요 — 전부 평행 ($0$), 한 점 다발 ($1$), 평행 셋 + 횡단선 ($3$), 공점 셋 + 일반선 ($4$), 평행쌍 하나 ($5$), 일반 위치 ($6$). 오직 $N = 2$ 만 어떻게 그려도 불가능해서 빠져요. 합: $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = \mathbf{19}$, 답 $(D)$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 직선·평행 추론만 알면 풀 수 있어요! 네 직선으로 $0, 1, 3, 4, 5, 6$ 개의 교점은 모두 만들 수 있어요 — 전부 평행 ($0$), 한 점 다발 ($1$), 평행 셋 + 횡단선 ($3$), 공점 셋 + 일반선 ($4$), 평행쌍 하나 ($5$), 일반 위치 ($6$). 오직 $N = 2$ 만 어떻게 그려도 불가능해서 빠져요. 합: $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = \mathbf{19}$, 답 $(D)$.
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