AMC 10 · 2019 · #8

학년 8 arithmetic

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spatial-visualizationreflection-symmetryrotation-isometrytransformations-compositionline-symmetry caseworkphysical-representation ↑ 선수 지식: reflection-symmetryrotation-isometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

some rotation around a point of line $\ell$
some translation in the direction parallel to line $\ell$
the reflection across line $\ell$
some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직선 $\ell$ 위에 정사각형이 위·아래로 번갈아 늘어선 무한 반복 패턴이 있고, 각 정사각형의 한 꼭짓점에는 바깥쪽으로 향하는 짧은 대각선 조각이 붙어 있음. 다음 네 강체 운동 (항등 변환 제외) 중 몇 개가 이 도형을 자기 자신으로 옮기는지: (1) $\ell$ 위 한 점을 중심으로 한 회전, (2) $\ell$ 방향 평행이동, (3) $\ell$ 에 대한 대칭, (4) $\ell$ 에 수직인 직선에 대한 대칭.

주어진 것: $\ell$ 방향으로 주기 $4$ 단위; 정사각형이 위·아래로 번갈아 위치; 각 정사각형 한 꼭짓점에 짧은 대각선 조각; 네 후보 운동; 항등 변환 제외; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 네 운동 중 이 띠 패턴의 대칭이 되는 것의 개수

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

띠 패턴 대칭은 도형을 베껴 직접 옮기거나 뒤집어 보는 것이 가장 확실 (도구 #10). 도구 #17 로 머릿속 회전·반사. 도구 #1 로 패턴을 그리고 후보 회전 중심·반사축을 표시한 뒤 각 조각을 확인. 도구 #3 으로 네 운동을 하나씩 검토해 예 개수 합산.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

패턴 그리기: $\ell$ 을 따라 위로 향한 정사각형 ($\square$ 위) 과 아래로 향한 정사각형 ($\square$ 아래) 이 번갈아 나옴.
위쪽 사각형이 $x = 0, 4, 8, \ldots$ 에 있고 아래쪽 사각형이 $2$ 만큼 어긋난 $x = 2, 6, 10, \ldots$ 에 있음.
각 사각형의 한 꼭짓점에 $\ell$ 에서 멀어지는 대각선 조각.

$$\ell \text{ 방향 주기}: 4 \text{ 단위}, \quad \text{위·아래 } 2 \text{ 만큼 어긋남}$$

💡 위 사각형·아래 사각형이 번갈아 가는 띠를 머릿속에 그려둠.

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 2

운동 (2) $\ell$ 방향 평행이동 검사.
전체 도형을 오른쪽으로 $4$ 단위 이동: $x = 0$ 의 위 사각형은 $x = 4$ 의 위 사각형 자리로, $x = 2$ 의 아래 사각형은 $x = 6$ 의 아래 사각형 자리로, 대각선 조각도 같이 옮겨짐.
도형이 무한이고 주기가 정확히 $4$ 이므로 모든 부분이 맞아 떨어짐.
가능.

$$4 \text{ 단위 평행이동} \Rightarrow \text{일치}$$

💡 주기가 $4$ 라 $4$ 단위 이동은 도형을 그대로 둠.

#10 직접 만져보기 8.G.A.1 단계 3

운동 (1) $\ell$ 위 점 중심 회전 검사.
위 사각형 ($x = 0$) 과 그 다음 아래 사각형 ($x = 2$) 의 중간 점 $(1, 0)$ 을 중심으로 $180^\circ$ 회전.
위·아래가 뒤집히고 좌·우도 뒤집혀, 위 사각형은 아래 사각형 자리로, 위 사각형의 대각선 조각은 아래 사각형의 대각선 조각 자리에 정확히 놓임.
패턴 보존.
가능.

$$(1, 0) \text{ 중심 } 180^\circ \text{ 회전} \Rightarrow \text{위 } \leftrightarrow \text{ 아래, 일치}$$

💡 위·아래 사각형 사이 중간 점에서 $180^\circ$ 회전하면 둘이 정확히 바뀜.

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 4

운동 (3) $\ell$ 에 대한 대칭 검사.
$\ell$ 을 축으로 위아래 뒤집기.
모든 위 사각형은 아래로, 모든 아래 사각형은 위로.
그런데 원래 패턴은 위 사각형이 $x = 0, 4, 8, \ldots$ 에, 아래 사각형이 $x = 2, 6, 10, \ldots$ 에 있는데, 뒤집힌 패턴은 아래 사각형이 $x = 0, 4, \ldots$, 위 사각형이 $x = 2, 6, \ldots$ 에 위치 — 위치가 어긋남.
불가능.

$$\ell \text{ 대칭} \Rightarrow \text{위·아래 바뀌고 위치 어긋남}$$

💡 직선 기준 뒤집으면 위 사각형이 잘못된 아래 사각형 자리로 감.

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 5

운동 (4) $\ell$ 에 수직인 직선에 대한 대칭 검사.
세로축 기준 좌우 뒤집기.
사각형 자체는 좌우 대칭이라 위치는 맞을 수 있지만, 각 사각형의 짧은 대각선 조각은 특정 한 꼭짓점에 붙어 있음.
좌우 뒤집기는 (예를 들어) 오른쪽 위 꼭짓점에 있던 조각을 왼쪽 위 꼭짓점으로 옮김.
원래 패턴은 그 자리에 조각이 없음.
불가능.

$$\text{세로 대칭} \Rightarrow \text{대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로}$$

💡 대각선 조각이 특정 꼭짓점에만 있어 좌우 뒤집기면 위치가 어긋남.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 6

가능 운동을 세면: 평행이동 가능, 회전 가능, $\ell$ 대칭 불가능, 수직 대칭 불가능.
합 $= 2$.

$$\text{가능 개수} = 2 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 성공한 운동 수 세기.

[1] #1 4.G.A.3 패턴 그리기: $\ell$ 을 따라 위로 향한 정사각형 ($\square$ 위) 과 아래로 향한 정사각형 ($\square$ 아래) 이 번갈아

[2] #17 8.G.A.1 운동 (2) $\ell$ 방향 평행이동 검사. 전체 도형을 오른쪽으로 $4$ 단위 이동: $x = 0$ 의 위 사각형은 $x = 4$ 의 위 사

[3] #10 8.G.A.1 운동 (1) $\ell$ 위 점 중심 회전 검사. 위 사각형 ($x = 0$) 과 그 다음 아래 사각형 ($x = 2$) 의 중간 점 $(1,

[4] #17 8.G.A.1 운동 (3) $\ell$ 에 대한 대칭 검사. $\ell$ 을 축으로 위아래 뒤집기. 모든 위 사각형은 아래로, 모든 아래 사각형은 위로. 그런

[5] #17 8.G.A.1 운동 (4) $\ell$ 에 수직인 직선에 대한 대칭 검사. 세로축 기준 좌우 뒤집기. 사각형 자체는 좌우 대칭이라 위치는 맞을 수 있지만, 각

[6] #3 K.MD.B.3 가능 운동을 세면: 평행이동 가능, 회전 가능, $\ell$ 대칭 불가능, 수직 대칭 불가능. 합 $= 2$.

검토

합리성 확인: 띠 패턴은 대칭에 따라 $7$ 군으로 분류되며, 각 군이 평행이동·미끄럼 반사·회전·가로 반사·세로 반사의 특정 조합을 가짐. 이 패턴은 평행이동 + $180^\circ$ 반회전은 있지만 가로·세로 반사는 없음 (위·아래 교대와 대각선 조각 때문). 이는 띠 군 p2 에 해당하며 — 주어진 네 운동 중 정확히 $2$ 개가 대칭. (C) 와 일치.

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 투명지에 한 주기를 베껴 원본 위에 슬쩍 옮겨보거나 회전·뒤집기. $4$ 만큼 평행이동, 중간 점 중심 $180^\circ$ 회전 두 가지 모두 투명지가 원본과 일치. 두 종류의 뒤집기는 명백히 어긋남. 같은 답 $2$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험적으로 확인 (네 강체 운동 (평행이동, 회전, 가로 대칭, 세로 대칭) 을 각각 띠 패턴에 적용해 도형을 보존하는지 판단.)
4.G.A.3 2차원 도형의 대칭축 인식 (위·아래 교대와 대각선 조각 때문에 패턴에 가로·세로 대칭축이 없음을 확인.)
K.MD.B.3 사물을 범주로 분류하고 각 범주의 개수 세기 (네 운동 중 가능한 운동의 개수 세기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 강체 운동만 알면 풀 수 있어요 — 도형을 복사해 네 운동을 하나씩 시험. 직선 방향 평행이동 가능 (주기 $4$), 위·아래 사각형 사이 중간 점 중심 $180^\circ$ 회전 가능, 두 종류의 뒤집기는 대각선 조각이 잘못된 꼭짓점으로 가서 불가능. 답: $2$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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