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📏 중간 풀이💡 4 개 인사이트
문제
Real numbers between 0 and 1, inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is 0 if the second flip is heads, and 1 if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval [0,1]. Two random numbers x and y are chosen independently in this manner. What is the probability that ∣x−y∣>21?
문제 재정리: $[0, 1]$ 안의 수 $x$ 를 이렇게 만들어요 — 동전 한 번 던지기. 앞면이면 한 번 더 던져 앞면=$0$, 뒷면=$1$. 뒷면이면 $x$ 를 $[0, 1]$ 균등 분포에서 뽑음. $y$ 도 똑같은 방식으로 독립적으로 만들어요. $|x - y| > \tfrac{1}{2}$ 일 확률은?
주어진 것: 첫 동전 앞면 ($\tfrac{1}{2}$): 두 번째 동전이 $x \in \{0, 1\}$ 결정, 각 $\tfrac{1}{2}$; 첫 동전 뒷면 ($\tfrac{1}{2}$): $x$ 는 $[0, 1]$ 균등; $y$ 도 같은 규칙으로 독립 생성; 목표 사건: $|x - y| > \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{7}{16}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{9}{16}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
구하는 것: $P(|x - y| > \tfrac{1}{2})$
이해
문제 재정리: $[0, 1]$ 안의 수 $x$ 를 이렇게 만들어요 — 동전 한 번 던지기. 앞면이면 한 번 더 던져 앞면=$0$, 뒷면=$1$. 뒷면이면 $x$ 를 $[0, 1]$ 균등 분포에서 뽑음. $y$ 도 똑같은 방식으로 독립적으로 만들어요. $|x - y| > \tfrac{1}{2}$ 일 확률은?
주어진 것: 첫 동전 앞면 ($\tfrac{1}{2}$): 두 번째 동전이 $x \in \{0, 1\}$ 결정, 각 $\tfrac{1}{2}$; 첫 동전 뒷면 ($\tfrac{1}{2}$): $x$ 는 $[0, 1]$ 균등; $y$ 도 같은 규칙으로 독립 생성; 목표 사건: $|x - y| > \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{7}{16}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{9}{16}$, (E) $\tfrac{2}{3}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기): ($x$ 의 분기) $\times$ ($y$ 의 분기) 로 네 가지 경우 — 독립이라 각 확률 $\tfrac{1}{4}$. 도구 #2(빠짐없이 나열): 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 모두 나열. 도구 #1(그림): 균등-균등 경우에는 단위정사각형 위에 $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 영역(두 모서리 직각삼각형) 칠하기. 도구 #9(더 쉬운 문제): 각 경우가 작은 문제로 깔끔히 정리, 합치는 건 가중합.
실행 — 정답: B
#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8단계 1
$x$ 와 $y$ 각각의 생성 분기로 표본 공간을 나눠요.
분기 D(이산) 확률 $\tfrac{1}{2}$, 분기 U(균등) 확률 $\tfrac{1}{2}$.
네 결합 경우 — DD, DU, UD, UU — 가 독립, 각 확률 $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}$.
[1]
#7 7.SP.C.8$x$ 와 $y$ 각각의 생성 분기로 표본 공간을 나눠요. 분기 D(이산) 확률 $\tfrac{1}{2}$, 분기 U(균등) 확률 $\tfrac
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#2 7.SP.C.8경우 DD ($x, y \in \{0, 1\}$ 균등). $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 는 $x \ne y$ 필요, 즉 $(x, y)
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#7 7.SP.C.7경우 DU ($x \in \{0, 1\}$, $y$ 균등). $x = 0$ 이면 $y > \tfrac{1}{2}$ 필요 (길이 $\tfrac{1
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#9 7.SP.C.7경우 UD 는 대칭 ($x, y$ 교환): $P(\cdot \mid \text{UD}) = \tfrac{1}{2}$.
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#1 7.G.B.6경우 UU ($x, y$ 모두 균등). 단위정사각형 위에 $|x - y| > \tfrac{1}{2}$, 즉 $y > x + \tfrac{1}{2
[6]
#7 5.NF.A.1전확률 법칙으로 결합 — 각 경우 가중치 $\tfrac{1}{4}$: $P = \tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1
검토
합리성 확인: $\tfrac{7}{16} \approx 0.44$ 로 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작음. 직관: $x, y$ 둘 다 균등이면 $\tfrac{1}{4}$ 만 나오지만, 이산 분기가 $x$ 나 $y$ 를 $0$ 이나 $1$ 끝점으로 끌어와 다른 값과 $\tfrac{1}{2}$ 초과 벌어지기 쉽게 만들어 확률을 끌어올림. $\tfrac{1}{4}$ 와 $\tfrac{1}{2}$ 사이가 정확히 예상 범위. 분수 검산: $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{2+2+2+1}{4} = \tfrac{7}{4}$, $\tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{7}{4} = \tfrac{7}{16}$. 선택지 (D) $\tfrac{9}{16}$ 은 여사건 $P(|x-y| \le \tfrac{1}{2})$ 함정.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기/여사건): $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ 대신 각 경우의 $P(|x-y| \le \tfrac{1}{2})$ 를 구한 뒤 $1$ 에서 뺌. UU 직접: 띠 영역 $|x-y| \le \tfrac{1}{2}$ 의 넓이 $\tfrac{3}{4}$ (1 에서 두 모서리 삼각형 빼기). 같은 답, 여사건이 더 단순할 때 유용.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}$ 를 공통분모로 더해 $\tfrac{7}{4}$, 그리고 $\tfrac{1}{4}$ 곱하기.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 사건의 확률 구하기 (각 분기(이산 vs 균등)의 확률 모델을 세우고 목표 사건의 조건부 확률 계산.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건 확률 구하기 (결합 실험을 네 개의 동등 확률 독립 경우(DD, DU, UD, UU) 로 분해하고 전확률 법칙으로 결합.)
7.G.B.6 넓이·표면적·부피 관련 실세계 문제 풀기 (단위정사각형 안 두 모서리 직각삼각형 영역의 넓이 $\tfrac{1}{4}$ 계산 — UU 경우의 기하 확률.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 확률 모델과 단위정사각형 기하 확률만 있으면 풀려요 — 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 로 나눠 조건부 확률 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}$ 를 얻은 뒤 평균: $\tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}) = \tfrac{7}{16}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 확률 모델과 단위정사각형 기하 확률만 있으면 풀려요 — 네 경우 (이산-이산, 이산-균등, 균등-이산, 균등-균등) 로 나눠 조건부 확률 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}$ 를 얻은 뒤 평균: $\tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}) = \tfrac{7}{16}$.