AMC 10 · 2020 · #11

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

combinations-basicprobability-basicfraction-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Ms. Carr asks her students to read any $5$ of the $10$ books on a reading list. Harold randomly selects $5$ books from this list, and Betty does the same. What is the probability that there are exactly $2$ books that they both select?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{5}{36}$

(C)

$\frac{14}{45}$

(D)

$\frac{25}{63}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 도서 목록에 책이 $10$ 권 있습니다. Harold는 그 중 $5$ 권을 무작위로 고르고, Betty도 따로 $5$ 권을 무작위로 고릅니다. 두 사람이 고른 책 중 정확히 $2$ 권이 겹칠 확률은?

주어진 것: 도서 목록은 $10$ 권; Harold는 $5$ 권짜리 부분집합을 균등 무작위로 선택; Betty도 $5$ 권짜리 부분집합을 균등 무작위로 선택(Harold와 독립); 선택지: $\tfrac{1}{8},\; \tfrac{5}{36},\; \tfrac{14}{45},\; \tfrac{25}{63},\; \tfrac{1}{2}$

구하는 것: $P(\text{정확히 } 2 \text{ 권 겹침})$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): 대칭성 덕분에 Harold의 $5$ 권을 고정해 놓고 Betty의 선택만 신경 쓰면 됨 — 답은 Harold가 정확히 어떤 $5$ 권을 골랐는지에 무관. 도구 #7(쪼개기): Betty의 선택을 'Harold의 $5$ 권 중 $2$ 권'과 '나머지 $5$ 권 중 $3$ 권' 두 독립 부분 카운트로 나누고 곱하기. 도구 #3(가능성 지우기): 약분한 분수를 선택지와 매칭.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

Harold의 선택을 고정.
두 사람 모두 $5$ 권짜리 부분집합이 균등 확률이므로, Betty가 정확히 $2$ 권을 공유할 확률은 Harold가 어떤 $5$ 권을 골랐는지에 의존하지 않음.
Harold의 $5$ 권을 그룹 H('목록 안'), 나머지 $5$ 권을 그룹 N('목록 밖')으로 표시.

$$|H| = 5,\;\; |N| = 5$$

💡 7학년 확률: 대칭성 덕분에 Betty의 뽑기만 보면 되고 Harold가 누구를 골랐는지는 상쇄.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

Betty가 $10$ 권 중 $5$ 권을 고를 수 있는 전체 경우의 수 = 확률의 분모.

$$\binom{10}{5} = 252$$

💡 7학년 복합 사건: Betty의 모든 동일 확률 결과를 세기.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

성공 경우의 수.
Betty는 H에서 정확히 $2$ 권, N에서 정확히 $3$ 권을 골라야 함.
두 부분 선택은 독립이므로 곱하기.

$$\binom{5}{2} \cdot \binom{5}{3} = 10 \cdot 10 = 100$$

💡 7학년 복합 사건: 독립 부분 선택은 곱셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 4

확률을 만들고 약분.
$100$ 과 $252$ 의 공약수 $4$ 로 나누기.

$$\dfrac{100}{252} = \dfrac{25}{63}$$

💡 4학년 동치 분수: 분자·분모를 $4$ 로 나눔.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.2 단계 5

$\tfrac{25}{63}$ 을 선택지와 매칭: (D).
다른 선택지의 분모 ($8, 36, 45, 2$)는 $\binom{10}{5} = 252$ 에서 절대 나올 수 없는 값.

$$\dfrac{25}{63} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 4학년 분수 비교: $\tfrac{25}{63}$ 과 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #9 7.SP.C.7 Harold의 선택을 고정. 두 사람 모두 $5$ 권짜리 부분집합이 균등 확률이므로, Betty가 정확히 $2$ 권을 공유할 확률은 Harold

[2] #7 7.SP.C.8 Betty가 $10$ 권 중 $5$ 권을 고를 수 있는 전체 경우의 수 = 확률의 분모.

[3] #7 7.SP.C.8 성공 경우의 수. Betty는 H에서 정확히 $2$ 권, N에서 정확히 $3$ 권을 골라야 함. 두 부분 선택은 독립이므로 곱하기.

[4] #7 4.NF.A.1 확률을 만들고 약분. $100$ 과 $252$ 의 공약수 $4$ 로 나누기.

[5] #3 4.NF.A.2 $\tfrac{25}{63}$ 을 선택지와 매칭: (D). 다른 선택지의 분모 ($8, 36, 45, 2$)는 $\binom{10}{5} = 2

검토

합리성 확인: $\tfrac{25}{63} \approx 0.397$ — $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 권 공유 중 가장 큰 확률. 평균적으로 Betty의 $5$ 권은 Harold의 $5$ 권과 $\tfrac{5 \cdot 5}{10} = 2.5$ 권 공유하므로 '정확히 $2$ 권'이 가장 흔한 결과인 것이 자연스러움. $\tfrac{2}{5}$ 에 가까운 값도 직관과 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 전체 분포 확인. $k = 0,1,2,3,4,5$ 에 대해 $P(k \text{ 권 공유}) = \binom{5}{k}\binom{5}{5-k} / \binom{10}{5}$ 계산: 분자가 $1, 25, 100, 100, 25, 1$ 로 합 $252$. $\tfrac{100}{252} = \tfrac{25}{63}$ 을 확인하면서, 여섯 경우의 합이 $1$ 이 됨으로 카운트도 검증.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NF.A.1 분수가 다른 분수와 동치임을 설명하기 ($\tfrac{100}{252}$ 를 $\tfrac{25}{63}$ 로 약분 ($4$ 로 나눔).)
4.NF.A.2 분모와 분자가 다른 두 분수 비교하기 (약분된 $\tfrac{25}{63}$ 을 다섯 선택지와 매칭.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 ($5$ 권 부분집합 균등 확률의 대칭성을 이용해 Harold의 선택을 고정.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (Betty의 성공 경우를 $\binom{5}{2}\binom{5}{3}$ 로 세고 $\binom{10}{5}$ 로 나눔.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! Harold의 $5$ 권을 고정해 두고 '"Betty의 $5$ 권 중 정확히 $2$ 권이 Harold의 $5$ 권과 겹칠 확률"'을 묻기. Betty는 Harold의 $5$ 권에서 $2$ 권($\binom{5}{2} = 10$ 가지)과 나머지 $5$ 권에서 $3$ 권($\binom{5}{3} = 10$ 가지)을 골라야 하니까 $10 \cdot 10 = 100$ 가지. 전체 $\binom{10}{5} = 252$ 가지로 나누고 약분: $\tfrac{100}{252} = \mathbf{\tfrac{25}{63}}$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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