AMC 10 · 2019 · #6

학년 4 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

perpendicular-bisectorline-symmetrycaseworksimilar-figures caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perpendicular-bisector

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

a square
a rectangle that is not a square
a rhombus that is not a square
a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus
an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 가지 사각형 종류 각각에 대해, 네 꼭짓점 모두로부터 같은 거리에 있는 점이 평면 위에 존재하는지 판단하고, 그런 사각형 종류가 몇 개인지 세시오.

주어진 것: 다섯 가지 사각형: (1) 정사각형, (2) 정사각형이 아닌 직사각형, (3) 정사각형이 아닌 마름모, (4) 직사각형도 마름모도 아닌 평행사변형, (5) 평행사변형이 아닌 등변사다리꼴; 네 꼭짓점 모두로부터 같은 거리에 있는 한 점이 있어야 함; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 다섯 종류 중 그런 점을 가지는 사각형의 개수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #7 작은 문제로 쪼개기

다섯 사각형을 직접 그리고(도구 #1), 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓일 수 있는지 확인. 도구 #7 로 전체 문제를 다섯 개의 작은 예/아니오 질문으로 쪼갠 뒤, 도구 #3 으로 예 개수를 세어 답을 결정.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2 단계 1

관점 정리: 네 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 한 점이 있다는 것은 그 점을 중심으로 하는 원 위에 네 꼭짓점이 모두 놓인다는 뜻.
즉, 사각형이 원에 내접하는지 묻는 문제.

$$PA = PB = PC = PD \;\Leftrightarrow\; A, B, C, D \text{ 는 } P \text{ 를 중심으로 하는 원 위}$$

💡 한 점에서 같은 거리 = 그 점을 중심으로 하는 한 원.

#1 그림 그리기 3.G.A.1 단계 2

정사각형: 정사각형을 그리고 두 대각선을 긋는다.
대각선은 중심에서 만나며 네 꼭짓점이 중심에서 모두 같은 거리.
가능.

$$\text{정사각형 중심} \Rightarrow \text{네 꼭짓점 모두 같은 거리}$$

💡 정사각형의 중심은 네 꼭짓점까지 모두 같은 거리.

#1 그림 그리기 3.G.A.1 단계 3

직사각형 (정사각형 아님): 어떤 직사각형도 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하므로 교점에서 네 꼭짓점까지 거리가 같음.
가능.

$$\text{직사각형 대각선은 길이 같고 이등분} \Rightarrow \text{중점이 네 꼭짓점에서 같은 거리}$$

💡 길이 같은 대각선이 서로 이등분 — 그 교점이 균등 중심.

#1 그림 그리기 3.G.A.1 단계 4

마름모 (정사각형 아님): 길쭉한 마름모를 그려보면 대각선은 수직이지만 길이가 다르고, 교점에서 두 꼭짓점은 가깝고 두 꼭짓점은 멀다.
불가능.

$$\text{마름모 대각선 길이 다름} \Rightarrow \text{중심에서 거리 다름}$$

💡 기울어진 마름모는 긴축·짧은축이 있어 균등한 점이 없음.

#1 그림 그리기 3.G.A.1 단계 5

평행사변형 (직사각형도 마름모도 아님): 기울어진 평행사변형의 대각선은 길이가 다르므로 마찬가지로 균등한 점 없음.
불가능.

$$\text{기운 평행사변형 대각선 길이 다름} \Rightarrow \text{균등한 점 없음}$$

💡 기울어지면 균형이 깨져 균등한 한 점이 없음.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 6

등변사다리꼴 (평행사변형 아님): 윗변과 아랫변이 평행하고 양쪽 변의 길이가 같은 모양을 그리면, 좌우 대칭축 위에 점을 두고 위아래로 움직여 네 꼭짓점에서 거리가 같아지는 자리를 찾을 수 있음.
가능.

$$\text{대칭 사다리꼴} \Rightarrow \text{대칭축 위의 한 점이 네 꼭짓점에서 같은 거리}$$

💡 좌우 대칭이 있어 대칭축 위에서 위·아래 균형 맞추는 점 찾을 수 있음.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 7

가능한 종류를 세면: 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴.
총 $5$ 개 중 $3$ 개.

$$\text{가능 개수} = 3 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 예 표시한 사각형 개수 세기.

[1] #7 4.G.A.2 관점 정리: 네 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 한 점이 있다는 것은 그 점을 중심으로 하는 원 위에 네 꼭짓점이 모두 놓인다는 뜻. 즉, 사각형이

[2] #1 3.G.A.1 정사각형: 정사각형을 그리고 두 대각선을 긋는다. 대각선은 중심에서 만나며 네 꼭짓점이 중심에서 모두 같은 거리. 가능.

[3] #1 3.G.A.1 직사각형 (정사각형 아님): 어떤 직사각형도 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하므로 교점에서 네 꼭짓점까지 거리가 같음. 가능.

[4] #1 3.G.A.1 마름모 (정사각형 아님): 길쭉한 마름모를 그려보면 대각선은 수직이지만 길이가 다르고, 교점에서 두 꼭짓점은 가깝고 두 꼭짓점은 멀다. 불가능.

[5] #1 3.G.A.1 평행사변형 (직사각형도 마름모도 아님): 기울어진 평행사변형의 대각선은 길이가 다르므로 마찬가지로 균등한 점 없음. 불가능.

[6] #1 4.G.A.3 등변사다리꼴 (평행사변형 아님): 윗변과 아랫변이 평행하고 양쪽 변의 길이가 같은 모양을 그리면, 좌우 대칭축 위에 점을 두고 위아래로 움직여

[7] #3 K.MD.B.3 가능한 종류를 세면: 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴. 총 $5$ 개 중 $3$ 개.

검토

합리성 확인: 대각선으로 빠른 검산: 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하므로 교점이 외접원의 중심. 정사각형도 마찬가지. 마름모(정사각형 아님)·기운 평행사변형은 대각선 길이 다름. 등변사다리꼴은 좌우 대칭이라 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓이는 잘 알려진 성질을 가짐. 따라서 정확히 $3$ 개 — (C) 일치.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) + 사각형이 원에 내접 $\Leftrightarrow$ 대각의 합 $= 180^\circ$. 정사각형 ($90 + 90$): 가능. 직사각형: 가능. 마름모: 대각이 같지만 $90^\circ$ 아니면 합이 $180^\circ$ 아님: 불가. 평행사변형: 같은 이유로 불가. 등변사다리꼴: 밑각이 같으므로 대각의 합 $= 180^\circ$: 가능. 합 $= 3$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.G.A.2 평행·수직 여부로 2차원 도형 분류 (다섯 가지 사각형 (정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형, 등변사다리꼴) 의 평행변·직각 구조 인식.)
3.G.A.1 다른 범주의 도형도 공통 속성을 가질 수 있음 이해 (각 사각형의 대각선 속성 (길이 같음? 수직? 이등분?) 으로 네 꼭짓점이 한 원 위에 있는지 판단.)
4.G.A.3 2차원 도형의 대칭축 인식 (등변사다리꼴의 좌우 대칭축을 이용해 네 꼭짓점에서 같은 거리인 점 찾기.)
K.MD.B.3 사물을 범주로 분류하고 각 범주의 개수 세기 (조건을 만족하는 사각형 종류 (가능 더미 vs 불가능 더미) 개수 세기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 도형 성질만 알면 풀 수 있어요 — 네 꼭짓점에서 같은 거리인 한 점이 있다는 건 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓인다는 뜻. 정사각형·직사각형·등변사다리꼴은 통과, 마름모·기울어진 평행사변형은 탈락. 답은 $3$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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