AMC 10 · 2019 · #2

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

prime-numbersprimality-testlogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersprimality-test

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Consider the statement, "If $n$ is not prime, then $n-2$ is prime." Which of the following values of $n$ is a counterexample to this statement?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: '$n$ 이 소수가 아니면 $n - 2$ 는 소수이다' 라는 주장을 봅니다. 다섯 선택지 중 이 주장을 깨는 $n$ — 즉 $n$ 도 소수가 아니고 $n - 2$ 도 소수가 아닌 값 — 을 찾으세요.

주어진 것: 주장의 형태: $n$ 이 합성수이면 $n - 2$ 가 소수; 선택지: (A) $11$, (B) $15$, (C) $19$, (D) $21$, (E) $27$

구하는 것: 반례가 되는 단 하나의 $n$

이해

주어진 것: 주장의 형태: $n$ 이 합성수이면 $n - 2$ 가 소수; 선택지: (A) $11$, (B) $15$, (C) $19$, (D) $21$, (E) $27$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

도구 #3(가능성 지우기): 답은 두 조건을 모두 만족해야 함. 먼저 $n$ 자체가 합성수여야 하니 소수인 선택지는 즉시 탈락 — $11$ 과 $19$ 가 제거됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 남은 합성수 $n$ 마다 $n - 2$ 를 구해 소수 여부 확인. 유일한 생존자가 반례.

실행 — 정답: E

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

첫 번째 필터: $n$ 이 소수가 아니어야 함.
선택지 점검.
$11$ 은 소수 — 탈락.
$15 = 3 \cdot 5$ — 합성수, 유지.
$19$ 는 소수 — 탈락.
$21 = 3 \cdot 7$ — 합성수, 유지.
$27 = 3 \cdot 9$ — 합성수, 유지.

$11, 19$ 소수 $\Rightarrow$ 탈락. 생존: $15, 21, 27$.

💡 $n$ 이 소수면 주장의 'if' 부분이 거짓이라 깰 게 없음.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 2

두 번째 필터: 각 생존자에 대해 $n - 2$ 가 소수인지 확인.
소수면 그 $n$ 은 주장을 만족하니 반례가 아님.
합성수면 발견.
차례로: $15 - 2 = 13$, $21 - 2 = 19$, $27 - 2 = 25$.

$15 - 2 = 13$, $21 - 2 = 19$, $27 - 2 = 25$

💡 각 생존자에서 $2$ 를 빼고 결과를 확인.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

각 $n - 2$ 의 소수 여부 점검.
$13$ 은 소수 — $n = 15$ 는 주장을 만족, 반례 아님.
$19$ 는 소수 — $n = 21$ 도 반례 아님.
$25 = 5 \cdot 5$ 는 합성수 — $n = 27$ 에서 주장이 깨짐.
이것이 반례.

$13$ 소수, $19$ 소수, $25 = 5 \cdot 5$ 합성수 $\;\Rightarrow\; n = 27 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$

💡 $n - 2$ 가 합성수인 유일한 생존자가 주장을 깸.

[1] #3 4.OA.B.4 첫 번째 필터: $n$ 이 소수가 아니어야 함. 선택지 점검. $11$ 은 소수 — 탈락. $15 = 3 \cdot 5$ — 합성수, 유지. $

[2] #2 4.NBT.B.4 두 번째 필터: 각 생존자에 대해 $n - 2$ 가 소수인지 확인. 소수면 그 $n$ 은 주장을 만족하니 반례가 아님. 합성수면 발견. 차례로:

[3] #3 4.OA.B.4 각 $n - 2$ 의 소수 여부 점검. $13$ 은 소수 — $n = 15$ 는 주장을 만족, 반례 아님. $19$ 는 소수 — $n = 21$

검토

합리성 확인: $n = 27$ 로 반례 확인. $27$ 이 소수 아닌가? 맞음 — $27 = 3 \cdot 9 = 3^3$, 합성수. $27 - 2 = 25$ 가 소수인가? 아님 — $25 = 5 \cdot 5$, 합성수. 즉 '소수 아님 $\Rightarrow$ $n - 2$ 소수' 의 전제는 참인데 결론이 거짓 — 반례의 정의 그대로. 다른 합성수 $15, 21$ 은 $n - 2$ 가 소수라 주장과 일치.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열): '선택지 $n$', '$n$ 소수?', '$n - 2$', '$n - 2$ 소수?', '반례?' 다섯 열로 표를 만듦. 한 줄씩 내려가며 Yes/No/Yes/No 인 유일한 줄이 $27$ — (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 유창성 (각 후보에서 $2$ 를 빼 $n - 2$ 를 구함: $15 - 2 = 13$, $21 - 2 = 19$, $27 - 2 = 25$.)
4.OA.B.4 인수쌍과 배수, 소수·합성수 판별 (각 값이 소수인지 합성수인지 판별 — 두 필터의 핵심 도구.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 '소수와 합성수' 판별만 알면 풀 수 있어요 — 소수($11, 19$) 부터 지우고 남은 합성수에서 $2$ 를 뺀 결과가 처음으로 합성수가 되는 곳을 찾으면 $27 - 2 = 25 = 5 \cdot 5$, 답은 (E)!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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