coordinate-geometryslope-interceptlinear-equations-two-vararea-trianglesisosceles-trianglecoordinate-geometryidentify-subproblems↑ 선수 지식:coordinate-geometryslope-interceptarea-triangles
📏 중간 풀이💡 3 개 인사이트
문제
Two lines with slopes 21 and 2 intersect at (2,2). What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line x+y=10  ?
문제 재정리: 두 직선이 점 $(2, 2)$ 를 지나는데, 하나는 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 다른 하나는 기울기 $2$. 세 번째 직선은 $x + y = 10$. 이 세 직선이 만드는 삼각형의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 직선 1: 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 2: 기울기 $2$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 3: $x + y = 10$; 선택지: (A) $4$, (B) $4\sqrt{2}$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $6\sqrt{2}$
구하는 것: 세 직선이 둘러싸는 삼각형의 넓이
이해
문제 재정리: 두 직선이 점 $(2, 2)$ 를 지나는데, 하나는 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 다른 하나는 기울기 $2$. 세 번째 직선은 $x + y = 10$. 이 세 직선이 만드는 삼각형의 넓이를 구하시오.
주어진 것: 직선 1: 기울기 $\dfrac{1}{2}$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 2: 기울기 $2$, 점 $(2, 2)$ 지나감; 직선 3: $x + y = 10$; 선택지: (A) $4$, (B) $4\sqrt{2}$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $6\sqrt{2}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1 로 좌표 격자에 세 직선과 삼각형을 그리면 세 꼭짓점이 한눈에 보임. 도구 #7 로 작업을 세 단계로 쪼갬: (a) $(2,2)$ 지나는 두 직선의 식 쓰기, (b) 각 직선과 $x + y = 10$ 의 교점 찾기, (c) 세 꼭짓점으로부터 넓이 계산. 도구 #3 으로 답이 선택지와 일치하는지 확인.
실행 — 정답: C
#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.1단계 1
점-기울기 형태로 직선 1, 2 의 식을 구함.
둘 다 $(2, 2)$ 지나므로 $y - 2 = \text{기울기} \cdot (x - 2)$.
$$\text{직선 1: } y = \tfrac{1}{2}x + 1, \quad \text{직선 2: } y = 2x - 2$$
삼각형을 둘러싸는 정사각형 $(2, 2), (6, 2), (6, 6), (2, 6)$ 을 그림 (한 변 $4$, 넓이 $16$).
정사각형의 네 모서리 중 삼각형 꼭짓점이 아닌 세 모서리에는 각각 직각삼각형이 생김: $(6,2)$ 모서리의 두 변은 $4, 2$ (넓이 $4$); $(6,6)$ 모서리의 두 변은 $2, 2$ (넓이 $2$); $(2,6)$ 모서리의 두 변은 $2, 4$ (넓이 $4$).
5.G.A.1 직교하는 두 수직선으로 좌표계 구성 ($(2, 2)$ 지나는 두 직선의 식을 쓰고 교점 좌표 계산.)
5.G.A.2 점을 좌표 평면에 표시해 문제 표현 (세 꼭짓점 $A = (2,2)$, $B = (6,4)$, $C = (4,6)$ 좌표 평면에 그리기.)
4.MD.A.3 실생활 문제에 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용 ($4 \times 4$ 둘레 정사각형 넓이 $16$ 계산.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구성/분해로 구함 (둘레 정사각형을 목표 삼각형과 세 모서리 직각삼각형으로 분해해 빼서 넓이 $6$ 얻기.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산된 넓이를 (C) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "조각으로 넓이 구하기"만 알면 풀 수 있어요 — 삼각형의 세 꼭짓점 $(2,2)$, $(6,4)$, $(4,6)$ 을 찾고, $4 \times 4$ 정사각형 (넓이 $16$) 으로 둘러싼 뒤 세 모서리 직각삼각형 ($4 + 2 + 4 = 10$) 을 빼면 삼각형 넓이는 $16 - 10 = 6$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "조각으로 넓이 구하기"만 알면 풀 수 있어요 — 삼각형의 세 꼭짓점 $(2,2)$, $(6,4)$, $(4,6)$ 을 찾고, $4 \times 4$ 정사각형 (넓이 $16$) 으로 둘러싼 뒤 세 모서리 직각삼각형 ($4 + 2 + 4 = 10$) 을 빼면 삼각형 넓이는 $16 - 10 = 6$.
