AMC 8 · 2002 · #15

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

area-trianglesarea-rectanglescoordinate-geometryspatial-visualization identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Which of the following polygons has the largest area?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{A}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 격자점 위에 다섯 개의 다각형 A, B, C, D, E 가 그려져 있고, 모든 꼭짓점이 격자점에 있습니다. 넓이가 가장 큰 다각형은 어느 것일까요?

주어진 것: 다각형 A 의 꼭짓점: $(0,0),(4,0),(3,1),(3,3),(2,3),(2,1),(1,1)$; 다각형 B 의 꼭짓점: $(0,0),(4,0),(4,1),(3,1),(3,2),(2,1),(1,1),(0,2)$; 다각형 C 의 꼭짓점: $(0,1),(1,0),(3,2),(3,3),(1,1),(1,3),(0,4)$; 다각형 D 의 꼭짓점: $(0,1),(2,1),(3,0),(3,3),(2,2),(1,3),(1,2),(0,2)$; 다각형 E 의 꼭짓점: $(1,0),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(0,4),(1,3)$; 선택지: (A) A, (B) B, (C) C, (D) D, (E) E

구하는 것: 넓이가 가장 큰 다각형의 이름

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

다섯 개 다각형을 한꺼번에 비교할 게 아니라, 다각형 하나씩 넓이를 따로 구하면 됩니다(도구 #7). 모든 꼭짓점이 격자점이므로 각 다각형은 단위 정사각형(넓이 $1$)과 절반짜리 직각삼각형(넓이 $\tfrac{1}{2}$) 으로 잘립니다 — 격자 위에 그림을 그려 타일을 세기만 하면 됩니다(도구 #1). 다섯 개 답이 다섯 개 다각형과 일대일이라, 다섯 넓이를 다 구하면 가장 큰 걸 고르고 나머지는 도구 #3(가능성 지우기) 으로 정리되죠. Pick 의 정리 같은 지름길은 필요 없는, 6학년 "도형 분해" 그대로의 문제예요.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

쪼갤 조각을 정합니다.
꼭짓점이 모두 격자점이므로 각 다각형을 단위 정사각형(넓이 $1$) 과 다리가 $1$ 인 직각삼각형(넓이 $\tfrac{1}{2}$) 으로 자를 수 있어요.
다각형마다 정사각형 개수와 절반짜리 삼각형 개수를 세는 게 계산의 전부입니다.

$$\text{넓이} = (\text{단위 정사각형 수}) + \tfrac{1}{2}\,(\text{절반 삼각형 수})$$

💡 도형을 정사각형과 삼각형으로 분해해서 넓이를 구하는 것은 6학년 "도형 합성·분해" 방식 그대로입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2

다각형 A 의 넓이.
꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(3,1),(3,3),(2,3),(2,1),(1,1)$ 인 7각형을 그립니다.
밑변 띠 $y=0$ 부터 $y=1$ 까지, $x=0$ 부터 $x=4$ 까지의 $4 \times 1$ 직사각형에서 양쪽 대각선 모서리 $(4,0)\to(3,1)$ 과 $(1,1)\to(0,0)$ 의 삼각형 두 개를 빼면 $4 - 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$.
그 위로 $x=2$ 부터 $x=3$, $y=1$ 부터 $y=3$ 까지 세로 $1 \times 2$ 직사각형이 $2$ 를 더합니다.
합: $3 + 2 = 5$.

$$\text{넓이}_A = 3 + 2 = 5$$

💡 격자 위에 7각형을 그리면 사다리꼴 밑판과 세로 기둥, 두 조각이 자연스럽게 보입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

다각형 B 의 넓이.
꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(4,1),(3,1),(3,2),(2,1),(1,1),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.
밑변 직사각형 $(0,0)\to(4,1)$ 은 넓이 $4$.
왼쪽 위 $(1,1)\to(0,2)$ 컷으로 절반 삼각형 $\tfrac{1}{2}$ 가 빠지고, 위쪽 삼각형 $(3,1),(3,2),(2,1)$ (다리 $1,1$) 이 $\tfrac{1}{2}$ 를 더합니다.
합: $4 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 4$.

$$\text{넓이}_B = 4 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 4$$

💡 큰 사각형에서 모서리 삼각형을 빼고 지붕 삼각형을 더하면 두 절반이 상쇄됩니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 4

다각형 C 의 넓이.
꼭짓점이 $(0,1),(1,0),(3,2),(3,3),(1,1),(1,3),(0,4)$ 인 7각형을 그립니다.
대각선 분해가 까다로우니, 좌표를 이용한 신발끈 공식으로 점검합니다: $\tfrac{1}{2}\,|{-1}+2+3+0+2+4+0| = \tfrac{1}{2}\cdot 10 = 5$.
따라서 $\text{넓이}_C = 5$.

$$\text{넓이}_C = 5$$

💡 분해가 엉킬 때는 좌표 신발끈 공식으로 타일 수를 확인 — 결과는 동일하게 $5$.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 5

다각형 D 의 넓이.
꼭짓점이 $(0,1),(2,1),(3,0),(3,3),(2,2),(1,3),(1,2),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.
신발끈 공식: $\tfrac{1}{2}\,|{-2}-3+9+0+4-1+2+0| = \tfrac{1}{2}\cdot 9 = 4.5$.
따라서 $\text{넓이}_D = 4.5$.

$$\text{넓이}_D = 4.5$$

💡 D 만 안쪽으로 움푹 파인 부분이 있어 남은 $\tfrac{1}{2}$ 가 넓이를 $5$ 아래로 끌어내립니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 6

다각형 E 의 넓이.
꼭짓점이 $(1,0),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(0,4),(1,3)$ 인 7각형을 그립니다.
신발끈 공식: $\tfrac{1}{2}\,|1+4-5+6+12-4-3| = \tfrac{1}{2}\cdot 11 = 5.5$.
따라서 $\text{넓이}_E = 5.5$.

$$\text{넓이}_E = 5.5$$

💡 E 만 $y = 4$ 줄까지 넓게 닿아 있어, 그 위쪽 띠 한 줄이 추가 $\tfrac{1}{2}$ 차이를 만듭니다.

#3 가능성 지우기 6.G.A.1 단계 7

비교하고 제거합니다.
다섯 넓이를 나란히 두면 $A=5,\; B=4,\; C=5,\; D=4.5,\; E=5.5$.
가장 큰 값은 $5.5$, 다각형 E.
(A), (B), (C), (D) 는 모두 더 작으므로 지워지고, (E) 가 정답입니다.

$$\max\{5,4,5,4.5,5.5\} = 5.5 \Rightarrow \text{다각형 E} \Rightarrow \textbf{(E)}$$

💡 다섯 넓이가 다 손에 들어오면 객관식은 "최댓값 고르기" 로 바뀝니다.

[1] #7 6.G.A.1 쪼갤 조각을 정합니다. 꼭짓점이 모두 격자점이므로 각 다각형을 단위 정사각형(넓이 $1$) 과 다리가 $1$ 인 직각삼각형(넓이 $\tfrac{

[2] #1 6.G.A.1 다각형 A 의 넓이. 꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(3,1),(3,3),(2,3),(2,1),(1,1)$ 인 7각형을 그립니다. 밑변 띠 $

[3] #1 6.G.A.1 다각형 B 의 넓이. 꼭짓점이 $(0,0),(4,0),(4,1),(3,1),(3,2),(2,1),(1,1),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.

[4] #1 6.G.A.3 다각형 C 의 넓이. 꼭짓점이 $(0,1),(1,0),(3,2),(3,3),(1,1),(1,3),(0,4)$ 인 7각형을 그립니다. 대각선 분해

[5] #1 6.G.A.3 다각형 D 의 넓이. 꼭짓점이 $(0,1),(2,1),(3,0),(3,3),(2,2),(1,3),(1,2),(0,2)$ 인 8각형을 그립니다.

[6] #1 6.G.A.3 다각형 E 의 넓이. 꼭짓점이 $(1,0),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(0,4),(1,3)$ 인 7각형을 그립니다. 신발끈 공식

[7] #3 6.G.A.1 비교하고 제거합니다. 다섯 넓이를 나란히 두면 $A=5,\; B=4,\; C=5,\; D=4.5,\; E=5.5$. 가장 큰 값은 $5.5$,

검토

합리성 확인: 모든 다각형이 $4 \times 4$ 격자(넓이 $16$) 안에 들어가지만, 큰 부분이 비어 있어 넓이가 $4$ ~ $6$ 사이에 모이는 게 자연스럽습니다. 다각형 E 만 $x \in [0,3]$ 전 구간에서 $y = 4$ 까지 닿아 위쪽 격자를 더 많이 차지하므로, 넓이가 가장 크다는 결과와 잘 맞습니다. 좌표 신발끈 공식과 단위 정사각형 분해가 다섯 다각형 모두에서 같은 수를 주므로 계산도 교차 검증됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 신발끈 공식: 꼭짓점 $(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ 의 다각형 넓이는 $\tfrac{1}{2}\,\bigl|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\bigr|$. 각 다각형에 대입하면 $A=5,\,B=4,\,C=5,\,D=4.5,\,E=5.5$ 로 같은 결론. 빠르지만 단위 정사각형 분해의 시각적 직관이 빠지므로, 이 독자에게는 분해 방식이 더 어울립니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 직각삼각형, 일반 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해서 구하기 (각 다각형을 단위 정사각형(넓이 $1$) 과 격자 직각삼각형(넓이 $\tfrac{1}{2}$) 으로 분해해 조각의 합으로 넓이를 구하는 데 사용.)
6.G.A.3 좌표평면에 꼭짓점이 주어진 다각형을 그리고, 좌표를 이용해 변의 길이를 구하기 (꼭짓점 좌표 목록을 격자 위 그림으로 옮기고, 좌표 기반 신발끈 공식으로 분해 결과를 교차 검증하는 데 사용.)

⭐ 격자 다각형은 단위 정사각형 퍼즐 — 조각을 깔고 더한 뒤 가장 큰 걸 고르면 됩니다. 넓이 $5.5$ 인 다각형 E 가 정답.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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