AMC 10 · 2019 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-trianglesperimeterpolygon-inequality identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 평면에서 두 점 $A, B$ 사이 거리가 $10$. 둘레가 정확히 $50$, 넓이가 정확히 $100$ 인 삼각형 $\triangle ABC$ 를 이루는 점 $C$ 의 개수를 구함.

주어진 것: $|AB| = 10$; $\triangle ABC$ 둘레 $= 50$; $\triangle ABC$ 넓이 $= 100$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $\text{무한히 많음}$

구하는 것: 조건을 모두 만족하는 점 $C$ 의 개수

이해

문제 재정리: 평면에서 두 점 $A, B$ 사이 거리가 $10$. 둘레가 정확히 $50$, 넓이가 정확히 $100$ 인 삼각형 $\triangle ABC$ 를 이루는 점 $C$ 의 개수를 구함.

주어진 것: $|AB| = 10$; $\triangle ABC$ 둘레 $= 50$; $\triangle ABC$ 넓이 $= 100$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $\text{무한히 많음}$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

$AB$ 를 좌표축 위에 놓아 그림을 구체화 (도구 #1 + #9). 조건을 (a) 넓이 $\Rightarrow$ $C$ 의 $AB$ 로부터 높이, (b) 둘레 $\Rightarrow$ 두 빗변 합 으로 나눠 (도구 #7), 가장 "가능성이 높은" $C$ 를 먼저 시험 (도구 #6). 그것조차 실패하면 어떤 $C$ 도 안 됨 — 도구 #3 으로 (A) 확정.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 8.G.B.8 단계 1

좌표 배치: $A = (-5, 0)$, $B = (5, 0)$ 로 두면 $|AB| = 10$ 이 $x$ 축 위.
$C = (x, y)$ 로 둠.

$$A = (-5, 0),\; B = (5, 0),\; C = (x, y)$$

💡 $AB$ 를 $x$ 축에 놓으면 거리 계산이 쉬워짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

소문제 1 (넓이).
$AB$ 를 밑변 (길이 $10$) 으로 두면, $C$ 의 $AB$ 로부터 높이는 $|y|$.
넓이 $= \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot |y| = 5|y| = 100$ 에서 $|y| = 20$.
따라서 $C$ 는 $y = 20$ 또는 $y = -20$ 위에 위치.

$$5|y| = 100 \;\Rightarrow\; |y| = 20$$

💡 넓이 $= \tfrac{1}{2}\cdot \text{밑변}\cdot \text{높이}$ 로 $C$ 의 높이가 고정.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

소문제 2 (둘레).
둘레 $= |AB| + |AC| + |BC| = 10 + |AC| + |BC| = 50$.
따라서 $|AC| + |BC| = 40$.

$$|AC| + |BC| = 50 - 10 = 40$$

💡 두 빗변의 합이 $40$.

#6 추측하고 확인하기 8.G.B.8 단계 4

가장 시험하기 쉬운 후보 $C = (0, 20)$ ($AB$ 중점 바로 위, 대칭 위치) 를 검사.
피타고라스: $|AC| = |BC| = \sqrt{5^2 + 20^2} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17}$.
합 $= 10\sqrt{17}$.

$$|AC| + |BC| = 10\sqrt{17}$$

💡 대칭 위치가 보통 두 변의 합이 가장 작은 "최선" 후보.

#6 추측하고 확인하기 8.NS.A.2 단계 5

어림: $\sqrt{17} \approx 4.123$, $10\sqrt{17} \approx 41.23$.
이미 $40$ 보다 큼.

$$10\sqrt{17} \approx 41.23 > 40$$

💡 가능한 $|AC|+|BC|$ 의 최솟값이 이미 예산 초과.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.B.7 단계 6

소문제 3: 정말 $C = (0, 20)$ 이 $y = 20$ 직선 위에서 $|AC|+|BC|$ 의 최솟값인가?
$A$ 를 $y = 20$ 에 대해 대칭시켜 $A' = (-5, 40)$.
그러면 $|AC| + |BC| = |A'C| + |BC| \ge |A'B|$ (삼각 부등식), 등호는 $A', C, B$ 일직선일 때.
$|A'B| = \sqrt{10^2 + 40^2} = \sqrt{1700} = 10\sqrt{17}$ — 같은 값.
따라서 $y = 20$ 위 어느 $C$ 에서든 $|AC|+|BC| \ge 10\sqrt{17} > 40$.

$$\min_{C \text{ 위 } y=20}(|AC|+|BC|) = 10\sqrt{17} > 40$$

💡 좌우로 멀어지면 빗변 합이 더 길어지므로 대칭점이 가장 짧음.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 7

$y = -20$ 위에서도 대칭에 의해 같은 결론.
따라서 둘레 $50$ 과 넓이 $100$ 을 동시 만족하는 $C$ 는 없음.
답 $0$.

$$\text{유효한 } C \text{ 개수} = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 최선의 후보도 실패하면 어떤 점도 안 됨 — 답 $0$.

[1] #1 8.G.B.8 좌표 배치: $A = (-5, 0)$, $B = (5, 0)$ 로 두면 $|AB| = 10$ 이 $x$ 축 위. $C = (x, y)$ 로 둠.

[2] #7 6.G.A.1 소문제 1 (넓이). $AB$ 를 밑변 (길이 $10$) 으로 두면, $C$ 의 $AB$ 로부터 높이는 $|y|$. 넓이 $= \tfrac{1}

[3] #7 6.EE.B.7 소문제 2 (둘레). 둘레 $= |AB| + |AC| + |BC| = 10 + |AC| + |BC| = 50$. 따라서 $|AC| + |BC|

[4] #6 8.G.B.8 가장 시험하기 쉬운 후보 $C = (0, 20)$ ($AB$ 중점 바로 위, 대칭 위치) 를 검사. 피타고라스: $|AC| = |BC| = \s

[5] #6 8.NS.A.2 어림: $\sqrt{17} \approx 4.123$, $10\sqrt{17} \approx 41.23$. 이미 $40$ 보다 큼.

[6] #9 8.G.B.7 소문제 3: 정말 $C = (0, 20)$ 이 $y = 20$ 직선 위에서 $|AC|+|BC|$ 의 최솟값인가? $A$ 를 $y = 20$ 에

[7] #3 K.MD.B.3 $y = -20$ 위에서도 대칭에 의해 같은 결론. 따라서 둘레 $50$ 과 넓이 $100$ 을 동시 만족하는 $C$ 는 없음. 답 $0$.

검토

합리성 확인: 직관 검산: 밑변 $10$, 넓이 $100$ 삼각형은 높이 $20$ 의 매우 길쭉한 모양. 높이 $20$ 에서 양 끝 $A, B$ 까지의 가장 짧은 빗변도 $\sqrt{5^2 + 20^2} \approx 20.6$ 정도, 두 빗변 합이 적어도 $\approx 41.2$, 둘레는 적어도 $\approx 51.2 > 50$. 여유가 전혀 없음 — 답 (A) 의 $0$ 과 일치.

대안 접근: 도구 #13 (대수, 타원): "둘레 $50$" 은 $|AC|+|BC|=40$, 곧 초점이 $A, B$ 이고 장축이 $40$ 인 타원. 반장축 $= 20$, 반단축 $= \sqrt{20^2 - 5^2} = \sqrt{375} \approx 19.36$. 이 타원 위 어떤 $C$ 의 최대 높이도 $\approx 19.36 < 20$ 이라 넓이 $100$ 의 조건 $|y|=20$ 을 만족 못 함. 같은 답 $0$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.8 좌표 평면 두 점 사이 거리에 피타고라스 정리 적용 ($A, B, C$ 좌표로 $|AC|, |BC|$ 를 계산.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 ($A'$ 로 반사한 뒤 삼각 부등식으로 $|AC|+|BC| \ge 10\sqrt{17}$ 임을 보임.)
8.NS.A.2 무리수의 유리수 근사로 크기 비교 ($10\sqrt{17} \approx 41.23$ 으로 어림해 $40$ 과 비교.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 조합으로 구하기 ($\tfrac{1}{2}\cdot \text{밑변}\cdot \text{높이}$ 공식으로 넓이 $=100$ 을 $|y|=20$ 으로 변환.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴의 식을 세우고 풀기 ($5|y| = 100$ 같은 작은 일차식 풀이.)
K.MD.B.3 사물을 범주로 분류하고 각 범주의 개수 세기 (두 조건을 모두 통과하는 후보 점의 개수 세기 — 여기서는 $0$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스만 알면 풀 수 있어요 — 넓이 $100$ 이라 $C$ 는 $AB$ 위 (또는 아래) $20$ 만큼. 가장 가까운 $C$ 의 빗변 합조차 $10\sqrt{17}\approx 41.2 > 40$ 이라 둘레 $50$ 은 불가능 — 점 $0$ 개.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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