AMC 10 · 2019 · #21

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsequences-geometricpattern-recognitionsystematic-enumeration pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Debra flips a fair coin repeatedly, keeping track of how many heads and how many tails she has seen in total, until she gets either two heads in a row or two tails in a row, at which point she stops flipping. What is the probability that she gets two heads in a row but she sees a second tail before she sees a second head？

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{36}$

(B)

$\frac{1}{24}$

(C)

$\frac{1}{18}$

(D)

$\frac{1}{12}$

(E)

$\frac{1}{6}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Debra 가 공정한 동전을 던져 H 두 번 연속(HH) 또는 T 두 번 연속(TT) 이 나오면 멈춥니다. HH 로 끝나면서 그 전에 '두 번째 T' 가 '두 번째 H' 보다 먼저 나올 확률은?

주어진 것: 공정한 동전: 매 번 H 또는 T 가 확률 $\tfrac{1}{2}$ 로 독립; 정지 규칙: HH 또는 TT 가 처음 등장하면 멈춤; 목표 사건: HH 로 끝나고 도중에 두 번째 T 가 두 번째 H 보다 먼저 등장; 선택지: (A) $\tfrac{1}{36}$, (B) $\tfrac{1}{24}$, (C) $\tfrac{1}{18}$, (D) $\tfrac{1}{12}$, (E) $\tfrac{1}{6}$

구하는 것: 목표 사건의 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #2 (빠짐없이 나열): 가장 짧은 승리 수열부터 적음 ($THHH$ 대신 $THTHH$, $THTHTHH$, ...) — 명확한 가족 형성. 도구 #3 (가능성 지우기): 첫 번째가 H 면 어떤 경우든 목표 사건 불가 → 첫 번째 T 고정. 도구 #5 (패턴): 승리 수열 모두 $T(HT)^k HH$ 꼴 — 기하 패턴. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 무한 확률 합이 단순 기하급수 공식으로 환원.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 1

불가능한 시작 제거.
첫 번째가 H 면: 두 번째가 H 일 때 HH 로 종료되지만 그 시점까지 T 는 한 번도 안 나옴 → '두 번째 T 가 두 번째 H 보다 먼저' 조건 불가.
두 번째가 T 면 분석상 결국 HH 전에 TT 가 나옴.
결국 첫 번째 던지기는 반드시 T.

$$\text{첫 번째 던지기} = T$$

💡 H 로 시작하면 목표 사건 불가 — 무조건 T 로 시작.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 2

첫 T 다음 두 번째 던지기가 T 면 TT 로 즉시 게임 종료 (HH 등장 X).
따라서 두 번째 = H.
현재 상태: TH.

$$\text{1-2번째} = TH$$

💡 첫 T 뒤에 또 T 는 게임 잘못된 방향 종료 — 두 번째는 H 강제.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 3

TH 상태에서 세 번째가 H 면 HH 로 종료되지만 T 가 한 번뿐 → '두 번째 T 가 두 번째 H 보다 먼저' 불가.
따라서 세 번째 = T.
현재 상태: THT.

$$\text{1-3번째} = THT$$

💡 3번째 H 종료는 T 가 부족 — 더 던져야 함.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

THT 상태에서 4번째가 T 면 TT 로 종료 (잘못된 방향).
따라서 4번째 = H.
현재 THTH.
여기서 5번째가 H 면 HH 종료 — T 두 번 (3번째), H 두 번 (5번째) 로 조건 만족 ✓.
또는 5번째 = T 면 THTHT 가 되고 6번째 = H 강제 후 같은 선택이 반복.

$$\text{최단 승리 수열} = THTHH$$

💡 최단 승리: 5회 던지기 $THTHH$.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 5

패턴: 모든 승리 수열 = $T(HT)^k HH$ ($k \ge 1$).
길이 $= 1 + 2k + 2 = 2k + 3$.
각 수열의 확률 $= (1/2)^{2k+3}$.

$$P(T(HT)^k HH) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2k+3} = \tfrac{1}{8} \cdot \left(\tfrac{1}{4}\right)^k$$

💡 각 던지기 $1/2$ 독립 — 전체 수열은 곱.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.RP.A.3 단계 6

$k = 1, 2, 3, \ldots$ 에 대해 기하급수 합.
초항 $a = \tfrac{1}{8} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{32}$ ($k=1$ 의 $THTHH$).
공비 $r = \tfrac{1}{4}$.
합 $= \tfrac{a}{1 - r} = \tfrac{1/32}{3/4} = \tfrac{1}{24}$.

$$P = \sum_{k=1}^{\infty} \tfrac{1}{8} \left(\tfrac{1}{4}\right)^k = \tfrac{1/32}{1 - 1/4} = \tfrac{1}{24}$$

💡 무한 확률 합을 한 줄 기하급수 공식으로 환원.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 7

정답 (B) $\tfrac{1}{24}$.

$$\boxed{\tfrac{1}{24}}$$

💡 합을 선택지와 대조.

[1] #3 7.SP.C.7 불가능한 시작 제거. 첫 번째가 H 면: 두 번째가 H 일 때 HH 로 종료되지만 그 시점까지 T 는 한 번도 안 나옴 → '두 번째 T 가 두

[2] #3 7.SP.C.7 첫 T 다음 두 번째 던지기가 T 면 TT 로 즉시 게임 종료 (HH 등장 X). 따라서 두 번째 = H. 현재 상태: TH.

[3] #3 7.SP.C.7 TH 상태에서 세 번째가 H 면 HH 로 종료되지만 T 가 한 번뿐 → '두 번째 T 가 두 번째 H 보다 먼저' 불가. 따라서 세 번째 = T

[4] #2 7.SP.C.7 THT 상태에서 4번째가 T 면 TT 로 종료 (잘못된 방향). 따라서 4번째 = H. 현재 THTH. 여기서 5번째가 H 면 HH 종료 — T

[5] #5 7.SP.C.8 패턴: 모든 승리 수열 = $T(HT)^k HH$ ($k \ge 1$). 길이 $= 1 + 2k + 2 = 2k + 3$. 각 수열의 확률 $=

[6] #9 7.RP.A.3 $k = 1, 2, 3, \ldots$ 에 대해 기하급수 합. 초항 $a = \tfrac{1}{8} \cdot \tfrac{1}{4} = \tf

[7] #3 7.SP.C.7 정답 (B) $\tfrac{1}{24}$.

검토

합리성 확인: 검증. 최단 승리 $THTHH$ 의 확률 $(1/2)^5 = 1/32 \approx 0.0313$. 목표 확률 $1/24 \approx 0.0417$ 은 이 주된 항보다 약간 큼 — 더 긴 수열 ($THTHTHH$ 의 $1/128$, $THTHTHTHH$ 의 $1/512$, ...) 의 작은 기하 보정 누적과 일치. 또 동전 던지기는 'HH 로 끝남' vs 'TT 로 끝남' 의 두 대칭 절반으로 나뉘고, 각 절반 안에서 '두 번째 T 먼저' vs '두 번째 H 먼저' 의 두 부분으로 나뉨 — 우리의 목표는 'HH 끝 + 두 번째 T 먼저' 의 작은 모서리이므로 $\tfrac{1}{24}$ 가 합리적.

대안 접근: 도구 #11 (거꾸로 풀기) — 상태 기계. 상태: $S_0$ (시작), $S_T$ (마지막 T, 연속 없음), $S_H$ (마지막 H), $S_{TT}, S_{HH}$ (흡수), 추가 표시: 두 번째 T 이미 등장 여부. 각 상태에서 '승리' 도달 확률을 세우고 풀면 $\tfrac{1}{24}$ 가 무한합 없이 대수적으로 나옴.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델 만들기 및 사건의 확률 구하기 (각 동전 던지기를 독립 $\tfrac{1}{2}$ 사건으로 모형화하고 목표 만족 수열 추적.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건 확률 구하기 (각 승리 수열의 확률을 $\tfrac{1}{2}$ 의 곱으로 계산.)
7.RP.A.3 비례 관계로 다단계 비율·백분율 문제 풀기 (무한 기하급수 $\sum (1/4)^k$ 을 $a/(1-r)$ 로 합산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 승리 패턴 ($THTHH$, $THTHTHH$, ...) 을 나열하고 각각이 이전의 $1/4$ 임을 보고 무한히 더하면 $\tfrac{1}{24}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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