AMC 10 · 2019 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremcoordinate-geometrychord-perpendicular-from-centerperpendicular-bisectorarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Points $A=(6,13)$ and $B=(12,11)$ lie on circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$ -axis. What is the area of $\omega$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{83\pi}{8}$

(B)

$\frac{21\pi}{2}$

(C)

$\frac{85\pi}{8}$

(D)

$\frac{43\pi}{4}$

(E)

$\frac{87\pi}{8}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 점 $A = (6, 13)$ 과 $B = (12, 11)$ 이 원 $\omega$ 위에 있다. $\omega$ 의 $A$, $B$ 에서의 접선이 $x$ 축 위의 한 점 $P$ 에서 만난다. $\omega$ 의 넓이는?

주어진 것: $A = (6, 13)$, $B = (12, 11)$ 이 원 $\omega$ 위에 있음; $A$, $B$ 에서의 접선이 $x$ 축의 점 $P = (t, 0)$ 에서 만남; 선택지: (A) $\tfrac{83\pi}{8}$, (B) $\tfrac{21\pi}{2}$, (C) $\tfrac{85\pi}{8}$, (D) $\tfrac{43\pi}{4}$, (E) $\tfrac{87\pi}{8}$

구하는 것: $\omega$ 의 넓이 = $\pi r^2$ ($r$ 은 반지름)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

도구 #1 (그림 그리기): 원·두 접점·$x$ 축의 외부점을 그리면 $|PA| = |PB|$ 와 $\triangle OAP$ 직각이 한눈에 보임. 도구 #7 (쪼개기): (a) $|PA| = |PB|$ 로 $P$ 찾기, (b) $|PA|$ 계산, (c) 직각삼각형/Ptolemy 로 $r$, $|PA|$, $|PO|$ 관계, (d) $r^2$ 해결. 도구 #13 (대수): 각 단계는 짧은 대수 (선형 방정식, 거리 제곱, 피타고라스, Ptolemy).

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

$A, B$, 원 $\omega$, $x$ 축의 $P = (t, 0)$ 에서 만나는 두 접선, 중심 $O$ 를 그리고 $A, B$ 에서 직각 표시.

$$P = (t, 0), \;\; OA \perp PA, \;\; OB \perp PB$$

💡 그림에서 빗변 $OP$ 공유하는 직각삼각형 $OAP, OBP$ 가 보임.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 2

$t$ 찾기.
접선 길이 같음: $|PA|^2 = |PB|^2$.
$(t - 6)^2 + 169 = (t - 12)^2 + 121$.
전개: $t^2 - 12t + 36 + 169 = t^2 - 24t + 144 + 121$.
정리: $12t = 60$, $t = 5$.

$$(t-6)^2 + 169 = (t-12)^2 + 121 \implies 12t = 60 \implies t = 5$$

💡 외부 한 점에서 두 접선 같다 — $t$ 의 일차방정식.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 3

접선 길이 계산.
$|PA|^2 = (6 - 5)^2 + 13^2 = 1 + 169 = 170$.
또 $|PB|^2 = 49 + 121 = 170$ ✓.

$$|PA|^2 = |PB|^2 = 170$$

💡 피타고라스로 거리 제곱; 일치 확인으로 $t = 5$ 검증.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 4

현 길이: $|AB|^2 = 36 + 4 = 40$, $|AB| = 2\sqrt{10}$.
$AB$ 의 중점 $M = (9, 12)$.
$|PM|^2 = 16 + 144 = 160$, $|PM| = 4\sqrt{10}$.

$$|AB| = 2\sqrt{10}, \;\; |PM| = 4\sqrt{10}$$

💡 $AB$ 는 Ptolemy 용, $PM$ 은 중심이 $PM$ 직선 위에 있음을 활용.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 5

원에 내접한 사각형 $PAOB$ 에 Ptolemy 적용.
$\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}$ 라 $PAOB$ 는 $PO$ 지름의 원에 내접.
대각선 $PO, AB$, 변 $PA = PB = \sqrt{170}$, $OA = OB = r$.
Ptolemy: $PA \cdot OB + PB \cdot OA = PO \cdot AB$, $2\sqrt{170} \cdot r = PO \cdot 2\sqrt{10}$, $PO = r\sqrt{17}$.

$$2 \sqrt{170} \cdot r = PO \cdot 2\sqrt{10} \implies PO = r\sqrt{17}$$

💡 Ptolemy 로 연꼴의 직각이 $PO$ 와 $r$ 의 관계로 직결.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 6

직각삼각형 $OAP$ 에 피타고라스: $OP^2 = OA^2 + AP^2$, $(r\sqrt{17})^2 = r^2 + 170$, $17 r^2 = r^2 + 170$, $16 r^2 = 170$, $r^2 = \tfrac{85}{8}$.

$$17 r^2 = r^2 + 170 \implies r^2 = \tfrac{85}{8}$$

💡 반지름이 한 변, 접선 길이가 다른 변인 직각삼각형이 $r^2$ 결정.

#6 추측하고 확인하기 7.G.B.4 단계 7

$\omega$ 의 넓이 $= \pi r^2 = \tfrac{85 \pi}{8}$.
정답 (C).

$$\text{넓이} = \pi r^2 = \tfrac{85 \pi}{8}$$

💡 $\tfrac{85}{8}$ 을 선택지와 대조.

[1] #1 7.G.B.4 $A, B$, 원 $\omega$, $x$ 축의 $P = (t, 0)$ 에서 만나는 두 접선, 중심 $O$ 를 그리고 $A, B$ 에서 직각 표

[2] #13 8.G.B.8 $t$ 찾기. 접선 길이 같음: $|PA|^2 = |PB|^2$. $(t - 6)^2 + 169 = (t - 12)^2 + 121$. 전개: $

[3] #13 8.G.B.8 접선 길이 계산. $|PA|^2 = (6 - 5)^2 + 13^2 = 1 + 169 = 170$. 또 $|PB|^2 = 49 + 121 = 17

[4] #7 8.G.B.8 현 길이: $|AB|^2 = 36 + 4 = 40$, $|AB| = 2\sqrt{10}$. $AB$ 의 중점 $M = (9, 12)$. $|PM

[5] #7 7.G.B.4 원에 내접한 사각형 $PAOB$ 에 Ptolemy 적용. $\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}$ 라 $PAOB$

[6] #13 8.G.B.7 직각삼각형 $OAP$ 에 피타고라스: $OP^2 = OA^2 + AP^2$, $(r\sqrt{17})^2 = r^2 + 170$, $17 r^2

[7] #6 7.G.B.4 $\omega$ 의 넓이 $= \pi r^2 = \tfrac{85 \pi}{8}$. 정답 (C).

검토

합리성 확인: 독립 좌표 계산으로 검증. 중심 $O$ 는 $AB$ 의 수직이등분선 위. $AB$ 의 기울기 $-\tfrac{1}{3}$, 수직이등분선 기울기 $3$, $M = (9, 12)$ 지남: $y = 3x - 15$. 중심은 $PM$ 직선 위에도 있고, $P = (5, 0)$ 와 $M = (9, 12)$ 잇는 직선 또한 $y = 3x - 15$ ✓ (같은 선 — $P, M, O$ 공선). 또 $O$ 는 $A$ 를 지나며 $PA$ 와 수직인 직선 위. $PA$ 방향 $(1, 13)$, 수직 $(-13, 1)$. $A = (6, 13)$ 에서 매개변수 $(6 - 13s, 13 + s)$. $y = 3x - 15$ 에 대입: $13 + s = 3(6 - 13s) - 15 = 3 - 39s$, $40s = -10$, $s = -\tfrac{1}{4}$. $O = (\tfrac{37}{4}, \tfrac{51}{4})$. $r^2 = (\tfrac{37}{4} - 6)^2 + (\tfrac{51}{4} - 13)^2 = (\tfrac{13}{4})^2 + (-\tfrac{1}{4})^2 = \tfrac{170}{16} = \tfrac{85}{8}$ ✓. 같은 값. 넓이 $= \tfrac{85\pi}{8}$.

대안 접근: 도구 #13 (Ptolemy 없이 대수): 중심 $O = (a, b)$ 를 변수로 두고 $|OA| = |OB|$ ($AB$ 의 수직이등분선) 과 $|OA| = r$, $|OP| = \sqrt{r^2 + 170}$ ($\triangle OAP$ 직각) 의 연립을 직접 풀이. Ptolemy 가 빠르지만 양쪽 모두 $r^2 = \tfrac{85}{8}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($r^2$ 을 넓이 $\pi r^2$ 로 환산, 반지름·접선의 원 안 역할 인식.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 찾기 (직각삼각형 $OAP$ ($OA = r$, $AP = \sqrt{170}$, 빗변 $OP$).)
8.G.B.8 좌표평면 두 점 사이 거리 구하기 (피타고라스) ($|PA|^2, |PB|^2, |AB|^2, |PM|^2, r^2$ 의 거리 제곱 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스와 '반지름 ⟂ 접선' 만 알면 풀려요 — $|PA| = |PB|$ 일차방정식으로 $P = (5, 0)$, $|PA|^2 = 170$ 계산, 직각삼각형/Ptolemy 관계로 $16 r^2 = 170$, 넓이는 $\tfrac{85 \pi}{8}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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