AMC 10 · 2021 · #24
학년 8 geometry-2d문제
The interior of a quadrilateral is bounded by the graphs of (x+ay)2=4a2 and (ax−y)2=a2, where a is a positive real number. What is the area of this region in terms of a, valid for all a>0?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 과 $(a x - y)^2 = a^2$ ($a > 0$) 의 그래프로 둘러싸인 영역은 사각형입니다. 그 넓이를 $a$ 의 함수로 (모든 $a > 0$ 에 대해 유효한 형태로) 구하세요.
주어진 것: $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 는 두 평행선 $x + a y = 2 a$ 와 $x + a y = -2 a$ 로 인수분해; $(a x - y)^2 = a^2$ 는 두 평행선 $a x - y = a$ 와 $a x - y = -a$ 로 인수분해; $a > 0$; 선택지: (A) $\tfrac{8a^2}{(a+1)^2}$, (B) $\tfrac{4a}{a+1}$, (C) $\tfrac{8a}{a+1}$, (D) $\tfrac{8a^2}{a^2+1}$, (E) $\tfrac{8a}{a^2+1}$
구하는 것: $a$ 의 함수로 표현한 사각형의 넓이
이해
문제 재정리: $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 과 $(a x - y)^2 = a^2$ ($a > 0$) 의 그래프로 둘러싸인 영역은 사각형입니다. 그 넓이를 $a$ 의 함수로 (모든 $a > 0$ 에 대해 유효한 형태로) 구하세요.
주어진 것: $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 는 두 평행선 $x + a y = 2 a$ 와 $x + a y = -2 a$ 로 인수분해; $(a x - y)^2 = a^2$ 는 두 평행선 $a x - y = a$ 와 $a x - y = -a$ 로 인수분해; $a > 0$; 선택지: (A) $\tfrac{8a^2}{(a+1)^2}$, (B) $\tfrac{4a}{a+1}$, (C) $\tfrac{8a}{a+1}$, (D) $\tfrac{8a^2}{a^2+1}$, (E) $\tfrac{8a}{a^2+1}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기, #13 대수로 바꾸기
도구 #1(그림 그리기) — 네 직선을 스케치하면 두 쌍의 평행선이 수직 기울기로 만나 직사각형임이 한눈에 보임. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 직사각형의 가로(평행선 $x + a y = \pm 2a$ 사이 거리) 와 세로($a x - y = \pm a$ 사이 거리) 를 따로 계산해 곱함. 도구 #9(더 쉬운 문제) — $a = 1$ 을 넣어 구체적인 정사각형으로 점검. 도구 #3(가능성 지우기) — $a = 1$ 만 넣어도 틀린 선택지 즉시 제거. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 평행선 거리 공식 $\tfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ 로 깔끔히 유도.
실행 — 정답: D
8.EE.A.2 단계 1 - 각 식을 두 평행선으로 인수분해.
- $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 의 해는 $x + a y = \pm 2 a$.
- $(a x - y)^2 = a^2$ 의 해는 $a x - y = \pm a$.
- 따라서 영역은 두 쌍의 평행선 네 개로 둘러싸임.
💡 $X^2 = c$ 면 $X = \pm\sqrt{c}$ — 식마다 두 평행선.
8.EE.B.6 단계 2 - 기울기 수직.
- $x + a y = c$ 를 $y$ 에 대해 풀면 기울기 $-\tfrac{1}{a}$.
- $a x - y = c$ 를 풀면 기울기 $a$.
- 곱은 $a \cdot (-\tfrac{1}{a}) = -1$, 따라서 두 쌍은 서로 수직.
- 수직인 평행선 두 쌍이 만드는 영역은 직사각형.
💡 기울기 곱 $-1$ $\Rightarrow$ 수직 $\Rightarrow$ 영역은 직사각형.
8.G.B.7 단계 3 - 평행선 $x + a y = 2 a$ 와 $x + a y = -2 a$ 사이의 거리.
- $A x + B y = c$ 의 평행선 거리 공식 $\tfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ 에서 가로 $= \tfrac{|2 a - (-2 a)|}{\sqrt{1^2 + a^2}} = \tfrac{4 a}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
💡 $|c_1 - c_2| / \sqrt{A^2 + B^2}$ — 법선 방향 투영의 피타고라스 정리.
8.G.B.7 단계 4 - 평행선 $a x - y = a$ 와 $a x - y = -a$ 사이의 거리.
- 같은 공식: 세로 $= \tfrac{|a - (-a)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \tfrac{2 a}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
💡 같은 공식 — 이번엔 $|c_1 - c_2| = 2a$ 이고 분모는 같은 $\sqrt{a^2 + 1}$.
8.EE.A.2 단계 5 - 직사각형 넓이.
- $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = \tfrac{4 a}{\sqrt{a^2 + 1}} \cdot \tfrac{2 a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \tfrac{8 a^2}{a^2 + 1}$.
💡 두 거리를 곱하면 $\sqrt{a^2 + 1}$ 이 합쳐져 무리식이 사라짐.
8.F.A.3 단계 6 - 더 쉬운 경우 $a = 1$ 로 점검.
- 네 직선이 $x + y = \pm 2, x - y = \pm 1$.
- 직사각형의 가로 $= \tfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$, 세로 $= \tfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, 넓이 $= 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4$.
- 공식: $\tfrac{8 \cdot 1}{1 + 1} = 4$.
- \checkmark.
- 다른 선택지 $a=1$: (A) $2$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $4$, (E) $4$ — 세 개 동률.
- $a = 2$ 시도: 공식 $\tfrac{32}{5} = 6.4$.
- (C): $\tfrac{16}{3} \approx 5.33$ 다름.
- (E): $\tfrac{16}{5} = 3.2$ 다름.
- 오직 (D) 만 두 값 모두 일치.
💡 두 시험값($a = 1, 2$)으로 후보 공식들 사이를 가름.
8.EE.A.2 각 식을 두 평행선으로 인수분해. $(x + a y)^2 = 4 a^2$ 의 해는 $x + a y = \pm 2 a$. $(a x - y)^2 8.EE.B.6 기울기 수직. $x + a y = c$ 를 $y$ 에 대해 풀면 기울기 $-\tfrac{1}{a}$. $a x - y = c$ 를 풀면 기울기 8.G.B.7 평행선 $x + a y = 2 a$ 와 $x + a y = -2 a$ 사이의 거리. $A x + B y = c$ 의 평행선 거리 공식 $\tfr 8.G.B.7 평행선 $a x - y = a$ 와 $a x - y = -a$ 사이의 거리. 같은 공식: 세로 $= \tfrac{|a - (-a)|}{\sqrt 8.EE.A.2 직사각형 넓이. $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = \tfrac{4 a}{\sqrt{a^2 + 1}} \ 8.F.A.3 더 쉬운 경우 $a = 1$ 로 점검. 네 직선이 $x + y = \pm 2, x - y = \pm 1$. 직사각형의 가로 $= \tfrac{4 검토
합리성 확인: $a \to 0^+$ 일 때: 가로 $\to 0$, 세로 $\to 0$, 넓이 $\to 0$. 공식: $\tfrac{8 a^2}{a^2 + 1} \to 0$. \checkmark. $a \to \infty$ 일 때: 가로 $\approx 4$, 세로 $\approx 2$, 넓이 $\to 8$. 공식: $\tfrac{8 a^2}{a^2 + 1} \to 8$. \checkmark. 단조증가, 상한 $8$. 기하학적 거동이 모두 (D) 와 일치.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $a = 1$ 대입 — 네 직선 $x + y = \pm 2, x - y = \pm 1$ 의 직사각형 넓이를 꼭짓점($(\tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}) $ 등) 의 신발끈 공식으로 직접 계산해 $4$. 그 후 $a = 2$ 로 동률 깸. 평행선 거리 공식을 잊어버린 경우 좋은 우회로.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2방정식의 해를 제곱근·세제곱근으로 표현; 작은 완전제곱의 제곱근 계산 ($X^2 = c^2$ 을 $X = \pm c$ 로 인수분해, 그리고 최종 넓이 $\tfrac{8a^2}{a^2 + 1}$ 표현.)8.EE.B.6닮은 삼각형을 이용해 임의의 두 점 사이의 기울기가 같음을 설명 ($y = -\tfrac{1}{a} x + \tfrac{c}{a}$ 와 $y = a x - c$ 에서 기울기를 읽고 수직 조건 적용.)8.F.A.3$y = m x + b$ 식을 일차함수로 해석 ($a = 1, a = 2$ 에서 네 직선을 그리고 직사각형 치수를 계산하며 공식 검산.)8.G.B.7직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 피타고라스 정리로 구하기 (평행선 거리 $|c_1 - c_2| / \sqrt{A^2 + B^2}$ 계산 — 법선 방향 투영의 피타고라스.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 직선과 피타고라스(평행선 거리) 만 있으면 풀려요 — $(X)^2 = c^2$ 을 식마다 두 평행선으로 인수분해, 기울기 $-\tfrac{1}{a}$ 과 $a$ 가 수직이라 영역이 직사각형임을 확인, 두 거리 $\tfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}} \cdot \tfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \tfrac{8a^2}{a^2 + 1}$ 을 곱하면 됩니다.
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 직선과 피타고라스(평행선 거리) 만 있으면 풀려요 — $(X)^2 = c^2$ 을 식마다 두 평행선으로 인수분해, 기울기 $-\tfrac{1}{a}$ 과 $a$ 가 수직이라 영역이 직사각형임을 확인, 두 거리 $\tfrac{4a}{\sqrt{a^2 + 1}} \cdot \tfrac{2a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \tfrac{8a^2}{a^2 + 1}$ 을 곱하면 됩니다.
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