AMC 10 · 2019 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

floor-functionabsolute-valuefunction-evaluationcasework caseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: floor-functionabsolute-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x$ , where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r$ . What is the range of $f$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\{-1, 0\}$

(B)

The set of nonpositive integers

(C)

$\{-1, 0, 1\}$

(D)

$\{0\}$

(E)

The set of nonnegative integers

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ 으로 정의된 함수의 치역을 구함. 여기서 $\lfloor r \rfloor$ 은 $r$ 이하의 최대 정수.

주어진 것: $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$; $x$ 는 임의의 실수; $\lfloor r \rfloor$ = $r$ 이하 최대 정수; 선택지: (A) $\{-1, 0\}$, (B) 음이 아닌 정수의 음수, (C) $\{-1, 0, 1\}$, (D) $\{0\}$, (E) 음이 아닌 정수 집합

구하는 것: $f$ 의 치역

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

$|\cdot|$ 와 $\lfloor\cdot\rfloor$ 가 $x$ 의 부호·정수 여부에 따라 다르게 작동하니, 각 종류의 작은 $x$ 를 골라 직접 계산 (도구 #9). 같은 종류 안에서는 값이 일정한지 도구 #5 로 패턴 확인. 도구 #6 으로 $2.5, -2.5, -3, 0.5$ 같은 구체값을 대입, 도구 #3 으로 선택지를 좁힘.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.7 단계 1

경우 1: $x \ge 0$.
이때 $|x| = x$, $\lfloor x \rfloor \ge 0$ 이므로 $|\lfloor x \rfloor| = \lfloor x \rfloor$.
따라서 $f(x) = \lfloor x \rfloor - \lfloor x \rfloor = 0$.
$x = 2.5$: $\lfloor 2.5 \rfloor = 2$, $|2| = 2$, $f = 0$.
$x = 7$: $f = 7 - 7 = 0$.
항상 $0$.

$$x \ge 0 \;\Rightarrow\; f(x) = 0$$

💡 음이 아닌 $x$ 에서는 절댓값이 하는 일이 없어 두 항이 같음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.7 단계 2

경우 2: $x$ 가 음의 정수 (예: $x = -3$).
$|x| = -x \ge 1$ 자체가 음이 아닌 정수이므로 $\lfloor|x|\rfloor = |x|$.
또 $\lfloor x \rfloor = x$ (이미 정수), 따라서 $|\lfloor x \rfloor| = |x|$.
그래서 $f(x) = |x| - |x| = 0$.

$$x = -3 \;\Rightarrow\; \lfloor 3 \rfloor - |\!-\!3| = 3 - 3 = 0$$

💡 정수는 바닥 함수가 손대지 않으니 두 항이 일치.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.NS.A.3 단계 3

경우 3: $x$ 가 음의 비정수.
$x = -2.5$: $|x| = 2.5$, $\lfloor 2.5 \rfloor = 2$.
그런데 $\lfloor -2.5 \rfloor = -3$ (바닥은 음수에서 더 아래로 내림), $|\lfloor x \rfloor| = 3$.
따라서 $f(-2.5) = 2 - 3 = -1$.

$$f(-2.5) = 2 - 3 = -1$$

💡 음의 비정수에서는 바닥이 한 칸 더 내려가 $f = -1$ 이 됨.

#5 패턴 찾기 7.NS.A.3 단계 4

패턴 확인: 다른 음의 비정수도 시험.
$x = -0.5$: $\lfloor 0.5 \rfloor - |\!-\!1| = 0 - 1 = -1$.
$x = -10.2$: $\lfloor 10.2 \rfloor - |\!-\!11| = 10 - 11 = -1$.
항상 $-1$.
음의 비정수의 기여는 $-1$ 뿐.

$$x \text{ 음의 비정수} \;\Rightarrow\; f(x) = -1$$

💡 음의 소수 부분은 항상 바닥을 정확히 한 칸 내리니 차이도 같음.

#3 가능성 지우기 8.F.A.1 단계 5

모든 경우를 모음: 등장하는 값은 $0$ (경우 1, 2) 과 $-1$ (경우 3) 뿐.
치역은 $\{-1, 0\}$.
다른 선택지 제거 — (B), (C), (E) 는 $-2, 1, -3$ 등 우리가 본 적 없는 값을 포함, (D) 는 $-1$ 누락.

$$\text{Range}(f) = \{-1, 0\} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 등장하는 출력이 두 가지뿐이라 치역도 그 두 값.

[1] #9 6.NS.C.7 경우 1: $x \ge 0$. 이때 $|x| = x$, $\lfloor x \rfloor \ge 0$ 이므로 $|\lfloor x \rfloor

[2] #9 6.NS.C.7 경우 2: $x$ 가 음의 정수 (예: $x = -3$). $|x| = -x \ge 1$ 자체가 음이 아닌 정수이므로 $\lfloor|x|\rf

[3] #9 7.NS.A.3 경우 3: $x$ 가 음의 비정수. $x = -2.5$: $|x| = 2.5$, $\lfloor 2.5 \rfloor = 2$. 그런데 $\lf

[4] #5 7.NS.A.3 패턴 확인: 다른 음의 비정수도 시험. $x = -0.5$: $\lfloor 0.5 \rfloor - |\!-\!1| = 0 - 1 = -1$.

[5] #3 8.F.A.1 모든 경우를 모음: 등장하는 값은 $0$ (경우 1, 2) 과 $-1$ (경우 3) 뿐. 치역은 $\{-1, 0\}$. 다른 선택지 제거 — (

검토

합리성 확인: $\lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ 은 바닥과 절댓값의 순서가 바뀔 때 생기는 차이를 측정. $x \ge 0$ 에서는 두 연산이 교환되고, 음의 정수에서도 일치하며, 음의 비정수에서만 바닥이 한 칸 더 내려가 $-1$ 의 간격 발생. 그래서 $f$ 가 가질 수 있는 값은 $0$ 또는 $-1$ 뿐 — (A).

대안 접근: 도구 #2 (체계적 나열): $x = -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ 에 대해 $f$ 를 표로 작성. 출력 $-1, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 0$ 으로 치역 $\{-1, 0\}$ 이 눈에 보임.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (양수·$0$·음수의 $|x|$ 를 계산하고 $\lfloor x \rfloor$ 와 비교.)
7.NS.A.3 유리수 사칙연산을 활용한 실생활 문제 ($-2.5$ 같은 음의 비정수에서 $f$ 를 계산해 바닥이 한 칸 더 내려가는 효과 관찰.)
8.F.A.1 함수는 각 입력에 정확히 하나의 출력을 대응시키는 규칙 ($f$ 를 함수로 보고 $x$ 가 변할 때 나타나는 출력 모음 (치역) 을 구함.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 함수 개념만 알면 풀 수 있어요 — $x \ge 0$ 과 음의 정수에서는 $f = 0$, 음의 비정수 ($-2.5$ 등) 에서는 바닥이 한 칸 더 내려가서 $f = -1$. 치역은 $\{-1, 0\}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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