AMC 10 · 2020 · #15

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

factorialprime-factorizationdivisor-countperfect-squareslegendre-formulaprobability-basic identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

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문제

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(A)

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(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $12!$ 의 양의 약수 하나를 무작위로(모든 약수가 동일 확률) 뽑습니다. 뽑힌 약수가 완전제곱수일 확률이 서로소인 양의 정수 $m, n$ 에 대해 $\dfrac{m}{n}$ 일 때, $m + n$ 을 구하세요.

주어진 것: 표본: $12!$ 의 임의의 양의 약수(균등분포); 성공: 그 약수가 완전제곱수($k^2$ 꼴); $\dfrac{m}{n}$ 은 기약분수; 선택지: $3,\; 5,\; 12,\; 18,\; 23$ (공식 답: $m + n = 23$, $\textbf{(E)}$)

구하는 것: $m + n$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): (1) $12!$ 의 소인수분해, (2) 총 약수 개수, (3) 완전제곱 약수 개수, (4) 확률과 $m + n$ — 네 개의 작은 문제로 분리. 도구 #2(나열하기): $12$ 이하 소수 $2, 3, 5, 7, 11$ 를 순서대로 적고, 각 소수마다 허용되는 지수 범위 + "짝수만" 가능한 작은 목록을 같이 적기. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 $m + n$ 을 선택지와 매칭.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 1

르장드르 식으로 $12!$ 를 소인수분해(각 $p^k$ 의 배수가 $\{1, \ldots, 12\}$ 에서 등장하는 횟수만큼 $p$ 인수 추가).
$2$ 의 지수: $\lfloor 12/2 \rfloor + \lfloor 12/4 \rfloor + \lfloor 12/8 \rfloor = 6 + 3 + 1 = 10$.
$3$ 의 지수: $\lfloor 12/3 \rfloor + \lfloor 12/9 \rfloor = 4 + 1 = 5$.
$5$ 의 지수: $\lfloor 12/5 \rfloor = 2$.
$7$ 의 지수: $\lfloor 12/7 \rfloor = 1$.
$11$ 의 지수: $\lfloor 12/11 \rfloor = 1$.

$$12! = 2^{10} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{1} \cdot 11^{1}$$

💡 6학년 소인수: 각 소수마다 $1$ 부터 $12$ 까지 몇 번 등장하는지 세기.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

$12!$ 의 총 약수 개수를 세기.
약수는 각 소수마다 지수 $b_i$ 를 $0 \le b_i \le a_i$ 범위에서 독립적으로 고름.
지수 $(10, 5, 2, 1, 1)$ 에 대해 각 선택지 수는 $(11, 6, 3, 2, 2)$.
곱의 법칙으로 총 약수 $= 11 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 792$.

$$\#\text{약수} = (10+1)(5+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 11 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 792$$

💡 7학년 곱의 법칙: 독립 선택은 곱해서 합치기.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 3

완전제곱 약수의 개수를 세기.
$2^{b_1} \cdot 3^{b_2} \cdot 5^{b_3} \cdot 7^{b_4} \cdot 11^{b_5}$ 이 완전제곱수이려면 모든 $b_i$ 가 짝수.
각 범위의 짝수만 나열: $b_1 \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ — $6$ 가지.
$b_2 \in \{0, 2, 4\}$ — $3$ 가지.
$b_3 \in \{0, 2\}$ — $2$ 가지.
$b_4 \in \{0\}$ — $1$ 가지.
$b_5 \in \{0\}$ — $1$ 가지.

$$\#\text{완전제곱 약수} = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 36$$

💡 6학년 지수: 완전제곱수가 되려면 모든 소수의 지수가 짝수.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 4

확률을 구하고 기약분수로.
$\dfrac{36}{792}$.
분자와 분모가 공통 인수 $6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ 을 가지므로 $\dfrac{36}{792} = \dfrac{1}{22}$.
$\gcd(1, 22) = 1$ 이라 이미 기약, $m = 1, n = 22$.

$$\dfrac{36}{792} = \dfrac{1}{22},\quad \gcd(1, 22) = 1$$

💡 6학년 최대공약수 / 약분: 분자·분모를 최대공약수로 나누기.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.A.1 단계 5

$m + n = 1 + 22 = 23$.

$$m + n = 1 + 22 = 23$$

💡 1학년 덧셈: 큰 작업 끝의 작은 마무리.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

선택지와 매칭: $23$ 은 (E).
다른 값들($3, 5, 12, 18$)은 지수 인수 하나를 빠뜨리거나 약분을 잘못했거나 $m + n$ 합산 전에 멈췄을 때 나오는 값.

$$m + n = 23 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 4학년 비교: $23$ 과 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #2 6.NS.B.4 르장드르 식으로 $12!$ 를 소인수분해(각 $p^k$ 의 배수가 $\{1, \ldots, 12\}$ 에서 등장하는 횟수만큼 $p$ 인수 추가)

[2] #7 7.SP.C.8 $12!$ 의 총 약수 개수를 세기. 약수는 각 소수마다 지수 $b_i$ 를 $0 \le b_i \le a_i$ 범위에서 독립적으로 고름. 지수

[3] #2 6.EE.A.1 완전제곱 약수의 개수를 세기. $2^{b_1} \cdot 3^{b_2} \cdot 5^{b_3} \cdot 7^{b_4} \cdot 11^{b_

[4] #7 6.NS.B.4 확률을 구하고 기약분수로. $\dfrac{36}{792}$. 분자와 분모가 공통 인수 $6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$ 을 가지므로

[5] #7 1.OA.A.1 $m + n = 1 + 22 = 23$.

[6] #3 4.NBT.A.2 선택지와 매칭: $23$ 은 (E). 다른 값들($3, 5, 12, 18$)은 지수 인수 하나를 빠뜨리거나 약분을 잘못했거나 $m + n$ 합산

검토

합리성 확인: 직관 점검: $\dfrac{1}{22} \approx 4.5\%$ 라는 작은 확률은 자연스러움 — 다섯 소수 모두에 대해 지수가 "짝수일 확률" 이 곱해지기 때문. 깔끔한 식으로: 각 소수 $p_i$ 가 $\dfrac{\lfloor a_i/2 \rfloor + 1}{a_i + 1}$ 의 인수를 기여. 지수 $(10, 5, 2, 1, 1)$ 에 대해 $\dfrac{6}{11} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{6 \cdot 3 \cdot 2}{11 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac{1}{22}$. ✓ 일치. $m + n = 23$.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 약수 개수를 세는 대신, 각 소수마다 "지수가 짝수일 확률" 을 곱해서 바로 계산. 소수 $p_i$ 의 $a_i + 1$ 개의 허용 지수 중 짝수는 $\lfloor a_i/2 \rfloor + 1$ 개. 곱하면 $\dfrac{6}{11} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{22}$. 그래서 $m + n = 23$, 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

1.OA.A.1 $20$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 ($m + n = 1 + 22 = 23$ 더하기.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 (최종 합 $23$ 을 선택지와 매칭.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수식 쓰기·계산하기 (완전제곱수 $=$ 소인수분해의 모든 지수가 짝수, 라는 성질을 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($12!$ 의 소인수분해와 $\dfrac{36}{792}$ 을 공통 인수 $36$ 으로 약분해 $\dfrac{1}{22}$ 로 만들기.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (독립 지수 선택을 곱해 $11 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 792$, $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 36$ 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! $12! = 2^{10} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11$. 총 약수: $11 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 792$. 완전제곱 약수는 모든 지수가 짝수, 그래서 각 범위의 짝수 개수: $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 36$. 확률 $= \dfrac{36}{792} = \dfrac{1}{22}$, 그래서 $m + n = 1 + 22 = \mathbf{23}$, 답 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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