AMC 10 · 2020 · #17
학년 8 arithmetic문제
Define P(x)=(x−12)(x−22)⋯(x−1002). How many integers n are there such that P(n)≤0?
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다항식 $P(x) = (x-1)(x-4)(x-9)\cdots(x-10000)$ 은 100개의 완전제곱수 $1, 4, 9, \ldots, 100^2 = 10000$ 에서 근을 갖습니다. $P(n) \le 0$ 즉, 0 이거나 음수가 되는 정수 $n$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: $P(x)$ 는 $k = 1, 2, \ldots, 100$ 에 대한 100개 인수 $(x - k^2)$ 의 곱; 100개의 서로 다른 근은 완전제곱수 $1, 4, 9, 16, \ldots, 10000$; 선택지: (A) $4900$, (B) $4950$, (C) $5000$, (D) $5050$, (E) $5100$
구하는 것: $P(n) \le 0$ 을 만족하는 정수 $n$ 의 개수
이해
문제 재정리: 다항식 $P(x) = (x-1)(x-4)(x-9)\cdots(x-10000)$ 은 100개의 완전제곱수 $1, 4, 9, \ldots, 100^2 = 10000$ 에서 근을 갖습니다. $P(n) \le 0$ 즉, 0 이거나 음수가 되는 정수 $n$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: $P(x)$ 는 $k = 1, 2, \ldots, 100$ 에 대한 100개 인수 $(x - k^2)$ 의 곱; 100개의 서로 다른 근은 완전제곱수 $1, 4, 9, 16, \ldots, 10000$; 선택지: (A) $4900$, (B) $4950$, (C) $5000$, (D) $5050$, (E) $5100$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기
도구 #9 (더 쉬운 문제): 인수 100개를 한꺼번에 추적하기는 너무 많으니, 100을 4로 줄여 $Q(x) = (x-1)(x-4)(x-9)(x-16)$ 을 살펴봅니다. $Q(n) \le 0$ 인 정수를 직접 그려봅니다. 도구 #5 (패턴): $P(n)$ 의 부호는 연속된 완전제곱 근 사이를 지날 때마다 $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌므로, 음수 또는 0 인 구간은 정확히 $[1^2, 2^2], [3^2, 4^2], \ldots, [99^2, 100^2]$ — 총 50개. 도구 #7 (쪼개기): 일반 구간 $[(2k-1)^2, (2k)^2]$ 안의 정수 개수를 구한 뒤 $k = 1, \ldots, 50$ 에 대해 합산.
실행 — 정답: E
6.NS.C.7 단계 1 - 문제를 인수 100개에서 4개로 축소.
- $Q(x) = (x-1)(x-4)(x-9)(x-16)$, 근은 $1, 4, 9, 16$.
- $n$ 이 각 근을 지나갈 때마다 정확히 한 인수가 음수에서 양수로 바뀌므로 $Q(n)$ 의 부호가 매번 뒤집힙니다.
- $n < 1$ 이면 네 인수 모두 음수 → 음수 개수가 짝수이므로 곱은 양수.
- $1 \le n \le 4$ 이면 한 인수가 비음수, 세 인수가 음수 → 곱 $\le 0$.
- $4 < n < 9$ 이면 양수 두 개·음수 두 개 → 양수.
- 음수·0 구간은 $[1, 4]$ 와 $[9, 16]$.
💡 근이 4개인 작은 버전으로 부호 뒤집힘을 직접 관찰.
8.F.B.5 단계 2 - 패턴 포착: $n$ 이 차례로 완전제곱 근을 지날 때마다 $P(n)$ 의 부호가 뒤집힙니다.
- 인수가 100개 (짝수) 이므로 가장 작은 근보다 훨씬 아래에서는 $P(n) > 0$.
- 따라서 $P(n) \le 0$ 인 닫힌 구간은 정확히 $[1^2, 2^2], [3^2, 4^2], [5^2, 6^2], \ldots, [99^2, 100^2]$ — 홀수 제곱과 그 다음 짝수 제곱 사이 — 총 $50$ 개.
💡 근마다 부호 뒤집힘 — 연속된 제곱 사이 구간 중 절반만 "나쁜" 구간.
7.EE.A.1 단계 3 - 일반 구간 $[(2k-1)^2, (2k)^2]$ 안의 정수 개수 세기.
- 정수 구간 $[a, b]$ 의 정수 개수는 $b - a + 1$.
- 따라서 $(2k)^2 - (2k-1)^2 + 1$.
- 제곱의 차 공식 사용: $(2k)^2 - (2k-1)^2 = (2k + 2k - 1)(2k - (2k-1)) = (4k-1)(1) = 4k - 1$.
- $+1$ 하면 한 구간당 $4k$ 개의 정수.
💡 구간 $[(2k-1)^2, (2k)^2]$ 의 길이는 $4k - 1$, 끝점 포함 정수 개수는 $4k$.
5.OA.B.3 단계 4 - $k=1$ 확인: 구간 $[1, 4]$ 의 정수는 $1, 2, 3, 4$ — 정확히 $4 \cdot 1 = 4$.
- $k=2$: 구간 $[9, 16]$ 의 정수는 $9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ — 정확히 $4 \cdot 2 = 8$.
- 공식이 작은 경우와 일치.
💡 작은 경우 빠른 확인으로 $4k$ 공식 검증.
6.EE.A.2 단계 5 - $k = 1, 2, \ldots, 50$ 에 대해 합산.
- 총합 $= \sum_{k=1}^{50} 4k = 4 \cdot \sum_{k=1}^{50} k = 4 \cdot \tfrac{50 \cdot 51}{2} = 4 \cdot 1275 = 5100$.
💡 $4 + 8 + 12 + \cdots + 200$ 을 삼각수 공식으로 합산.
6.NS.C.7 문제를 인수 100개에서 4개로 축소. $Q(x) = (x-1)(x-4)(x-9)(x-16)$, 근은 $1, 4, 9, 16$. $n$ 이 각 8.F.B.5 패턴 포착: $n$ 이 차례로 완전제곱 근을 지날 때마다 $P(n)$ 의 부호가 뒤집힙니다. 인수가 100개 (짝수) 이므로 가장 작은 근보다 7.EE.A.1 일반 구간 $[(2k-1)^2, (2k)^2]$ 안의 정수 개수 세기. 정수 구간 $[a, b]$ 의 정수 개수는 $b - a + 1$. 따라서 5.OA.B.3 $k=1$ 확인: 구간 $[1, 4]$ 의 정수는 $1, 2, 3, 4$ — 정확히 $4 \cdot 1 = 4$. $k=2$: 구간 $[9, 1 6.EE.A.2 $k = 1, 2, \ldots, 50$ 에 대해 합산. 총합 $= \sum_{k=1}^{50} 4k = 4 \cdot \sum_{k=1}^{5 검토
합리성 확인: 가장 큰 근과 비교: $100^2 = 10{,}000$. $1$ 부터 $10{,}000$ 까지 정수는 총 $10{,}000$ 개, 그중 나쁜 구간은 대략 절반인 약 $5{,}000$ 개. 우리 답 $5100$ 은 그 근처이며, 약간의 초과분은 완전제곱 끝점 ($P(n) = 0$) 을 포함한 것. 다른 선택지 ($4900, 4950, 5000, 5050$) 는 완전제곱 끝점 한두 개 차이 — 문제가 이 정확한 카운트를 노린 이유.
대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열) + 도구 #14 (차이의 규칙): $4, 8, 12, \ldots$ 를 나열하면 첫째 항 $4$, 공차 $4$ 의 등차수열. 항이 $50$ 개이므로 합 $= \tfrac{50}{2}(4 + 200) = 25 \cdot 204 = 5100$. 같은 답을 등차수열 합으로 표현.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.7유리수의 대소 관계와 절댓값 이해 ($n$ 이 각 제곱근을 지날 때 인수 $(n - k^2)$ 의 부호 변화를 추적.)8.F.B.5두 양 사이의 함수 관계를 정성적으로 기술 (연속 제곱근 구간에서 $P(n)$ 의 부호가 교대로 바뀌는 패턴 인식.)7.EE.A.1연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개 (제곱의 차 공식으로 $(2k)^2 - (2k-1)^2 + 1$ 을 $4k$ 로 간단화.)5.OA.B.3두 규칙으로 두 수열 만들고 관계 식별 ($k = 1, 2, 3$ 작은 경우로 $4k$ 규칙 검증.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식 쓰기·읽기·계산 (삼각수 공식으로 등차수열 $\sum_{k=1}^{50} 4k$ 합산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 부호 패턴 추론만 알면 풀 수 있어요 — $n$ 이 완전제곱수를 지날 때마다 부호가 뒤집히므로 나쁜 구간 $[1^2, 2^2], [3^2, 4^2], \ldots, [99^2, 100^2]$ 안의 정수는 $4 + 8 + 12 + \cdots + 200 = 5100$ 개. 답은 $\textbf{(E)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 부호 패턴 추론만 알면 풀 수 있어요 — $n$ 이 완전제곱수를 지날 때마다 부호가 뒤집히므로 나쁜 구간 $[1^2, 2^2], [3^2, 4^2], \ldots, [99^2, 100^2]$ 안의 정수는 $4 + 8 + 12 + \cdots + 200 = 5100$ 개. 답은 $\textbf{(E)}$.
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