AMC 10 · 2021 · #15

학년 8 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argumentfunction-evaluation caseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Values for $A,B,C,$ and $D$ are to be selected from $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ without replacement (i.e. no two letters have the same value). How many ways are there to make such choices so that the two curves $y=Ax^2+B$ and $y=Cx^2+D$ intersect? (The order in which the curves are listed does not matter; for example, the choices $A=3, B=2, C=4, D=1$ is considered the same as the choices $A=4, B=1, C=3, D=2.$ )

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

180

(E)

360

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 에서 서로 다른 네 값을 골라 $A, B, C, D$ 에 배정합니다. 두 포물선 $y = Ax^2 + B$ 와 $y = Cx^2 + D$ 를 만듭니다. 두 곡선의 순서는 따지지 않습니다 ($(A,B) \leftrightarrow (C,D)$ 교환은 같은 경우). 두 포물선이 "교차하는" 배정의 수를 구하세요.

주어진 것: 값 풀: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; 서로 다른 네 값을 골라 $A, B, C, D$ 에 (중복 없이) 배정; 두 포물선: $y_1 = Ax^2 + B$, $y_2 = Cx^2 + D$; 두 곡선의 순서는 무관 (곡선 교환은 같은 경우); 선택지: $30, 60, 90, 180, 360$

구하는 것: 교차하는 비순서쌍 $\{(A, B), (C, D)\}$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #1(그림): 같은 대칭축을 갖는 위로 열린 두 포물선을 그려 봅니다. 큰 $A$ 가 "좁은" 포물선. 같은 축을 공유하는 두 포물선이 만나지 "않는" 것은 하나가 다른 하나 위에 완전히 떠 있을 때 — 즉 좁은 쪽($A$ 가 큼)이 상수항($B$) 도 큼. 따라서 "교차한다" $\iff$ 좁은 포물선이 더 "낮게" 시작. 도구 #7(쪼개기): (a) 비순서 곡선쌍의 총수, (b) 그 중 교차하는 비율. 도구 #16(관점 바꾸기): 비교차쌍을 세어 빼는 보수 셈, 또는 "정확히 절반" 대칭 논증. 도구 #2(나열)로 작은 4-집합 위에서 대칭 논증 검증.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 1

두 포물선을 같게 두고 네 값에 대한 조건으로 정리.
$Ax^2 + B = Cx^2 + D \Rightarrow (A - C) x^2 = D - B$.
$A \neq C$ (서로 다른 값) 이므로 $x^2 = (D - B)/(A - C)$.
실수 $x$ 존재 조건: $x^2 \ge 0$, 즉 $(D - B)/(A - C) \ge 0$.
$B \neq D$ 이므로 비는 $0$ 이 아니고, 따라서 양이어야 함: $(D - B)(A - C) > 0$, 같은 말로 $(A - C)(B - D) < 0$.

$$\text{교차} \iff (A - C)(B - D) < 0$$

💡 8학년 일변수 방정식: $(A-C)x^2 = D-B$ 를 $x^2$ 에 대해 풀기.

#1 그림 그리기 8.F.A.3 단계 2

기하적으로 해석 (도구 #1).
대칭축 $x = 0$ 을 공유하는 위로 열린 두 포물선.
큰 $A$ 가 "좁음".
$x = 0$ 에서 높이는 각각 $B, D$, 멀리 가면 좁은 쪽이 이김.
따라서 두 곡선이 "안 만나는" 것은 좁은 쪽이 $x = 0$ 에서도 더 높을 때 — 즉 큰 $A$ 와 큰 $B$ 가 같은 곡선에 묶일 때.
만나려면 좁은 포물선이 "더 낮게 시작" 해야 함.

$$\text{교차} \iff \big(A > C \text{ 이고 } B < D\big) \text{ 또는 } \big(A < C \text{ 이고 } B > D\big)$$

💡 8학년 함수: 좁고 낮은 포물선은 큰 $|x|$ 에서 결국 넓고 높은 쪽을 추월 → 교차 강제.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

비순서 곡선쌍의 총개수 세기.
(단계 a) $\{1, \dots, 6\}$ 에서 서로 다른 네 값 선택 — $\binom{6}{4} = 15$ 부분집합.
(단계 b) 각 4-집합 $\{p, q, r, s\}$ 에 대해 네 값을 두 쌍 $(A, B), (C, D)$ 로 배정.
네 라벨을 비순서 두 쌍으로 나누는 방법은 $\binom{4}{2}/2 = 3$ 가지, 각 쌍 안의 순서가 $2 \cdot 2 = 4$ 가지, 합하면 한 4-집합당 $12$ 비순서 곡선쌍.

$$\text{총수} = \binom{6}{4} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 15 \cdot 12 = 180$$

💡 7학년 경우의 수: 고른 뒤 배정, 곡선 교환 대칭으로 나누기.

#16 관점 바꾸기 6.NS.C.7 단계 4

$180$ 을 부호 뒤집기 대칭으로 분할.
임의의 곡선쌍 $(A, B), (C, D)$ ($A \neq C, B \neq D$) 에서 두 상수만 교환($B \leftrightarrow D$).
그러면 $(A - C)(B - D) \mapsto (A - C)(D - B) = -(A - C)(B - D)$, 부호 반전.
따라서 교차 곡선쌍 ($(A-C)(B-D) < 0$) 과 비교차 곡선쌍 ($(A-C)(B-D) > 0$) 사이에 $1$-대-$1$ 대응.

$$B \leftrightarrow D: \quad (A - C)(B - D) \;\mapsto\; -(A - C)(B - D)$$

💡 6학년 부호와 순서: 서로 다른 두 수를 차에서 교환하면 부호가 뒤집힘.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 5

$1$-대-$1$ 대응이므로 교차와 비교차가 정확히 반반: $180$ 중 $90$ 이 교차, $90$ 이 비교차.

$$\text{교차} = \frac{180}{2} = 90$$

💡 6학년 비율: 완벽한 $1$-대-$1$ 짝짓기는 정확히 절반.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 6

작은 4-집합 위에서 빠른 검산 (도구 #2).
$\{1, 2, 3, 4\}$ 의 $12$ 비순서 곡선쌍을 직접 나열하고 교차 조건 ($A<C, B>D$ 또는 그 대칭) 으로 거르면 정확히 $6$ 개가 교차 — 전체 $180$ 의 반인 $90$ 과 일치.

$$\{1,2,3,4\}: 12 \text{ 쌍}, 6 \text{ 교차}$$

💡 7학년: 작은 구체 경우로 대칭 논증 확인.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 7

$90$ 을 선택지와 매칭: (C).
$30, 60$ 은 너무 적고, $180$ 은 교차 필터 전, $360$ 은 곡선 교환 대칭 적용 전의 수.

$$90 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 6학년 객관식: $90$ 과 같은 보기는 하나뿐.

[1] #7 8.EE.C.7 두 포물선을 같게 두고 네 값에 대한 조건으로 정리. $Ax^2 + B = Cx^2 + D \Rightarrow (A - C) x^2 = D -

[2] #1 8.F.A.3 기하적으로 해석 (도구 #1). 대칭축 $x = 0$ 을 공유하는 위로 열린 두 포물선. 큰 $A$ 가 "좁음". $x = 0$ 에서 높이는 각

[3] #2 7.SP.C.8 비순서 곡선쌍의 총개수 세기. (단계 a) $\{1, \dots, 6\}$ 에서 서로 다른 네 값 선택 — $\binom{6}{4} = 15$

[4] #16 6.NS.C.7 $180$ 을 부호 뒤집기 대칭으로 분할. 임의의 곡선쌍 $(A, B), (C, D)$ ($A \neq C, B \neq D$) 에서 두 상수만

[5] #16 6.RP.A.3 $1$-대-$1$ 대응이므로 교차와 비교차가 정확히 반반: $180$ 중 $90$ 이 교차, $90$ 이 비교차.

[6] #2 7.SP.C.8 작은 4-집합 위에서 빠른 검산 (도구 #2). $\{1, 2, 3, 4\}$ 의 $12$ 비순서 곡선쌍을 직접 나열하고 교차 조건 ($A<C,

[7] #7 6.EE.B.5 $90$ 을 선택지와 매칭: (C). $30, 60$ 은 너무 적고, $180$ 은 교차 필터 전, $360$ 은 곡선 교환 대칭 적용 전의 수

검토

합리성 확인: $90$ 은 비순서 곡선쌍 총수 $180$ 의 정확히 절반 — 교차 조건이 $(A-C)(B-D)$ 의 부호로만 결정되므로 "앞부호 동전 던지기" 가 자연스러움. 오답들은 각기 다른 잘못 세기에 해당: $360$ 은 순서 곡선쌍 (절반 나누기 전), $180$ 은 교차 필터 전, $60 = 180/3$, $30 = 90/3$ 은 쌍 안 배정 잘못의 함정.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기)을 더 직접적으로: 비교차쌍 ($\iff$ 한 포물선이 완전히 다른 쪽 위) 을 직접 세기. 좁고 높은 곡선 $(A, B)$ 에 대해 "$A$ 가 두 리딩 계수 중 큰 쪽 + $B$ 가 두 상수 중 큰 쪽" — 셈을 끝까지 하면 정확히 $90$ 개의 비교차 쌍. $180 - 90 = 90$ 교차 쌍, 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 개수 $90$ 을 다섯 선택지와 대조해 (C) 를 고르는 마무리.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (서로 다른 두 수를 차에서 교환하면 차의 부호가 뒤집힘을 사용.)
6.RP.A.3 비·비율 추론을 실생활·수학 문제에 적용 ($1$-대-$1$ 짝짓기로부터 $180$ 의 정확히 절반이 교차한다고 결론.)
7.SP.C.8 복합사건의 확률 — 정리된 표·나무그림으로 경우 세기 (비순서 곡선쌍을 $\binom{6}{4} \cdot \frac{\binom{4}{2}}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 180$ 로 세고, $\{1,2,3,4\}$ 에서 직접 나열 검산.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 ($(A - C) x^2 = D - B$ 를 $x^2$ 에 대해 풀어 교차 조건 도출.)
8.F.A.3 $y = mx + b$ 를 일차함수로 해석, 비일차 예 인식 ($y = Ax^2 + B$ 를 "폭은 $A$, 수직 이동은 $B$" 인 위로 열린 포물선으로 읽기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 포물선 이해와 간단한 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! 같은 대칭축을 공유하는 두 위로 열린 포물선은 "좁은 쪽이 동시에 더 높으면" 안 만나고, "좁은 쪽이 더 낮게 시작하면" 만나요. 두 상수를 교환하면 교차/비교차가 $1$-대-$1$ 로 짝지어지니, 총 $180$ 쌍의 정확히 절반인 $90$ 이 교차, 답 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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