AMC 10 · 2021 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Piecewise-Leg Time Balance

ratefraction-arithmeticratio-proportion identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Chantal and Jean start hiking from a trailhead toward a fire tower. Jean is wearing a heavy backpack and walks slower. Chantal starts walking at $4$ miles per hour. Halfway to the tower, the trail becomes really steep, and Chantal slows down to $2$ miles per hour. After reaching the tower, she immediately turns around and descends the steep part of the trail at $3$ miles per hour. She meets Jean at the halfway point. What was Jean's average speed, in miles per hour, until they meet?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{12}{13}$

(B)

(C)

$~\frac{13}{12}$

(D)

$~\frac{24}{13}$

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 샹탈과 장이 등산로 입구에서 동시에 출발합니다. 샹탈은 시속 $4$마일로 중간 지점까지 간 뒤, 가파른 위쪽 절반을 시속 $2$마일로 올라 감시탑에 도달하고, 돌아내려올 때는 시속 $3$마일로 가파른 길을 내려와 중간 지점에서 장과 만납니다. 같은 시간 동안 장은 일정한 속력으로 입구에서 중간 지점까지 걸어왔습니다. 장의 평균 속력(시속, 마일)은 얼마인가요?

주어진 것: 입구에서 중간 지점까지 거리를 $d$라 두면 전체 길은 $2d$; 샹탈: 첫 $d$를 시속 $4$, 가파른 $d$를 시속 $2$, 다시 내려오는 $d$를 시속 $3$; 장: 거리 $d$를 일정한 속력으로 이동; 두 사람의 출발 시각과 만나는 시각이 동일; 선택지: (A) $\frac{12}{13}$, (B) $1$, (C) $\frac{13}{12}$, (D) $\frac{24}{13}$, (E) $2$

구하는 것: 두 사람이 만나기까지 장의 평균 속력(시속 마일)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #1 그림 그리기

샹탈의 이동은 속력이 다른 세 구간으로 자연스럽게 쪼개집니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 구간 시간을 따로 구하고 합치면 됨. 도구 #8(단위 살펴보기)로 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 관계를 정확히 유지. 도구 #1(그림 그리기)로 수직선 위에 세 구간을 그리면 장이 $d$, 샹탈이 $3d$를 같은 시간에 이동했다는 사실이 한눈에 보입니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.RP.A.3 단계 1

수직선 위에 입구·중간·감시탑을 거리 $d$ 간격으로 표시.
샹탈은 $d$를 시속 $4$(평지), $d$를 시속 $2$(가파른 상행), $d$를 시속 $3$(가파른 하행)로 이동해 중간 지점 도착.
장은 $d$를 미지의 속력으로 이동.
두 사람의 경과 시간 동일.

$$\text{입구} \xrightarrow{d,\;4} \text{중간} \xrightarrow{d,\;2} \text{탑} \xrightarrow{d,\;3} \text{중간}$$

💡 그림을 그리면 긴 문장이 세 구간 + 장의 한 구간으로 깔끔히 정리됨.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 2

각 구간은 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$.
첫 구간 $\dfrac{d}{4}$시간, 둘째 $\dfrac{d}{2}$시간, 셋째 $\dfrac{d}{3}$시간.
단위 확인: 마일 ÷ (마일/시간) = 시간.

$$t_1 = \dfrac{d}{4},\;\; t_2 = \dfrac{d}{2},\;\; t_3 = \dfrac{d}{3}$$

💡 단위율 $r = d/t$를 뒤집어 $t = d/r$ — 6학년 비율 추론 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

샹탈이 만나기까지 걸린 총 시간 = 세 구간 시간의 합.
공통분모 $12$: $\dfrac{d}{4} = \dfrac{3d}{12},\;\dfrac{d}{2} = \dfrac{6d}{12},\;\dfrac{d}{3} = \dfrac{4d}{12}$.
합 $= \dfrac{13d}{12}$시간.

$$T = \dfrac{d}{4} + \dfrac{d}{2} + \dfrac{d}{3} = \dfrac{3d+6d+4d}{12} = \dfrac{13d}{12}$$

💡 공통분모로 통분 후 덧셈 — 5학년 분수 계산.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

장은 같은 시간 $T = \dfrac{13d}{12}$에 거리 $d$를 이동.
평균 속력은 $\dfrac{d}{T} = d \cdot \dfrac{12}{13d} = \dfrac{12}{13}$ mph.
거리 $d$가 약분되어 사라짐 — 답은 길의 실제 길이와 무관.

$$s_J = \dfrac{d}{\;13d/12\;} = \dfrac{12}{13}\;\text{mph}$$

💡 분수로 나누기는 역수 곱하기 — 미지의 거리가 깔끔히 사라짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.2 단계 5

선택지와 대조: $\dfrac{12}{13}$ 은 (A).

$$\dfrac{12}{13}\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 구한 분수를 그대로 선택지에서 찾기.

[1] #1 6.RP.A.3 수직선 위에 입구·중간·감시탑을 거리 $d$ 간격으로 표시. 샹탈은 $d$를 시속 $4$(평지), $d$를 시속 $2$(가파른 상행), $d$를

[2] #8 6.RP.A.2 각 구간은 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$. 첫 구간 $\dfrac{d}{4}$시간, 둘째 $\df

[3] #7 5.NF.A.1 샹탈이 만나기까지 걸린 총 시간 = 세 구간 시간의 합. 공통분모 $12$: $\dfrac{d}{4} = \dfrac{3d}{12},\;\dfr

[4] #7 6.RP.A.3 장은 같은 시간 $T = \dfrac{13d}{12}$에 거리 $d$를 이동. 평균 속력은 $\dfrac{d}{T} = d \cdot \dfra

[5] #7 4.NF.A.2 선택지와 대조: $\dfrac{12}{13}$ 은 (A).

검토

합리성 확인: 크기 검산. 같은 시간 동안 샹탈은 $3d$, 장은 $d$ 이동 — 장의 평균 속력은 샹탈 평균 속력의 $\dfrac{1}{3}$. 샹탈 평균 속력 $\dfrac{3d}{13d/12} = \dfrac{36}{13}$ mph, 그 $\dfrac{1}{3}$은 $\dfrac{12}{13}$ mph — 일치. 답이 시속 $1$마일 미만이라는 점도 무거운 배낭을 멘 장의 상황과 잘 어울림.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 편한 수를 대입. $d = 12$마일이라 두면 샹탈의 세 구간 시간 $3,\,6,\,4$시간, 합 $13$시간. 장은 $12$마일을 $13$시간에 — 평균 $\dfrac{12}{13}$ mph로 바로 (A). 숫자 대입이 분수 계산 실수도 줄여 더 빠를 때가 많음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 풀기 (각 구간을 비율 문제로 다루고 장의 평균 속력을 구함.)
6.RP.A.2 단위율 개념과 비율 언어 이해 (속력에서 $t = d / r$ 로 구간별 시간 계산.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\frac{d}{4} + \frac{d}{2} + \frac{d}{3}$ 를 공통분모 $12$ 로 더함.)
4.NF.A.2 분자·분모가 다른 두 분수의 크기 비교 (다섯 보기 중 $\frac{12}{13}$ 을 찾아 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 추론만 알면 풀 수 있어요 — 샹탈의 세 구간마다 시간 = 거리 / 속력을 구하고, 공통분모 $12$ 로 더해 $\frac{13d}{12}$ 시간을 얻은 다음, 장의 속력 $\frac{d}{13d/12} = \frac{12}{13}$ mph.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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