AMC 8 · 2001 · #15

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Staggered Start or Schedule Table

ratelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Homer began peeling a pile of 44 potatoes at the rate of 3 potatoes per minute. Four minutes later Christen joined him and peeled at the rate of 5 potatoes per minute. When they finished, how many potatoes had Christen peeled?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 호머가 감자 $44$ 개를 분당 $3$ 개씩 깎기 시작합니다. $4$ 분 뒤 크리스튼이 합류해 분당 $5$ 개씩 깎습니다. 두 사람이 모두 깎고 나서 일을 마쳤을 때, 크리스튼이 깎은 감자는 몇 개인가요?

주어진 것: 전체 감자 수: $44$ 개; 호머의 속도: 분당 $3$ 개, 시각 $0$ 분부터 시작; 크리스튼의 속도: 분당 $5$ 개, 시각 $4$ 분부터 시작; 감자가 다 깎이는 순간 둘 다 멈춤; 선택지: (A) $20$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $33$, (E) $40$

구하는 것: 감자가 다 떨어질 때까지 크리스튼이 깎은 감자 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

이야기는 두 구간으로 자연스럽게 나뉘어요 — 처음 $4$ 분은 호머 혼자, 그 뒤로는 호머와 크리스튼이 함께. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 호머가 혼자 깎은 양을 구해 $44$ 에서 빼서 남은 감자를 알아내고, (b) 두 사람이 그 남은 양을 같이 깎는 데 걸리는 시간을 구한 뒤 크리스튼의 몫만 따로 읽어내면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 각 단계의 단위 — $\text{개/분} \times \text{분} = \text{개}$ — 가 맞는지 확인해 주고, 속도가 같은 단위라 $3 + 5$ 처럼 더할 수 있다는 점도 분명히 해 줍니다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 1

작은 문제 1: 호머가 혼자 일한 첫 $4$ 분 동안 깎은 감자 수를 구합니다.
속도와 혼자 일한 시간을 곱하면 됩니다.

$$3 \;\tfrac{\text{개}}{\text{분}} \times 4 \;\text{분} = 12 \;\text{개}$$

💡 속도 $\times$ 시간 $=$ 양. "분" 단위가 약분되어 "개" 만 남는 게 우리가 세고 싶은 양과 정확히 맞습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

크리스튼이 합류하는 시점에 남아 있는 감자가 몇 개인지 구합니다.
시작 수 $44$ 에서 호머가 깎은 $12$ 를 뺍니다.

$$44 - 12 = 32 \;\text{개 남음}$$

💡 전체에서 끝낸 만큼을 빼면 남은 양 — 1구간과 2구간을 잇는 다리 역할입니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 3

작은 문제 2: 두 사람의 속도를 합칩니다.
크리스튼이 합류한 뒤에는 같은 더미를 동시에 깎으므로 두 속도를 더하면 됩니다.

$$3 + 5 = 8 \;\tfrac{\text{개}}{\text{분}}$$

💡 단위가 같은 속도는 그대로 더할 수 있습니다. 두 사람이 함께 일하면 합쳐서 분당 $8$ 개가 되는 셈이에요.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

2구간의 길이를 구합니다.
남은 $32$ 개를 합산 속도 $8$ 개/분으로 나눕니다.

$$\dfrac{32 \;\text{개}}{8 \;\text{개/분}} = 4 \;\text{분}$$

💡 "개" 를 "개/분" 으로 나누면 "분" 이 남아 — 둘이 함께 일할 때 걸리는 시간이 그대로 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 5

크리스튼이 깎은 감자 수를 셉니다.
크리스튼이 실제로 일한 시간(2구간의 $4$ 분)에 크리스튼의 속도를 곱합니다.

$$5 \;\tfrac{\text{개}}{\text{분}} \times 4 \;\text{분} = 20 \;\text{개} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 크리스튼은 2구간에서만 일했으니 그 사람의 몫은 2구간 시간 $\times$ 본인 속도 — 그게 전부입니다.

[1] #8 5.NBT.B.5 작은 문제 1: 호머가 혼자 일한 첫 $4$ 분 동안 깎은 감자 수를 구합니다. 속도와 혼자 일한 시간을 곱하면 됩니다.

[2] #7 4.OA.A.3 크리스튼이 합류하는 시점에 남아 있는 감자가 몇 개인지 구합니다. 시작 수 $44$ 에서 호머가 깎은 $12$ 를 뺍니다.

[3] #8 5.NBT.B.5 작은 문제 2: 두 사람의 속도를 합칩니다. 크리스튼이 합류한 뒤에는 같은 더미를 동시에 깎으므로 두 속도를 더하면 됩니다.

[4] #8 6.RP.A.3 2구간의 길이를 구합니다. 남은 $32$ 개를 합산 속도 $8$ 개/분으로 나눕니다.

[5] #7 5.NBT.B.5 크리스튼이 깎은 감자 수를 셉니다. 크리스튼이 실제로 일한 시간(2구간의 $4$ 분)에 크리스튼의 속도를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 전체 합으로 점검합니다. 호머가 혼자 $12$ 개 + 2구간에서 $3 \times 4 = 12$ 개 = 총 $24$ 개. 크리스튼은 $20$ 개. 둘이 합쳐 $24 + 20 = 44$ — 정확히 시작 더미와 같습니다. 함정 선택지들도 짚어볼게요. (C) $32$ 는 크리스튼이 합류한 시점의 남은 감자 수이지 크리스튼의 몫이 아닙니다. (B) $24$ 는 호머의 총량입니다. (D) $33$ 은 크리스튼이 처음부터 일했다 치고 $44$ 를 속도비 $5$:$3$ 으로 가른 값입니다. (E) $40$ 은 크리스튼에게 $8$ 분 내내 분당 $5$ 개를 곱한 값으로, $4$ 분 늦게 시작한 점을 잊은 경우입니다. (A) 를 골랐다면 늦게 시작한 점을 제대로 반영한 거예요.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 분 단위로 표를 만들어 봅니다. $1$~$4$ 분 — 호머 누적 $3, 6, 9, 12$ (크리스튼 $0$). $5$ 분: 호머 $15$, 크리스튼 $5$, 남은 $20$. $6$ 분: 호머 $18$, 크리스튼 $10$, 남은 $16$. $7$ 분: 호머 $21$, 크리스튼 $15$, 남은 $9$. $8$ 분: 호머 $24$, 크리스튼 $20$, 남은 $0$ — 끝. 크리스튼 열의 마지막 값이 $20$, 같은 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱하기 (호머의 혼자 일한 양 $3 \times 4 = 12$ 와 크리스튼의 몫 $5 \times 4 = 20$ 을 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산으로 자연수의 다단계 문장제 해결하기 ($44 - 12 = 32$ 로 크리스튼이 합류할 때 남아 있는 감자 수를 구해 두 구간을 잇는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율을 이용해 실세계 문제 해결하기 (두 속도를 더해 $3 + 5 = 8$ 개/분을 만들고 $32 \div 8 = 4$ 분으로 2구간 길이를 구하는 데 사용.)

⭐ 이야기를 두 구간으로 쪼개세요 — 호머 혼자, 그리고 둘이 함께. 호머가 혼자 깎은 양을 빼고, 합류한 뒤로는 속도를 더해 계산하면, 크리스튼은 $4$ 분 동안 분당 $5$ 개로 $20$ 개, 답은 (A) 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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