AMC 10 · 2022 · #14
학년 7 counting문제
How many ways are there to split the integers 1 through 14 into 7 pairs such that in each pair, the greater number is at least 2 times the lesser number?
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정수 $1, 2, 3, \ldots, 14$ 를 $7$ 개의 쌍으로 나누되, 모든 쌍에서 큰 수가 작은 수의 $2$ 배 이상이 되도록 합니다. 이렇게 만들 수 있는 짝짓기의 가짓수를 구하세요.
주어진 것: 정수 $1$ 부터 $14$ 까지 각각 한 번씩 사용; 총 $7$ 개의 순서 없는 쌍; 모든 쌍 $(a, b)$ ($a < b$) 에 대해 $b \ge 2a$; 선택지: (A) $108$, (B) $120$, (C) $126$, (D) $132$, (E) $144$
구하는 것: 조건을 만족하는 $7$ 개 쌍 묶기 경우의 수
이해
문제 재정리: 정수 $1, 2, 3, \ldots, 14$ 를 $7$ 개의 쌍으로 나누되, 모든 쌍에서 큰 수가 작은 수의 $2$ 배 이상이 되도록 합니다. 이렇게 만들 수 있는 짝짓기의 가짓수를 구하세요.
주어진 것: 정수 $1$ 부터 $14$ 까지 각각 한 번씩 사용; 총 $7$ 개의 순서 없는 쌍; 모든 쌍 $(a, b)$ ($a < b$) 에 대해 $b \ge 2a$; 선택지: (A) $108$, (B) $120$, (C) $126$, (D) $132$, (E) $144$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 질문을 다시 짭니다: "$14$ 개를 $2$ 배 규칙으로 짝짓기" 대신 먼저 더 쉬운 구조 질문 "큰 수 둘이 한 쌍이 될 수 있나?" 를 묻기. 답이 "아니오" (1단계에서 확인) 이면 문제는 $L = \{1, \ldots, 7\}$ 과 $G = \{8, \ldots, 14\}$ 사이의 일대일 대응으로 축소돼 탐색 공간이 반으로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 각 $a \in L$ 의 합법 짝 $b$ 목록을 표로 만듭니다. 도구 #5(패턴)로 가장 제약이 심한 $a$ 부터 짝을 배정하고 곱셈 원리로 합산. 도구 #16(관점 바꾸기)은 점검 각도: 마지막 남은 작은 $a$ 들($a \le 4$) 은 제약이 모두 자동 충족되어 $4!$ 가 한 덩어리로 떨어집니다. 도구 #3 으로 최종 정수를 선택지와 매칭.
실행 — 정답: E
6.NS.C.7 단계 1 - 도구 #9(더 쉬운 문제): 먼저 더 쉬운 구조 질문 — 한 쌍의 두 수가 모두 $G = \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$ 에서 올 수 있나?
- $G$ 의 임의 $x < y$ 에 대해 가장 작은 경우 $(8, 9)$ 도 $9 < 16 = 2 \times 8$.
- 일반적으로 $x \ge 8$ 이면 $2x \ge 16 > y$ 가 모든 $y \le 14$ 에 대해 성립.
- 따라서 $G$ 안에서 짝을 이루는 쌍은 없음.
- 그러므로 $G$ 의 $7$ 개 수가 각각 한 쌍의 큰 수가 되어야 하고, $L = \{1, \ldots, 7\}$ 의 $7$ 개 수가 각각 한 쌍의 작은 수.
- 문제는 $f(a) \ge 2a$ 를 만족하는 $f : L \to G$ 일대일 대응의 수로 축소.
💡 6학년 수 비교: $2x$ 와 가능한 최대 $y$ 를 비교만 해도 $G$ 내부 쌍을 한 번에 배제.
6.NS.C.7 단계 2 - 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 $a \in L$ 에 대해 $b \ge 2a$ 인 $G$ 의 원소를 나열.
- $a$ 가 작을수록 짝 후보가 많고, $a = 7$ 이 가장 빡빡 — $14$ 만 가능.
💡 줄 별로 짝 후보를 나열하면 제약 구조가 한눈에 보이고, 병목은 $L$ 의 꼬리 쪽에 있음을 파악.
7.SP.C.8 단계 3 - 도구 #5(패턴): 제약이 가장 심한 $a$ 부터 배정.
- $a = 7$ 은 단 한 가지($14$), $a = 6$ 은 남은 $\{12, 13\}$ 중 하나(2 가지), $a = 5$ 의 경우 원래 합법 집합 $\{10, 11, 12, 13, 14\}$ 에서 $14$ ($7$ 이 가져감) 와 $6$ 이 가져간 하나를 빼면 $5 - 2 = 3$ 가지 — $6$ 이 어느 쪽을 골랐든 동일.
💡 빡빡한 것부터 배정하면 이후 카운트가 명확해짐 — 7학년 복합 사건의 조직적 나열.
7.SP.C.8 단계 4 - $7, 6, 5$ 까지 배정 후 $G$ 에서 세 수가 빠지고 $\{8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ 의 어떤 네 원소 부분집합 $G''$ 가 남음.
- 중요한 점은 $G''$ 의 모든 $b$ 가 $b \ge 8$.
- 남은 작은 수 $a \in \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 가장 빡빡한 조건은 $a = 4$ 의 $b \ge 8$ — $G''$ 의 모든 원소가 자동 충족.
- 따라서 $\{1, 2, 3, 4\}$ 는 $G''$ 와 자유롭게 짝지을 수 있고, $4! = 24$ 가지.
💡 도구 #16 관점: 개별 제약을 추적하는 대신 "모두 자동 충족" 임을 알아채면 자유도 만점 — $4!$ 가 한 덩어리로 떨어짐.
7.SP.C.8 단계 5 독립 단계를 곱(곱셈 원리)으로 합치기.
💡 7학년 기본 셈: 독립 단계마다 선택 수를 곱한다.
6.EE.B.5 단계 6 $144$ 를 선택지와 매칭: (E).
💡 마지막 객관식 비교.
6.NS.C.7 도구 #9(더 쉬운 문제): 먼저 더 쉬운 구조 질문 — 한 쌍의 두 수가 모두 $G = \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$ 6.NS.C.7 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 $a \in L$ 에 대해 $b \ge 2a$ 인 $G$ 의 원소를 나열. $a$ 가 작을수록 짝 후보가 많고, 7.SP.C.8 도구 #5(패턴): 제약이 가장 심한 $a$ 부터 배정. $a = 7$ 은 단 한 가지($14$), $a = 6$ 은 남은 ${12, 13} 7.SP.C.8 $7, 6, 5$ 까지 배정 후 $G$ 에서 세 수가 빠지고 $\{8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ 의 어떤 네 원소 부분집합 $G'' 7.SP.C.8 독립 단계를 곱(곱셈 원리)으로 합치기. 6.EE.B.5 $144$ 를 선택지와 매칭: (E). 검토
합리성 확인: 크기 점검. 느슨한 상한은 $7!$ ($L$ 과 $G$ 사이 임의 일대일 대응) 으로 $5040$. 제약 $b \ge 2a$ 가 이를 크게 줄여야 하고, 실제로 $144$ 는 $7!/35$ 정도 — 합리적. 또한 $144 = 1 \times 2 \times 3 \times 4!$ 라는 깔끔한 조합 해석: $L$ 꼬리 셋의 제약 있는 선택 × $L$ 머리 넷의 자유로운 $4!$. 부분 확인 — $7$ 은 $14$ 로 강제, $6$ 은 $\{12, 13\}$ (2 경우). 각 경우에 $5$ 는 정확히 $3$ 가지 합법 짝 ($\{10, 11, 12, 13\}$ 에서 $6$ 이 가져간 하나 제외), 따라서 상위 셋 $2 \times 3 = 6$ 가지, 하위 넷 $4! = 24$ 가지 = $144$. ✓
대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) — 제약을 반대 순서, $a = 1$ 부터 $a = 7$ 까지 배정. 이 방향은 어렵습니다 — $a = 1$ 의 $7$ 가지 선택이 이후 모든 $a$ 와 얽히기 때문. 매 단계마다 변화하는 "금지" 집합을 추적해야 하므로, 결국 도구 #5 의 빡빡한 것부터 순서가 옳음을 재확인. 어느 쪽이든 직접 열거(또는 재귀 프로그램)로 $144$ 가 나옴.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.5방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $144$ 를 다섯 선택지와 대조해 (E) 를 고르는 마무리에 사용.)6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($G$ 내부의 $x, y$ 에 대해 $2x$ 와 $y$ 를 비교해 $G$ 내부 쌍을 배제하고, 각 $a \in L$ 의 합법 짝을 순서대로 나열하는 데 사용.)7.SP.C.8조직적 나열·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (제약 있는 짝짓기의 독립 단계를 조직적 나열로 세고 곱셈 원리 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4!$ 를 적용하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 $8$ ~ $14$ 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고($7$ 은 $14$ 와, 그다음 $6$, $5$), 남은 작은 수 넷은 자유로워 $1 \times 2 \times 3 \times 4! = 144$ 가지가 나와요.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 $8$ ~ $14$ 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고($7$ 은 $14$ 와, 그다음 $6$, $5$), 남은 작은 수 넷은 자유로워 $1 \times 2 \times 3 \times 4! = 144$ 가지가 나와요.
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