AMC 8 · 2006 · #20

학년 6 counting

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

combinations-basicsystematic-enumerationlogical-deduction identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A singles tournament had six players. Each player played every other player only once, with no ties. If Helen won 4 games, Ines won 3 games, Janet won 2 games, Kendra won 2 games and Lara won 2 games, how many games did Monica win?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6$ 명의 선수가 단식 라운드 로빈 토너먼트를 합니다 — 각 쌍은 정확히 한 번씩 경기하고 무승부는 없습니다. 헬렌은 $4$ 승, 이네스는 $3$ 승, 자넷은 $2$ 승, 켄드라는 $2$ 승, 라라는 $2$ 승을 거두었습니다. 모니카가 이긴 경기 수를 구하세요.

주어진 것: 선수는 $6$ 명이며, 각 쌍은 정확히 한 번 경기한다; 모든 경기에는 승자와 패자가 하나씩 있다 (무승부 없음); 승수: 헬렌 $= 4$, 이네스 $= 3$, 자넷 $= 2$, 켄드라 $= 2$, 라라 $= 2$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 모니카가 이긴 경기 수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

누가 누구를 이겼는지 몰라도 모니카의 승수를 정확히 정할 수 있는 단서는 "불변량"입니다. 무승부 없는 라운드 로빈에서는 매 경기가 정확히 $1$ 승을 만들어내므로, 모든 선수의 승수 총합 $=$ 전체 경기 수가 됩니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 바로 이 불변량을 잡아내요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계 — (1) 전체 경기 수 세기, (2) 알려진 다섯 선수의 승수를 빼기 — 로 나누면 계산이 깔끔해집니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 1

전체 경기 수를 셉니다.
$6$ 명 각자가 나머지 $5$ 명과 경기하므로 "선수당 상대 수"로 세면 $6 \times 5$ 가 되는데, 한 경기를 두 선수가 각각 한 번씩 셈한 셈이므로 $2$ 로 나눠 중복을 보정합니다.

$$\text{전체 경기 수} \;=\; \dfrac{6 \times 5}{2} \;=\; 15$$

💡 "$6$ 명이 각자 $5$ 명과" 라고 하면 $30$ 같지만, 한 경기를 양쪽에서 두 번 센 셈이라 절반으로 나눠야 합니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.2 단계 2

불변량을 적용합니다.
모든 경기는 정확히 $1$ 승을 누군가의 승수에 더하므로, $6$ 명의 승수 총합은 전체 경기 수와 같습니다.
경기 $15$ 게임이니 승수 총합도 $15$.

$$\text{헬렌} + \text{이네스} + \text{자넷} + \text{켄드라} + \text{라라} + \text{모니카} \;=\; 15$$

💡 무승부가 없으니 매 경기에 승자가 정확히 한 명. 그래서 "누가 누구를 이겼나" 와 상관없이 총 승수 $=$ 총 경기 수.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

알려진 다섯 선수의 승수를 더하고, $15$ 에서 빼면 모니카의 승수가 남습니다.

$$4 + 3 + 2 + 2 + 2 \;=\; 13,\quad \text{모니카의 승수} \;=\; 15 - 13 \;=\; 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 불변량 덕분에 문제는 한 번의 뺄셈으로 끝납니다. 전체에서 아는 부분을 빼면 모르는 부분.

[1] #7 5.NBT.B.5 전체 경기 수를 셉니다. $6$ 명 각자가 나머지 $5$ 명과 경기하므로 "선수당 상대 수"로 세면 $6 \times 5$ 가 되는데, 한 경기

[2] #11 6.EE.A.2 불변량을 적용합니다. 모든 경기는 정확히 $1$ 승을 누군가의 승수에 더하므로, $6$ 명의 승수 총합은 전체 경기 수와 같습니다. 경기 $15

[3] #7 6.EE.B.7 알려진 다섯 선수의 승수를 더하고, $15$ 에서 빼면 모니카의 승수가 남습니다.

검토

합리성 확인: 경기 수를 다른 방법으로도 검증해 봅시다. 모든 선수 쌍을 나열하면 (H,I), (H,J), (H,K), (H,L), (H,M), (I,J), (I,K), (I,L), (I,M), (J,K), (J,L), (J,M), (K,L), (K,M), (L,M) — 정확히 $15$ 쌍이고 $\tfrac{6 \times 5}{2} = 15$ 와 같습니다. 그리고 승수 합 $4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15$ 가 경기 수 $15$ 와 일치합니다. 또 각 선수는 $5$ 경기씩 했으니 개인 승수는 $0$ 에서 $5$ 사이여야 하는데, 모니카의 $2$ 는 이 범위에 자연스럽게 들어가고 다른 선수들의 승수와도 모순이 없습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 모니카의 승수를 $M$ 이라 하면 총 승수 $=$ 총 경기 수에서 $4 + 3 + 2 + 2 + 2 + M = 15$ 이므로 $13 + M = 15$, 따라서 $M = 2$. 같은 답 (C). 대수는 미지수에 이름을 붙이고 한 단계 방정식을 푸는 형식인데, 본풀이의 불변량 접근이 사실상 같은 일을 비형식적으로 해낸 것입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 여러 자리 수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 정확히 계산하기 (라운드 로빈 쌍의 수에서 전체 경기 수 $\tfrac{6 \times 5}{2} = 15$ 를 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ("$6$ 명의 승수 합 $=$ 전체 경기 수" 라는 불변량을 모니카의 미지수 승수를 포함한 식으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활/수학 문제 해결 ($13 + M = 15$ 를 풀어 모니카의 승수 $M = 2$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 무승부 없는 라운드 로빈에서는 매 경기가 정확히 $1$ 승을 만들기 때문에, 총 승수는 언제나 총 경기 수와 같습니다. 경기 $15$ 게임을 세고 나면, 모니카의 승수는 그저 $15$ 에서 다른 다섯 선수의 승수를 뺀 값이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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