AMC 10 · 2024 · #16
학년 8 geometry-2dalgebra문제
All of the rectangles in the figure below, which is drawn to scale, are similar to the enclosing rectangle. Each number represents the area of the rectangle. What is length AB?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 큰 직사각형이 작은 직사각형들로 빈틈없이 덮여 있고, 모든 작은 직사각형은 큰 직사각형과 닮음입니다. 각 작은 직사각형에는 넓이가 표시되어 있습니다. 큰 직사각형의 윗변 $AB$ 의 길이를 구하세요.
주어진 것: 그림 속 모든 직사각형은 큰 직사각형과 닮음; 표시된 넓이들: $1, 8, 16, 18, 25, 32, 36, 49$ (그리고 큰 직사각형); 그림에서 윗변 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 아랫변은 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 선택지: (A) $4+4\sqrt5$, (B) $10\sqrt2$, (C) $5+5\sqrt5$, (D) $10\sqrt[4]{8}$, (E) $20$
구하는 것: 윗변 $AB$ 의 길이
이해
문제 재정리: 큰 직사각형이 작은 직사각형들로 빈틈없이 덮여 있고, 모든 작은 직사각형은 큰 직사각형과 닮음입니다. 각 작은 직사각형에는 넓이가 표시되어 있습니다. 큰 직사각형의 윗변 $AB$ 의 길이를 구하세요.
주어진 것: 그림 속 모든 직사각형은 큰 직사각형과 닮음; 표시된 넓이들: $1, 8, 16, 18, 25, 32, 36, 49$ (그리고 큰 직사각형); 그림에서 윗변 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 아랫변은 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들의 가로 변을 합한 길이; 선택지: (A) $4+4\sqrt5$, (B) $10\sqrt2$, (C) $5+5\sqrt5$, (D) $10\sqrt[4]{8}$, (E) $20$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
여덟 개의 다른 넓이가 모두 "같은 모양" 을 공유한다는 설정은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적 신호입니다. 넓이 $1$ 직사각형의 짧은 변과 긴 변에 $x$, $y$ 라는 이름만 붙이면, 넓이 $A$ 인 직사각형의 변은 자동으로 $x\sqrt{A}$, $y\sqrt{A}$. 모든 길이가 $(x, y)$ 식이 되니까 그림은 "윗변 = 아랫변" 이라는 단 하나의 식으로 줄어들고, 그 식이 비 $y/x$ 를 못 박아 줍니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 작업을 깔끔히 단계로 나눠줍니다 — (A) 변의 등식에서 비 구하기, (B) $xy = 1$ 에서 $x, y$ 구하기, (C) 윗변 식에 다시 대입해 $AB$ 계산. 단계별로 보면 모두 짧습니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 - 넓이 $1$ 직사각형의 변에 이름을 붙입니다.
- 짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 하면 $xy = 1$.
- 모든 직사각형이 닮음이므로, 넓이 $A$ 인 직사각형의 짧은 변은 $x\sqrt{A}$, 긴 변은 $y\sqrt{A}$.
💡 넓이는 길이의 제곱에 비례하므로 "넓이의 제곱근" 이 적절한 길이 단위입니다. 문자 두 개 $x, y$ 만으로 그림 속 모든 변을 한 번에 표현할 수 있습니다.
7.G.A.1 단계 2 - 윗변 $AB$ 를 합으로 나타냅니다.
- 그림에서 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 길이의 합.
- 넓이 $32$ 인 직사각형은 긴 변이 가로 방향이라 $y\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\,y$, 넓이 $25$ 와 $49$ 인 직사각형은 짧은 변이 가로 방향이라 각각 $x\sqrt{25} = 5x$, $x\sqrt{49} = 7x$ 를 기여합니다.
💡 축척에 맞게 그려진 그림에서 방향을 읽어내는 것은 7학년 "축척 그림 다루기" 의 핵심 — 어떤 변이 가로인지 그림이 직접 알려줍니다.
7.G.A.1 단계 3 - 아랫변도 같은 방식.
- 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들을 가로지릅니다.
- 넓이 $36, 16$ 은 짧은 변이 가로 방향($6x, 4x$), 넓이 $8, 18$ 은 긴 변이 가로 방향($2\sqrt{2}\,y, 3\sqrt{2}\,y$).
💡 반대편 변에서 같은 방식 — 아래쪽 네 직사각형이 네 개의 길이 기여로 깔끔히 갈라집니다.
6.EE.B.7 단계 4 - 윗변과 아랫변이 같다는 등식으로 비 $y/x$ 를 구합니다.
- 두 식 모두 큰 직사각형의 같은 가로 길이를 표현하므로, 같다고 놓고 정리합니다.
💡 $x$ 항은 한쪽, $y$ 항은 다른 쪽으로 모은 뒤 나누기. 6학년의 일차방정식 — 단 하나 새로운 점은 결과가 무리수라는 점입니다.
8.EE.A.2 단계 5 $y = x\sqrt{2}$ 와 $xy = 1$ 을 결합해 $x, y$ 를 구합니다.
💡 $1/\sqrt{2}$ 의 제곱근은 $1/2$ 의 네제곱근. 8학년 지수 법칙이 근호를 깔끔한 $2$ 의 분수 거듭제곱으로 바꿔줍니다.
8.EE.A.1 단계 6 $x = 2^{-1/4}$, $y = 2^{1/4}$ 를 윗변 식 $AB = 4\sqrt{2}\,y + 12x$ 에 다시 대입합니다.
💡 $12/2^{1/4}$ 의 분자·분모에 $2^{3/4}$ 을 곱해 근호를 풀면, 두 항이 모두 공통 인수 $2^{3/4}$ 로 묶입니다.
6.EE.A.2 넓이 $1$ 직사각형의 변에 이름을 붙입니다. 짧은 변을 $x$, 긴 변을 $y$ 라 하면 $xy = 1$. 모든 직사각형이 닮음이므로, 넓이 7.G.A.1 윗변 $AB$ 를 합으로 나타냅니다. 그림에서 $AB$ 는 넓이 $32, 25, 49$ 인 직사각형들의 가로 길이의 합. 넓이 $32$ 인 직사 7.G.A.1 아랫변도 같은 방식. 넓이 $36, 16, 8, 18$ 인 직사각형들을 가로지릅니다. 넓이 $36, 16$ 은 짧은 변이 가로 방향($6x, 4 6.EE.B.7 윗변과 아랫변이 같다는 등식으로 비 $y/x$ 를 구합니다. 두 식 모두 큰 직사각형의 같은 가로 길이를 표현하므로, 같다고 놓고 정리합니다. 8.EE.A.2 $y = x\sqrt{2}$ 와 $xy = 1$ 을 결합해 $x, y$ 를 구합니다. 8.EE.A.1 $x = 2^{-1/4}$, $y = 2^{1/4}$ 를 윗변 식 $AB = 4\sqrt{2}\,y + 12x$ 에 다시 대입합니다. 검토
합리성 확인: 비 $k = \sqrt{2}$ 는 그 유명한 $\text{A4}$ 용지의 비 — 자기 자신과 닮은 직사각형으로 타일링할 수 있는 바로 그 비율입니다. 이건 강한 합리성 신호입니다. 수치로는 $10\sqrt[4]{8} \approx 10 \cdot 1.6818 \approx 16.82$ 이고, 다른 선택지 (B) $10\sqrt{2} \approx 14.1$ 과 (E) $20$ 사이에 잘 들어맞습니다. 또 같은 $x, y$ 로 아랫변을 계산하면 $10x + 5\sqrt{2}\,y = 10 \cdot 2^{-1/4} + 5\sqrt{2}\cdot 2^{1/4} = 6 \cdot 2^{3/4} + 4 \cdot 2^{3/4} = 10 \cdot 2^{3/4}$ — 동일한 값이 나와 등식 설정이 일관적임을 확인합니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) + 측정: 그림이 축척에 맞게 그려져 있으므로, 인쇄된 그림에서 $AB$ 와 (예를 들어) 넓이 $36$ 직사각형의 한 변을 자로 재서 비를 구한 뒤 $\sqrt{36} = 6$ 에 적절한 변의 길이를 곱해 환산할 수 있습니다. 자로 재면 $\approx 16.8$ 이 나와 $10\sqrt[4]{8}$ 과 일치하고, 다른 선택지들($\approx 12.9, 14.1, 16.2, 20$) 과는 어긋납니다. 대수가 막혔을 때 시험장에서 답 후보를 거를 수 있는 방법입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (넓이 $1$ 직사각형의 변을 $x, y$ 로 명명해서 모든 직사각형의 변을 $x\sqrt{A}, y\sqrt{A}$ 로 통일된 형태로 쓸 수 있게 하는 데 사용.)7.G.A.1축척 그림을 활용한 도형 문제 해결 (각 작은 직사각형의 방향(짧은 변이 가로인지 긴 변이 가로인지)을 축척 그림에서 그대로 읽어, 윗변·아랫변을 길이의 합으로 적는 데 사용.)6.EE.B.7$x+p=q$, $px=q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (윗변 $=$ 아랫변 등식을 정리해 한 변수 방정식으로 만들고 $\dfrac{y}{x} = \sqrt{2}$ 를 얻는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 $x^2=p$, $x^3=p$ 형태의 방정식의 해 나타내기 ($x^2 = 1/\sqrt{2}$ 를 풀어 $x = 2^{-1/4}, y = 2^{1/4}$ 를 얻는 데 사용 — 8학년 제곱근/분수 거듭제곱 다루기.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4}$ 와 $1/2^{1/4} = 2^{-1/4}$ 를 이용해 $AB$ 의 두 항을 공통 인수 $10 \cdot 2^{3/4} = 10\sqrt[4]{8}$ 로 묶는 데 사용.)
⭐ 닮은 직사각형들은 변의 비 $k$ 하나를 공유합니다. 단위 직사각형의 변을 $x, y$ 로 명명하면 그림 속 모든 길이가 $x$ 와 $y$ 의 배수로 정리되고, 큰 직사각형의 마주 보는 두 변이 같다는 한 줄 식이 $k = \sqrt{2}$ — A4 용지와 똑같은 비 — 를 못 박아 줍니다.
⭐ 닮은 직사각형들은 변의 비 $k$ 하나를 공유합니다. 단위 직사각형의 변을 $x, y$ 로 명명하면 그림 속 모든 길이가 $x$ 와 $y$ 의 배수로 정리되고, 큰 직사각형의 마주 보는 두 변이 같다는 한 줄 식이 $k = \sqrt{2}$ — A4 용지와 똑같은 비 — 를 못 박아 줍니다.
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