gcdsystems-of-equationsprime-factorizationspatial-visualizationvolume-rectangular-prismidentify-subproblemsconvert-to-algebracaseworkguess-and-check↑ 선수 지식:gcdsystems-of-equationsprime-factorizationvolume-rectangular-prism
📏 긴 풀이💡 4 개 인사이트📊 도형
문제
Each of 27 bricks (right rectangular prisms) has dimensions a×b×c, where a, b, and c are pairwise relatively prime positive integers. These bricks are arranged to form a 3×3×3 block, as shown on the left below. A 28th brick with the same dimensions is introduced, and these bricks are reconfigured into a 2×2×7 block, shown on the right. The new block is 1 unit taller, 1 unit wider, and 1 unit deeper than the old one. What is a+b+c?
문제 재정리: $a, b, c$ 가 양의 정수이고 쌍마다 서로소인 $a \times b \times c$ 짜리 벽돌 $27$ 개로 $3 \times 3 \times 3$ 블록을 쌓습니다. 같은 벽돌 한 개를 더해 $28$ 개로 $2 \times 2 \times 7$ 블록을 다시 쌓으면 새 블록의 세 외측 길이가 각각 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큽니다. $a + b + c$ 를 구하세요.
주어진 것: 벽돌 크기: $a \times b \times c$, $\gcd(a,b) = \gcd(b,c) = \gcd(a,c) = 1$; $3 \times 3 \times 3$ 쌓기 ($27$ 개): 외측 세 길이는 $\{3a, 3b, 3c\}$ 의 순열; $2 \times 2 \times 7$ 쌓기 ($28$ 개): 외측 세 길이는 $\{2x, 2y, 7z\}$ 의 순열, 여기서 $\{x, y, z\} = \{a, b, c\}$; 새 블록의 각 외측 길이는 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큼; 선택지: (A) $88$, (B) $89$, (C) $90$, (D) $91$, (E) $92$
구하는 것: $a + b + c$ — 그리고 도중에 $a, b, c$ 각 값
이해
문제 재정리: $a, b, c$ 가 양의 정수이고 쌍마다 서로소인 $a \times b \times c$ 짜리 벽돌 $27$ 개로 $3 \times 3 \times 3$ 블록을 쌓습니다. 같은 벽돌 한 개를 더해 $28$ 개로 $2 \times 2 \times 7$ 블록을 다시 쌓으면 새 블록의 세 외측 길이가 각각 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큽니다. $a + b + c$ 를 구하세요.
주어진 것: 벽돌 크기: $a \times b \times c$, $\gcd(a,b) = \gcd(b,c) = \gcd(a,c) = 1$; $3 \times 3 \times 3$ 쌓기 ($27$ 개): 외측 세 길이는 $\{3a, 3b, 3c\}$ 의 순열; $2 \times 2 \times 7$ 쌓기 ($28$ 개): 외측 세 길이는 $\{2x, 2y, 7z\}$ 의 순열, 여기서 $\{x, y, z\} = \{a, b, c\}$; 새 블록의 각 외측 길이는 옛 블록의 대응 길이보다 정확히 $1$ 만큼 큼; 선택지: (A) $88$, (B) $89$, (C) $90$, (D) $91$, (E) $92$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기, #14 경우 나누기, #6 추측하고 확인하기
도구 #1(그림 그리기)로 시작: $3 \times 3 \times 3$ 쌓기의 외측 길이는 어느 축이든 $3a, 3b, 3c$ 중 하나이고, $2 \times 2 \times 7$ 쌓기는 $2x, 2y, 7z$. 한 번의 스케치로 끝. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이를 세 축의 독립적 "새 길이 = 옛 길이 + $1$" 매칭 셋으로 분해하고, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 세 일차방정식으로 옮깁니다. 도구 #14(경우 나누기)는 "$7$ 의 슬롯에 $a, b, c$ 중 어느 글자가 들어가는가" 라는 모호함을 처리 — $3 \cdot (\text{어떤 글자}) + 1 = 7 \cdot (\text{어떤 글자})$ 가 양의 정수해를 갖는 단 하나의 순환 배정($3a+1=2b, 3b+1=2c, 3c+1=7a$)만 살아남습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 마지막에 쌍서로소 조건을 검증.
실행 — 정답: E
#1 그림 그리기 5.MD.C.5단계 1
그림에서 외측 길이를 읽습니다.
$3 \times 3 \times 3$ 쌓기는 각 축 방향으로 벽돌 $3$ 개씩, 외측 세 길이는 어떤 순열로 $3a, 3b, 3c$.
$2 \times 2 \times 7$ 쌓기는 두 축이 $2$ 개, 한 축이 $7$ 개라 외측 세 길이는 $2x, 2y, 7z$, 단 $\{x, y, z\}$ 는 $\{a, b, c\}$ 의 어떤 순열.
합리성 확인: 수치들이 세 가지 독립 검증을 통과합니다. (1) 벽돌 $19 \times 29 \times 44$ 는 AMC 마지막 문제 규모에 어울리는 크기 — 너무 작지도, 너무 크지도 않음. (2) 쌍서로소 조건이 문제의 요구대로 정확히 성립. (3) 두 블록의 외측 길이 $\{57, 87, 132\}$ 대 $\{58, 88, 133\}$ 가 모두 정확히 $1$ 차이로 짝지어짐. 답 $92$ 는 선택지의 상단 (E); 인접 오답 $88, 89, 90, 91$ 은 $19 + 29 + 40$ 같은 작은 산수 실수에서 나오는데 이번 검증으로 모두 배제됩니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지에 직접 접근. 합 $a + b + c \in \{88, 89, 90, 91, 92\}$ 가 작고, 가장 작은 변 $a$ 는 $3a + 1 = 2b$ ($a$ 홀수) 와 $3c + 1 = 7a$ ($7a \equiv 1 \pmod 3$, 즉 $a \equiv 1 \pmod 3$) 를 동시에 만족해야 함. 그러한 가장 작은 $a$ 부터 cascade 로 $b, c$ 가 정수가 되는지 점검하면 $a = 19$ → $b = 29, c = 44$, 합 $92$. 본격 대수 없이 (E) 가 좁혀집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
5.MD.C.5 부피를 곱셈·덧셈과 연관 짓고 부피 관련 실생활·수학 문제 풀기 ($3 \times 3 \times 3$ 벽돌 쌓기의 외측 길이를 $3a, 3b, 3c$, $2 \times 2 \times 7$ 쌓기의 외측 길이를 $2x, 2y, 7z$ 로 읽기.)
8.EE.C.7 한 변수 일차방정식 풀기 (축약된 식 $27a + 19 = 28a$ 를 풀어 $a = 19$ 를 얻고, 역대입으로 $b = 29$, $c = 44$ 추출.)
8.EE.C.8 연립 일차방정식 분석하고 풀기 (집합 등식 $\{3a+1, 3b+1, 3c+1\} = \{2b, 2c, 7a\}$ 에서 세 일차방정식 $3a+1 = 2b$, $3b+1 = 2c$, $3c+1 = 7a$ 를 세우고 cascade 로 풀기.)
6.NS.B.4 100 이하 두 자연수의 최대공약수 구하기 ($\gcd(19,29) = \gcd(19,44) = \gcd(29,44) = 1$ 확인해 쌍서로소 조건 검증.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (마지막 합 $a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92$.)
⭐ 축마다 $1$ 씩 차이 나는 두 벽돌 쌓기는 "변에 이름 붙이기" 한 번으로 세 작은 식 $3a+1=2b$, $3b+1=2c$, $3c+1=7a$ 가 됩니다. cascade 로 풀면 $a = 19, b = 29, c = 44$ 이 나오고 합 $92$ → (E).
⭐ 축마다 $1$ 씩 차이 나는 두 벽돌 쌓기는 "변에 이름 붙이기" 한 번으로 세 작은 식 $3a+1=2b$, $3b+1=2c$, $3c+1=7a$ 가 됩니다. cascade 로 풀면 $a = 19, b = 29, c = 44$ 이 나오고 합 $92$ → (E).
