AMC 8 · 1999 · #19

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

rateunit-conversionmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratemulti-digit-arithmeticunit-conversion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

At Central Middle School, the 108 students who take the AMC 8 meet in the evening to talk about food and eat an average of two cookies apiece. Hansel and Gretel are baking Bonnie's Best Bar Cookies this year. Their recipe, which makes a pan of 15 cookies, lists these items: $1\frac{1}{2}$ cups flour, $2$ eggs, $3$ tablespoons butter, $\frac{3}{4}$ cups sugar, and $1$ package of chocolate drops. They will make full recipes, not partial recipes.

Hansel and Gretel must make enough pans of cookies to supply 216 cookies. There are 8 tablespoons in a stick of butter. How many sticks of butter will be needed? (Some butter may be leftover, of course.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $108$ 명의 학생이 한 명당 평균 $2$ 개의 쿠키를 먹으므로, 헨젤과 그레텔은 $216$ 개의 쿠키를 준비해야 합니다. 레시피 한 판은 쿠키 $15$ 개를 만들고 버터 $3$ 큰술을 씁니다. 부분 레시피는 허용되지 않습니다. 버터 한 스틱이 $8$ 큰술이라 할 때, 버터는 몇 스틱을 사야 할까요?

주어진 것: 학생 $108$ 명이 한 명당 $2$ 개씩 먹으므로 쿠키 $216$ 개가 필요하다; 레시피 한 판은 쿠키 $15$ 개를 만들고 버터 $3$ 큰술을 쓴다; 부분 레시피는 안 되고, 항상 한 판 단위로만 만든다; 버터 $1$ 스틱 $= 8$ 큰술; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 헨젤과 그레텔이 사야 하는 버터 스틱의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

질문은 "버터 몇 스틱?" 하나지만, 안에 작은 작업 네 개가 숨어 있어요 — 도구 #7(작은 문제로 나누기)의 전형적인 신호입니다. 순서는 (i) 필요한 총 쿠키 수, (ii) 필요한 판 수(올림), (iii) 필요한 버터 큰술 수, (iv) 필요한 스틱 수(올림) 입니다. 각 작은 문제는 단순한 사칙연산 한 번이고, 두 번 나오는 올림은 "부분 레시피 금지" 와 "스틱 단위로만 구매" 라는 실제 조건에서 나옵니다. 대수는 필요 없고, 단위만 잘 따라가면 풀이가 끝납니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: 필요한 총 쿠키 수를 구합니다.
$108$ 명의 학생이 평균 $2$ 개씩 먹습니다.

$$108 \times 2 = 216 \text{ 개}$$

💡 "한 명당 평균 $2$ 개" 에 인원을 곱하면 총 개수입니다 — 4학년 다단계 문장제의 첫 손길입니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.NS.B.2 단계 2

작은 문제 2: 필요한 판 수를 구합니다.
한 판이 쿠키 $15$ 개이므로 총 쿠키 수를 $15$ 로 나눕니다.
몫은 $14.4$ 이지만 부분 레시피는 허용되지 않으므로 다음 자연수로 올림합니다.
$14$ 판이면 $14 \times 15 = 210 < 216$ 으로 모자랍니다.

$$216 \div 15 = 14.4 \;\longrightarrow\; 15 \text{ 판}$$

💡 현실의 "적어도 이만큼, 반 개는 안 됨" 조건은 평소의 반올림이 아니라 항상 올림이에요.

#7 작은 문제로 나누기 5.NBT.B.5 단계 3

작은 문제 3: 필요한 총 버터 큰술 수를 구합니다.
한 판마다 $3$ 큰술을 쓰므로 판 수에 $3$ 을 곱합니다.

$$15 \times 3 = 45 \text{ 큰술}$$

💡 작은 문제 1과 같은 곱셈 패턴이에요 — 단위당 양 $\times$ 단위 개수.

#7 작은 문제로 나누기 6.NS.B.2 단계 4

작은 문제 4: 큰술을 스틱으로 바꿉니다.
$1$ 스틱이 $8$ 큰술이므로 $45$ 를 $8$ 로 나눕니다.
몫은 $5.625$ 이지만 $0.625$ 스틱은 살 수 없으니 또 올림합니다.
$5$ 스틱이면 $5 \times 8 = 40 < 45$ 로 모자랍니다.

$$45 \div 8 = 5.625 \;\longrightarrow\; 6 \text{ 스틱} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 판 수와 같은 "적어도 이만큼, 자연수 단위" 조건이라 소수 부분이 작아도 올림합니다.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1: 필요한 총 쿠키 수를 구합니다. $108$ 명의 학생이 평균 $2$ 개씩 먹습니다.

[2] #7 6.NS.B.2 작은 문제 2: 필요한 판 수를 구합니다. 한 판이 쿠키 $15$ 개이므로 총 쿠키 수를 $15$ 로 나눕니다. 몫은 $14.4$ 이지만 부분

[3] #7 5.NBT.B.5 작은 문제 3: 필요한 총 버터 큰술 수를 구합니다. 한 판마다 $3$ 큰술을 쓰므로 판 수에 $3$ 을 곱합니다.

[4] #7 6.NS.B.2 작은 문제 4: 큰술을 스틱으로 바꿉니다. $1$ 스틱이 $8$ 큰술이므로 $45$ 를 $8$ 로 나눕니다. 몫은 $5.625$ 이지만 $0.6

검토

합리성 확인: 두 번의 올림을 각각 확인합시다. 판: $15$ 판은 $15 \times 15 = 225$ 개로 $216$ 개 이상이고, $14$ 판은 $210$ 개로 모자라므로 $15$ 가 합법 최소값입니다. 스틱: $6$ 스틱은 $6 \times 8 = 48$ 큰술로 $45$ 큰술 이상이고, $5$ 스틱은 $40$ 큰술로 모자라므로 $6$ 이 합법 최소값입니다. 선택지 (A) $5$(버터 부족), (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$(필요 이상)는 모두 탈락. 단위 흐름도 "학생 $\to$ 쿠키 $\to$ 판 $\to$ 큰술 $\to$ 스틱" 으로 매 단계 환산율이 올바르니 (B) $6$ 이 일관된 답입니다.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기): 변환을 한 줄에 이어 붙이면 $216 \text{ 개} \times \dfrac{1 \text{ 판}}{15 \text{ 개}} \times \dfrac{3 \text{ 큰술}}{1 \text{ 판}} \times \dfrac{1 \text{ 스틱}}{8 \text{ 큰술}} = \dfrac{216 \times 3}{15 \times 8} = \dfrac{648}{120} = 5.4 \text{ 스틱}$. 이는 "부분 레시피 금지" 조건을 무시한 "연속값" 답입니다. 다시 조건을 넣으면 판 수가 $14.4 \to 15$ 로 올림되면서 버터가 $5.4 \to \tfrac{15 \times 3}{8} = 5.625$ 스틱으로 늘고, 스틱도 $6$ 으로 올림 — 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (쿠키 $\to$ 판 $\to$ 큰술 $\to$ 스틱 의 네 작은 문제를 이어 풀어 하나의 실생활 질문에 답하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (총 쿠키 수 $108 \times 2 = 216$ 과 총 버터 큰술 $15 \times 3 = 45$ 를 계산하는 데 사용.)
6.NS.B.2 여러 자리 수의 나눗셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (판 수 $216 \div 15 = 14.4$ 와 스틱 수 $45 \div 8 = 5.625$ 를 계산하고, 실생활 조건에 따라 다음 자연수로 올림하는 데 사용.)

⭐ 실생활의 "단위는 자연수" 조건이 붙은 문장제는 작은 문제들의 사슬로 풀려요. 곱하고, 나누고, 부분이 허용되지 않으면 무조건 올림 — 이렇게 하면 길어 보이는 AMC 8 문제도 4-6학년 사칙연산 네 단계로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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