AMC 8 · 1999 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

area-trianglespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Square $ABCD$ has sides of length 3. Segments $CM$ and $CN$ divide the square's area into three equal parts. How long is segment $CM$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{10}$

(B)

$\sqrt{12}$

(C)

$\sqrt{13}$

(D)

$\sqrt{14}$

(E)

$\sqrt{15}$

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $3$ 인 정사각형 $ABCD$ 안쪽에 선분 $CM$ 과 $CN$ 을 그어, 정사각형이 넓이가 같은 세 영역으로 나뉘게 했습니다. 점 $M$ 은 변 $AB$ 위에, 점 $N$ 은 변 $AD$ 위에 있습니다. 선분 $CM$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 한 변의 길이가 $3$ 인 정사각형; $M$ 은 변 $AB$ 위, $N$ 은 변 $AD$ 위의 점; 선분 $CM$ 과 $CN$ 이 정사각형을 넓이가 같은 세 영역 — $\triangle CBM$, $\triangle CDN$, 사각형 $AMCN$ — 으로 나눈다; 선택지: (A) $\sqrt{10}$, (B) $\sqrt{12}$, (C) $\sqrt{13}$, (D) $\sqrt{14}$, (E) $\sqrt{15}$

구하는 것: 선분 $CM$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심은 그림에서 정말 중요한 부분 — 꼭짓점 $B$ 에 딱 붙어 있는 직각삼각형 $CBM$ — 을 끄집어내 읽는 것이에요. 이것이 도구 #1(그림 그리기)의 "큰 그림 속에서 핵심 부분 도형을 부각시키기" 그대로입니다. 정사각형이 넓이가 같은 세 조각으로 나뉜다는 조건은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 신호 — 정사각형 전체를 한꺼번에 다루지 말고 $\triangle CBM$ 만 떼어 와서, 그 넓이로부터 한 직각변 $BM$ 을 구한 뒤 그 삼각형 하나에 피타고라스 정리를 쓰면 끝납니다. 연립방정식도, 좌표도 필요 없이 삼각형 하나가 모든 일을 합니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

세 영역 각각의 넓이를 구합니다.
정사각형 전체 넓이는 한 변 $\times$ 한 변이고, 세 영역이 그 넓이를 똑같이 나눠 가집니다.

$$\text{정사각형 넓이} = 3 \times 3 = 9, \quad \text{각 영역의 넓이} = \dfrac{9}{3} = 3$$

💡 3학년 "직사각형 넓이 = 변 $\times$ 변" 과 똑같이 "$3$ 등분" — 대수가 필요 없는 진입점입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 2

$\triangle CBM$ 만 클로즈업합니다.
그림에서 꼭짓점 $B$ 는 정사각형의 모서리이므로 그 각은 직각이에요.
이 직각삼각형의 두 직각변은 $BC$ (정사각형의 한 변 전체) 와 $BM$ (변 $AB$ 의 일부).
삼각형 넓이 공식으로 미지의 직각변 $BM$ 을 구합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \;\Rightarrow\; 3 = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM \;\Rightarrow\; BM = 2$$

💡 6학년 "다각형을 쪼개고 삼각형 넓이 공식 쓰기" — 그림이 이미 정사각형을 쪼개 놓았고, $\triangle CBM$ 이 직각삼각형이라는 점만 알아채면 표준 공식으로 $BM$ 이 잡힙니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형 $CBM$ 에 피타고라스 정리를 씁니다.
빗변이 우리가 찾는 $CM$.

$$CM^2 = BC^2 + BM^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 \;\Rightarrow\; CM = \sqrt{13} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 8학년 피타고라스 정리를, 직각변이 $3$ 과 $2$ 로 깔끔하게 잡힌 직각삼각형에 적용. 어림할 필요도 없이 $\sqrt{13}$ 이 선택지에 그대로 있습니다.

[1] #7 3.MD.C.7 세 영역 각각의 넓이를 구합니다. 정사각형 전체 넓이는 한 변 $\times$ 한 변이고, 세 영역이 그 넓이를 똑같이 나눠 가집니다.

[2] #1 6.G.A.1 $\triangle CBM$ 만 클로즈업합니다. 그림에서 꼭짓점 $B$ 는 정사각형의 모서리이므로 그 각은 직각이에요. 이 직각삼각형의 두 직각

[3] #7 8.G.B.7 직각삼각형 $CBM$ 에 피타고라스 정리를 씁니다. 빗변이 우리가 찾는 $CM$.

검토

합리성 확인: 두 가지로 점검합니다. (1) 길이 점검: $CM$ 은 직각변이 $3$ 과 $2$ 인 직각삼각형의 빗변이므로 두 직각변보다는 길고 $3 + 2 = 5$ 보다는 짧아야 합니다. $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{25} = 5$ 이므로 $\sqrt{13} \approx 3.61$ 이 정확히 그 사이. 단, $\sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ 도 모두 그 구간에 있으니 길이 점검만으로 답이 하나로 좁혀지진 않고, $9 + 4 = 13$ 이라는 정확한 계산이 결정합니다. (2) 대칭 점검: 그림은 대각선 $AC$ 에 대해 대칭이므로 $\triangle CDN$ 은 $\triangle CBM$ 과 합동이어야 해요. 그러면 $DN = BM = 2$ 가 되어 $\triangle CDN$ 의 넓이도 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$, 사각형 $AMCN$ 의 넓이는 $9 - 3 - 3 = 3$ — 세 영역이 실제로 같은 넓이라서 조건과 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 좌표로 옮겨 풀기. $A = (0,0)$, $B = (0,3)$, $C = (3,3)$, $D = (3,0)$ 으로 두고, $M = (0, m)$ 을 변 $AB$ 위의 점이라 합시다 ($0 < m < 3$). 삼각형 $CBM$ 의 꼭짓점은 $(3,3), (0,3), (0,m)$ 이고 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3 - m) = 3$, 따라서 $m = 1$, $BM = 3 - m = 2$. 거리 공식으로 $CM = \sqrt{(3-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$. 피타고라스 대신 거리 공식으로 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하고 직사각형의 넓이를 변의 길이의 곱으로 구하기 (정사각형의 넓이를 $3 \times 3 = 9$ 로 구하고, 그 넓이를 세 영역으로 나눠 각 영역의 넓이를 $3$ 으로 정하는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형 등으로 쪼개어 구하기 ($\triangle CBM$ 을 정사각형에서 잘라낸 직각삼각형으로 인식하고, $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 에 넓이 $3$ 과 직각변 $BC = 3$ 을 대입해 $BM = 2$ 를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 실세계·수학 문제 속 직각삼각형의 미지의 변 길이를 구하기 (직각삼각형 $CBM$ 의 빗변 $CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 정사각형을 넓이가 같은 세 조각으로 자른 다음, 모서리 직각삼각형 $CBM$ (넓이 $3$, 한 직각변 $3$) 에 집중해 나머지 직각변 $BM = 2$ 를 구하고, 피타고라스로 $CM = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ — 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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