AMC 8 · 2020 · #18
학년 8 geometry-2d문제
그림과 같이 직사각형 ABCD가 지름이 FE인 반원에 내접해 있습니다. DA=16이고 FD=AE=9일 때, 직사각형 ABCD의 넓이는 얼마입니까?
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AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반원 안에 직사각형 $ABCD$ 가 들어가 있고, 변 $\overline{DA}$ 는 반원의 지름 $\overline{FE}$ 위에 놓여 있습니다. 점 $D$ 와 $A$ 는 $F$ 와 $E$ 사이에 있고, 위쪽 두 꼭짓점 $B$, $C$ 는 반원의 곡선 위에 닿아 있습니다. $DA = 16$ 이고 $FD = AE = 9$ 일 때, 직사각형 $ABCD$ 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: $ABCD$ 는 반원에 내접한 직사각형이고, 반원의 지름은 $\overline{FE}$ 이다; 변 $\overline{DA}$ 는 지름 위에 놓여 있고, $DA = 16$; $FD = AE = 9$ (지름의 양쪽 자투리 길이가 같음); 꼭짓점 $B$ 와 $C$ 는 반원의 호 위에 있다; 선택지: (A) $240$, (B) $248$, (C) $256$, (D) $264$, (E) $272$
구하는 것: 직사각형 $ABCD$ 의 넓이
이해
문제 재정리: 반원 안에 직사각형 $ABCD$ 가 들어가 있고, 변 $\overline{DA}$ 는 반원의 지름 $\overline{FE}$ 위에 놓여 있습니다. 점 $D$ 와 $A$ 는 $F$ 와 $E$ 사이에 있고, 위쪽 두 꼭짓점 $B$, $C$ 는 반원의 곡선 위에 닿아 있습니다. $DA = 16$ 이고 $FD = AE = 9$ 일 때, 직사각형 $ABCD$ 의 넓이를 구하시오.
주어진 것: $ABCD$ 는 반원에 내접한 직사각형이고, 반원의 지름은 $\overline{FE}$ 이다; 변 $\overline{DA}$ 는 지름 위에 놓여 있고, $DA = 16$; $FD = AE = 9$ (지름의 양쪽 자투리 길이가 같음); 꼭짓점 $B$ 와 $C$ 는 반원의 호 위에 있다; 선택지: (A) $240$, (B) $248$, (C) $256$, (D) $264$, (E) $272$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
그림은 이미 있지만, 한 가지를 더 *추가* 하기 전까지는 핵심이 보이지 않습니다 (도구 #1). 반원의 중심 $O$ 를 표시하고 반지름 $\overline{OC}$ 를 그어 보세요. 이 한 줄만 더해도 문제는 곧바로 직각삼각형 $\triangle ODC$ 의 문제로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 넓이 구하는 과정을 세 조각으로 나눕니다 — (1) 지름에서 반지름 구하기, (2) 직각삼각형으로 높이 $CD$ 구하기, (3) 가로 $\times$ 세로로 넓이 구하기. 한 번에 한 가지 아이디어만 쓰면 됩니다.
실행 — 정답: A
4.NBT.B.4 단계 1 - 그림에 반원의 중심 $O$ 를 추가합니다.
- 지름은 $FE = FD + DA + AE = 9 + 16 + 9 = 34$ 이므로 반지름은 $r = 34 \div 2 = 17$ 입니다.
- $FD = AE = 9$ 라서 그림이 좌우 대칭이므로, 중심 $O$ 는 정확히 $\overline{DA}$ 의 중점에 위치합니다.
💡 $9 + 16 + 9$ 을 더하고 반으로 나누는 것은 4학년 여러 자리 수의 덧셈과 간단한 나눗셈이면 충분합니다.
3.OA.A.2 단계 2 - 중심에서 꼭짓점 $D$ 까지의 거리 $OD$ 를 구합니다.
- $O$ 가 $\overline{DA}$ 의 중점이고 $DA = 16$ 이므로 $OD = 16 \div 2 = 8$ 입니다.
- 이 값이 곧 사용할 직각삼각형의 짧은 변이 됩니다.
💡 길이 $16$ 을 반으로 나누는 것은 3학년 나눗셈 $16 \div 2 = 8$ 이면 끝납니다.
4.G.A.2 단계 3 - 반지름 $\overline{OC}$ 를 긋습니다.
- $C$ 가 반원 위의 점이므로 $OC = r = 17$ 입니다.
- 직사각형의 꼭짓점 $D$ 는 직각이므로 $\overline{OD} \perp \overline{DC}$, 따라서 $\triangle ODC$ 는 두 변 $OD$, $DC$ 가 직각변이고 빗변이 $OC$ 인 직각삼각형이 됩니다.
💡 직사각형의 두 이웃 변이 수직이라는 사실을 알아채고 새 삼각형을 표시하는 것이 4학년 "평행·수직" 단원의 핵심 능력입니다.
8.G.B.7 단계 4 - $\triangle ODC$ 에 피타고라스 정리를 적용해 직사각형의 높이 $CD$ 를 구합니다.
- 직각변이 $8$ 과 $CD$, 빗변이 $17$ 이므로 $8^{2} + CD^{2} = 17^{2}$ 이고, $CD^{2} = 289 - 64 = 225$, 따라서 $CD = \sqrt{225} = 15$ 입니다.
💡 직각삼각형에서 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 로 모르는 변을 구하는 것은 정확히 8학년 피타고라스 정리 표준입니다.
4.MD.A.3 단계 5 - 가로 $\times$ 세로로 직사각형의 넓이를 구합니다.
- $DA = 16$, $CD = 15$ 이므로 넓이는 $16 \times 15 = 240$ 이고, 선택지 (A) 와 일치합니다.
💡 직사각형 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로 공식은 4학년 때 배운 그대로입니다.
4.NBT.B.4 그림에 반원의 중심 $O$ 를 추가합니다. 지름은 $FE = FD + DA + AE = 9 + 16 + 9 = 34$ 이므로 반지름은 $r = 3.OA.A.2 중심에서 꼭짓점 $D$ 까지의 거리 $OD$ 를 구합니다. $O$ 가 $\overline{DA}$ 의 중점이고 $DA = 16$ 이므로 $OD 4.G.A.2 반지름 $\overline{OC}$ 를 긋습니다. $C$ 가 반원 위의 점이므로 $OC = r = 17$ 입니다. 직사각형의 꼭짓점 $D$ 는 8.G.B.7 $\triangle ODC$ 에 피타고라스 정리를 적용해 직사각형의 높이 $CD$ 를 구합니다. 직각변이 $8$ 과 $CD$, 빗변이 $17$ 4.MD.A.3 가로 $\times$ 세로로 직사각형의 넓이를 구합니다. $DA = 16$, $CD = 15$ 이므로 넓이는 $16 \times 15 = 240 검토
합리성 확인: 반지름이 $17$ 이고 직사각형의 절반 가로 $OD = 8$ 이므로 높이는 반드시 $17$ 보다 작아야 합니다 (반원 밖으로 튀어나갈 수 없으니까). 구한 $CD = 15$ 는 이 조건을 만족하고, 마침 잘 알려진 피타고라스 세 수 $(8, 15, 17)$ 위에 떨어집니다. 넓이 $16 \times 15 = 240$ 은 선택지 중 가장 작은 값인데, 이 직사각형이 가로는 길지만 세로가 그리 높지 않다는 그림의 인상과도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 직접 검산해도 빠릅니다. 각 후보 넓이 $A$ 는 $CD = A \div 16$ 을 강제하므로, 선택지 (A)$\sim$(E) 의 높이는 각각 $15, 15.5, 16, 16.5, 17$ 이 됩니다. $8^{2} = 64$ 를 더했을 때 $17^{2} = 289$ 가 나와야 하는데, $15^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289 = 17^{2}$ 로 $CD = 15$ 만 통과합니다. 나머지는 피타고라스 검산에서 모두 탈락하므로 답은 (A) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.OA.A.2자연수의 나눗셈의 몫 해석하기 ($DA = 16$ 을 반으로 나누어 직각삼각형의 짧은 변 $OD = 8$ 을 구하는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행하기 (지름을 이루는 세 조각 $9 + 16 + 9 = 34$ 를 더해 전체 지름 $FE$ 를 구하는 데 사용.)4.G.A.2평행·수직선의 존재로 평면도형을 분류하기 (직사각형의 두 이웃 변이 수직이라는 점을 이용해 $\triangle ODC$ 가 $D$ 에서 직각인 삼각형임을 인식.)4.MD.A.3실생활에서 직사각형의 넓이와 둘레 공식 적용 (직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로 $= 16 \times 15 = 240$ 으로 계산.)8.G.B.7직각삼각형에서 피타고라스 정리로 모르는 변의 길이 구하기 ($8^{2} + CD^{2} = 17^{2}$ 를 풀어 직사각형의 높이 $CD = 15$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 만 알면 풀 수 있어요!
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