AMC 8 · 2000 · #10

학년 6 arithmeticrate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Ara and Shea were once the same height. Since then Shea has grown 20% while Ara has grown half as many inches as Shea. Shea is now 60 inches tall. How tall, in inches, is Ara now?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Ara와 Shea는 예전에 키가 같았습니다. 그 뒤로 Shea는 키가 $20\%$ 자랐고, Ara는 Shea가 자란 길이의 절반(인치 기준)만큼 자랐습니다. 지금 Shea의 키는 $60$ 인치입니다. Ara의 지금 키는 몇 인치인가요?

주어진 것: Ara와 Shea의 예전 키는 같았다; Shea는 그 뒤로 키가 $20\%$ 자랐다; Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐다; Shea의 지금 키는 $60$ 인치; 선택지: (A) $48$, (B) $51$, (C) $52$, (D) $54$, (E) $55$

구하는 것: Ara의 지금 키 (인치)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #9 거꾸로 풀기

한 문장 안에 "백분율", "비교", "덧셈" 세 작은 아이디어가 들어 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 (a) 지금 $60$ 인치에서 Shea의 옛 키를 되돌리고, (b) Shea가 자란 인치를 구하고, (c) 그 절반을 Ara의 옛 키에 더해 끝냅니다. (a)는 "$\times 1.2$ 를 되돌리기 위해 $1.2$ 로 나누기" — 도구 #9(거꾸로 풀기)의 전형적인 움직임입니다. 변수나 방정식 없이, 각 작은 문제는 한 줄 산수면 됩니다.

실행 — 정답: E

#9 거꾸로 풀기 6.RP.A.3 단계 1

작은 문제 1: Shea의 옛 키를 되돌립니다.
"$20\%$ 자랐다" 는 새 키가 옛 키의 $100\% + 20\% = 120\%$ 라는 뜻이므로 $60 = 1.2 \times (\text{옛 키})$.
양변을 $1.2$ 로 나눠 성장 효과를 되돌립니다.

$$\text{Shea의 옛 키} = \dfrac{60}{1.2} = 50 \text{ 인치}$$

💡 옛 키의 $120\%$ 가 $60$ 이라면 옛 키 자체($100\%$)는 $\tfrac{60}{1.2} = 50$ — 성장 배율로 나누어 한 발 되돌립니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 2

작은 문제 2: Shea가 자란 인치를 구합니다.
새 키에서 옛 키를 뺍니다.

$$\text{Shea의 성장} = 60 - 50 = 10 \text{ 인치}$$

💡 성장 길이는 새 키와 옛 키의 차 — 두 키를 알면 뺄셈 한 번이면 됩니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.2 단계 3

작은 문제 3: Ara가 자란 인치를 구합니다.
Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐으므로 $10$ 인치의 절반을 잡습니다.

$$\text{Ara의 성장} = \dfrac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ 인치}$$

💡 "절반" 은 곱셈으로 표현되는 비교 — Shea의 성장에 $\tfrac{1}{2}$ 을 곱하면 Ara의 성장이 됩니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 4

정리: Ara의 옛 키는 Shea와 같은 $50$ 인치였고, 거기에 자란 $5$ 인치를 더합니다.

$$\text{Ara의 지금 키} = 50 + 5 = 55 \text{ 인치} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 지금 키 $=$ 옛 키 $+$ 자란 길이 — 세 작은 문제가 마지막 덧셈에서 합쳐집니다.

[1] #9 6.RP.A.3 작은 문제 1: Shea의 옛 키를 되돌립니다. "$20\%$ 자랐다" 는 새 키가 옛 키의 $100\% + 20\% = 120\%$ 라는 뜻이

[2] #7 4.OA.A.3 작은 문제 2: Shea가 자란 인치를 구합니다. 새 키에서 옛 키를 뺍니다.

[3] #7 4.OA.A.2 작은 문제 3: Ara가 자란 인치를 구합니다. Ara는 Shea가 자란 인치의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼 자랐으므로 $10$ 인치의 절반

[4] #7 4.OA.A.3 정리: Ara의 옛 키는 Shea와 같은 $50$ 인치였고, 거기에 자란 $5$ 인치를 더합니다.

검토

합리성 확인: 크기 점검: Ara는 Shea보다 적게 자랐으니 지금 키는 $50$ 보다는 크고 $60$ 보다는 작아야 합니다. 답 $55$ 는 정확히 그 사이에 있어 자연스럽습니다. 백분율 단계도 거꾸로 확인: $1.2 \times 50 = 60$ 으로 Shea의 지금 키와 맞습니다. 함정 선택지도 흔한 실수와 짝지어 있습니다. (A) $48$ 은 Shea의 $20\%$ 성장을 $60$ 에서 $20\%$ 빼는 것으로 착각한 경우. (D) $54$ 는 $60$ 의 $20\%$ ($= 12$) 의 절반 ($= 6$) 을 더했지만, $20\%$ 는 옛 키 기준이라는 점을 놓친 경우입니다. (E) 를 골랐다는 건 백분율을 먼저 되돌린 뒤 절반을 잡았다는 뜻이에요.

대안 접근: 도구 #6(짐작하고 확인하기): Shea가 $20\%$ 자랐다면 옛 키는 $1.2$ 배가 $60$ 으로 깔끔하게 떨어지는 "좋은" 수일 가능성이 큽니다. $50$ 을 넣어 보면 $50 + 0.2 \times 50 = 50 + 10 = 60$. 딱 맞으니 옛 키는 $50$, 성장은 $10$ 인치. 그 절반은 $5$ 이므로 Ara는 $50 + 5 = 55$ — 나눗셈 없이도 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율을 이용해 실세계 문제 해결하기 (양의 백분율 구하기 포함) ("$20\%$ 성장" 을 곱셈 배율 $1.2$ 로 읽고, $60 \div 1.2 = 50$ 으로 옛 키를 되돌리는 데 사용.)
4.OA.A.2 곱셈·나눗셈을 이용한 "~배" 비교 문장제 해결하기 ("절반의 인치" 를 $\tfrac{1}{2} \times 10 = 5$ 라는 곱셈 단계로 바꿔 Ara의 성장을 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결하기 ($60 - 50 = 10$ 으로 Shea의 성장을 구하고 $50 + 5 = 55$ 로 Ara의 지금 키를 더하는 데 사용.)

⭐ $20\%$ 성장은 새 값이 옛 값의 $1.2$ 배라는 뜻이라, $1.2$ 로 나누면 그대로 되돌릴 수 있어요. Shea가 자란 $10$ 인치를 알면 Ara의 "절반" 은 $5$ 인치이고, 같은 $50$ 인치에서 출발했으니 답은 $55$ — 선택지 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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