AMC 8 · 2000 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

interval-arithmeticfraction-decimal-conversionestimation bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversionmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many whole numbers lie in the interval between $\frac{5}{3}$ and $2\pi$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\tfrac{5}{3}$ 과 $2\pi$ 사이에 있는 정수(whole number) $n$ 의 개수를 구합니다.

주어진 것: 하한: $\tfrac{5}{3}$; 상한: $2\pi$; $\pi \approx 3.14159$; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) 무한히 많음

구하는 것: 열린 구간 $\left(\tfrac{5}{3},\, 2\pi\right)$ 안에 있는 정수의 개수

이해

문제 재정리: $\tfrac{5}{3}$ 과 $2\pi$ 사이에 있는 정수(whole number) $n$ 의 개수를 구합니다.

주어진 것: 하한: $\tfrac{5}{3}$; 상한: $2\pi$; $\pi \approx 3.14159$; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) 무한히 많음

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

두 끝값 모두 작은 정수 근처의 실수예요. 그러니 "이 사이에 어떤 정수가 들어갈까?" 만 답하면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔해요. 각 끝을 소수로 바꿔, 하한보다 큰 가장 작은 정수와 상한보다 작은 가장 큰 정수를 찾은 뒤 그 사이를 모두 나열하고 세면 끝납니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 5.NF.B.3 단계 1

하한을 소수로 바꿉니다.
$\tfrac{5}{3}$ 은 $5 \div 3$ 으로 읽을 수 있고, 그 값은 $1$ 과 $2$ 사이.

$$\tfrac{5}{3} = 5 \div 3 \approx 1.667$$

💡 5학년 "분수를 나눗셈으로 해석하기": $\tfrac{5}{3}$ 은 $5$ 를 $3$ 등분한 값이라 $1.6$ 보다 살짝 큼.

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.7 단계 2

상한을 소수로 바꿉니다.
$\pi \approx 3.14159$ 를 2 배.

$$2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$$

💡 5학년 소수 곱셈: $3.14$ 를 두 배 하면 $6.28$ 조금 넘어, $6$ 과 $7$ 사이.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.7 단계 3

$1.667$ 과 $6.283$ 사이의 정수를 모두 나열합니다.
$1.667$ 보다 큰 가장 작은 정수는 $2$, $6.283$ 보다 작은 가장 큰 정수는 $6$.
사이의 모든 정수도 조건을 만족합니다.

$$\{2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\} \;\Rightarrow\; 5 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 6학년 "수직선 위의 순서": 왼쪽에서 오른쪽으로 가며 두 끝값 사이에 들어가는 정수만 골라 세면 됩니다.

[1] #2 5.NF.B.3 하한을 소수로 바꿉니다. $\tfrac{5}{3}$ 은 $5 \div 3$ 으로 읽을 수 있고, 그 값은 $1$ 과 $2$ 사이.

[2] #2 5.NBT.B.7 상한을 소수로 바꿉니다. $\pi \approx 3.14159$ 를 2 배.

[3] #2 6.NS.C.7 $1.667$ 과 $6.283$ 사이의 정수를 모두 나열합니다. $1.667$ 보다 큰 가장 작은 정수는 $2$, $6.283$ 보다 작은 가장

검토

합리성 확인: 수직선을 그려 봅니다. $\tfrac{5}{3} \approx 1.67$ ($1$ 의 살짝 오른쪽), $2\pi \approx 6.28$ ($6$ 의 살짝 오른쪽). $2, 3, 4, 5, 6$ 은 모두 그 안에 들어가고, $1$ 은 $1.67$ 의 왼쪽, $7$ 은 $6.28$ 의 오른쪽이라 제외. 구간 폭은 약 $6.28 - 1.67 \approx 4.6$ 이라 정수 $5$ 개가 자연스럽게 들어맞습니다. 답 (D) 와 일치.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 수직선에 $\tfrac{5}{3}$ 과 $2\pi$ 를 표시하고 그 사이 구간에 색칠합니다. 색칠된 부분 안의 정수 눈금은 $2, 3, 4, 5, 6$ — 다섯 개. 구간이 유한하므로 그림 한 번에 (E) 가 제외되고, $1$ 과 $7$ 은 색칠 밖이라 빠진다는 것도 바로 보입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.B.3 분수를 분자 $\div$ 분모의 나눗셈으로 해석하기 ($\tfrac{5}{3}$ 을 $5 \div 3 \approx 1.667$ 로 읽어 하한을 정수와 비교 가능한 소수로 만드는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 ($\pi \approx 3.14159$ 를 2 배 하여 상한 $2\pi \approx 6.28318$ 을 구하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해, 수직선 위의 음수 포함 (각 후보 정수를 두 소수 끝값과 비교해 구간 안에 들어가는지 판단하고, 들어가는 것을 모두 나열한 뒤 개수를 세는 데 사용.)

⭐ $\tfrac{5}{3}$ 과 $2\pi$ 라는 까다로운 끝값을 소수로 바꾸면 $1.67$ 과 $6.28$ 사이의 정수만 찾으면 됩니다. $2, 3, 4, 5, 6$ 다섯 개로 답은 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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