AMC 8 · 2000 · #9

학년 6 arithmeticnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

exponentsdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationdigit-constraintscasework ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Three-digit powers of $2$ and $5$ are used in this "cross-number" puzzle. What is the only possible digit for the outlined square?
$\begin{array}{lcl} \textbf{ACROSS} & & \textbf{DOWN} \\ \textbf{2}.~ 2^m & & \textbf{1}.~ 5^n \end{array}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 작은 크로스넘버 격자에 두 칸 묶음이 있습니다. $\textbf{1 DOWN}$ 은 세 자리 $5$ 의 거듭제곱, $\textbf{2 ACROSS}$ 는 세 자리 $2$ 의 거듭제곱입니다. 그림에서 $\textbf{2 ACROSS}$ 는 $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데 행을 가로지르므로, $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데 자리 숫자가 $\textbf{2 ACROSS}$ 의 첫째 자리 숫자와 같습니다. 굵게 표시된 칸 — 즉 $\textbf{2 ACROSS}$ 의 일의 자리 숫자 — 를 구하세요.

주어진 것: $\textbf{1 DOWN}$ 은 세 자리 $5$ 의 거듭제곱이다; $\textbf{2 ACROSS}$ 는 세 자리 $2$ 의 거듭제곱이다; 격자 구조: $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데 자리 $=$ $\textbf{2 ACROSS}$ 의 첫째(백의) 자리; 굵게 표시된 칸은 $\textbf{2 ACROSS}$ 의 일의 자리; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: 굵게 표시된 칸의 숫자 ($\textbf{2 ACROSS}$ 의 일의 자리)

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

각 밑수의 세 자리 거듭제곱은 후보가 몇 개 안 되므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $5$ (또는 $2$) 를 계속 곱해 $100$ 부터 $999$ 사이에 들어가는 값만 모으면 모든 후보가 손에 들어옵니다. 양쪽 목록이 생기면 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 공유 칸 조건을 처리합니다 — 고른 $5$ 의 거듭제곱의 가운데 자리가 고른 $2$ 의 거듭제곱의 첫째 자리와 같아야 합니다. 양쪽을 나열하는 쪽이 어떤 대수적 우회보다 빠르고 안전합니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 1

세 자리 $5$ 의 거듭제곱을 나열합니다.
$5$ 를 계속 곱해 네 자리가 되기 전까지 적고, $100$ 이상 $999$ 이하인 값만 남깁니다.

$5^1=5,\ 5^2=25,\ 5^3=125,\ 5^4=625,\ 5^5=3125$. 세 자리: $\{125,\ 625\}$.

💡 6학년 "자연수 지수" 그대로 — $5^k$ 는 $5$ 를 $k$ 번 곱한 값입니다. $1000$ 을 넘어가면 멈춥니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 2

같은 방식으로 세 자리 $2$ 의 거듭제곱을 나열합니다.

$2^6=64,\ 2^7=128,\ 2^8=256,\ 2^9=512,\ 2^{10}=1024$. 세 자리: $\{128,\ 256,\ 512\}$.

💡 밑수만 $2$ 로 바뀌었을 뿐 같은 방법. 후보는 정확히 세 개입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.A.2 단계 3

격자 조건을 읽어 들입니다.
asy 그림에서 $\textbf{2 ACROSS}$ 가 $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데 행을 가로지르므로, $\textbf{2 ACROSS}$ 의 첫째(백의) 자리 숫자는 $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데(십의) 자리 숫자와 같습니다.
$\textbf{1 DOWN}$ 두 후보의 십의 자리를 확인합니다.

$125 \to \text{십의 자리 } 2$. $625 \to \text{십의 자리 } 2$. 어느 쪽이든: $\textbf{2 ACROSS}$ 의 첫째 자리 $= 2$.

💡 십의 자리 읽기는 4학년 자릿값 — 두 후보 모두 같은 값을 주므로 조건은 한 가지로 정해집니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.A.2 단계 4

세 자리 $2$ 의 거듭제곱 중 첫째 자리가 $2$ 인 것을 찾습니다.
$\{128, 256, 512\}$ 중 첫째 자리가 $2$ 인 수는 $256$ 뿐입니다.
따라서 $\textbf{2 ACROSS} = 256$ 이고, 일의 자리 숫자가 굵게 표시된 칸입니다.

$$\textbf{2 ACROSS} = 256 \;\Rightarrow\; \text{일의 자리} = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 첫째 자리 단서를 짧은 목록에 대조해 보면 $2$ 의 거듭제곱은 단 하나만 살아남습니다.

[1] #2 6.EE.A.1 세 자리 $5$ 의 거듭제곱을 나열합니다. $5$ 를 계속 곱해 네 자리가 되기 전까지 적고, $100$ 이상 $999$ 이하인 값만 남깁니다.

[2] #2 6.EE.A.1 같은 방식으로 세 자리 $2$ 의 거듭제곱을 나열합니다.

[3] #6 4.NBT.A.2 격자 조건을 읽어 들입니다. asy 그림에서 $\textbf{2 ACROSS}$ 가 $\textbf{1 DOWN}$ 의 가운데 행을 가로지르므로

[4] #6 4.NBT.A.2 세 자리 $2$ 의 거듭제곱 중 첫째 자리가 $2$ 인 것을 찾습니다. $\{128, 256, 512\}$ 중 첫째 자리가 $2$ 인 수는 $2

검토

합리성 확인: 직접 확인합니다. $5^3 = 125$ 든 $5^4 = 625$ 든 모두 십의 자리가 $2$ 이므로 공유 칸은 반드시 $2$. 세 자리 $2$ 의 거듭제곱($128$, $256$, $512$) 중 백의 자리가 $2$ 인 것은 $256$ 하나뿐. 굵게 표시된 칸은 $256$ 의 일의 자리이므로 $6$. $\textbf{1 DOWN}$ 으로 두 후보 어느 쪽을 골라도 답이 같으므로, 퍼즐이 유일한 해를 갖는 이유까지 함께 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 세 자리 $5$ 의 거듭제곱은 모두 $\dots 25$ 로 끝나므로 십의 자리는 항상 $2$ 입니다. 이 한 줄 관찰로 두 후보를 따로 적지 않고도 $\textbf{2 ACROSS}$ 의 백의 자리가 $2$ 임이 즉시 결정되고, $128, 256, 512$ 중 $256$ 을 골라 일의 자리 $6$ 을 읽으면 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수치 식을 쓰고 계산하기 (세 자리 $5$ 의 거듭제곱($125, 625$)과 세 자리 $2$ 의 거듭제곱($128, 256, 512$)을 반복 곱셈으로 구하는 데 사용.)
4.NBT.A.2 다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 (세 자리 수의 십의 자리($\textbf{1 DOWN}$)와 백의 자리·일의 자리($\textbf{2 ACROSS}$)를 읽어 격자 조건을 적용하고 굵게 표시된 칸 숫자를 알아내는 데 사용.)

⭐ 퍼즐이 "세 자리 $5$ 의 거듭제곱" 같은 규칙으로 수를 숨기면 후보는 보통 몇 개뿐이니 빠짐없이 적어 보세요. 그러면 격자의 공유 칸이 나머지 일을 대신 해 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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