AMC 8 · 2001 · #12
학년 6 arithmeticalgebra문제
If a⊗b=a−ba+b, then (6⊗4)⊗3=
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AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 처음 보는 연산이 $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$ 라는 규칙으로 정의되어 있어요. 두 수를 받아 한 수를 돌려주는 "약속" 입니다. 이 약속에 따라 $(6 \otimes 4) \otimes 3$ 의 값을 구해야 하는데, 괄호가 있으니 안쪽 $\otimes$ 부터 먼저 계산해야 합니다.
주어진 것: 규칙: $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$; 계산할 식: $(6 \otimes 4) \otimes 3$; 선택지: (A) $4$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $30$, (E) $72$
구하는 것: $(6 \otimes 4) \otimes 3$ 의 최종 수치
이해
문제 재정리: 처음 보는 연산이 $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$ 라는 규칙으로 정의되어 있어요. 두 수를 받아 한 수를 돌려주는 "약속" 입니다. 이 약속에 따라 $(6 \otimes 4) \otimes 3$ 의 값을 구해야 하는데, 괄호가 있으니 안쪽 $\otimes$ 부터 먼저 계산해야 합니다.
주어진 것: 규칙: $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$; 계산할 식: $(6 \otimes 4) \otimes 3$; 선택지: (A) $4$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $30$, (E) $72$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
괄호 덕분에 식이 "안쪽 먼저, 바깥쪽 나중" 의 구조로 자연스럽게 두 단계로 나뉘기 때문에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다 — 먼저 안쪽 $6 \otimes 4$ 의 값을 구하고, 그 결과를 가져와 바깥쪽 $\otimes 3$ 에 넣으면 됩니다. 낯선 기호 $\otimes$ 는 "작은 요리법" 처럼 다루어, 기호 양옆의 수를 규칙 속 $a$, $b$ 자리에 그대로 대입하면 평범한 사칙연산이 됩니다. 그리고 AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기) 으로 계산값이 다섯 개 선택지 중 하나와 정확히 맞는지 마지막에 한 번 확인해, 함정 선택지에 안전장치를 둡니다.
실행 — 정답: A
5.OA.A.1 단계 1 - 괄호를 기준으로 식을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
- (i) 안쪽 $6 \otimes 4$ 의 값을 먼저 구하고, (ii) 그 결과에 $\otimes 3$ 을 적용합니다.
- 괄호의 의미를 지키는 순서입니다.
💡 괄호를 먼저 처리하는 것은 5학년 "수식에서 괄호 사용하기" 그대로이고, 덕분에 풀어야 할 작은 문제가 두 개로 정리됩니다.
6.EE.A.2 단계 2 - $\otimes$ 규칙에 $a = 6$, $b = 4$ 를 대입합니다.
- 규칙은 $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$ 이므로 글자 자리에 숫자를 그대로 넣어 줍니다.
💡 정의된 식의 글자 $a$, $b$ 자리에 수를 대입하는 것은 6학년 "문자가 수를 나타내는 식의 값 구하기" 와 똑같은 동작입니다.
6.NS.B.2 단계 3 위·아래의 사칙연산을 끝낸 뒤 나눕니다.
💡 분자와 분모는 평범한 자연수 덧셈·뺄셈이고, $10 \div 2 = 5$ 는 6학년 자연수 나눗셈입니다.
6.EE.A.2 단계 4 - 안쪽 결과를 원래 자리에 다시 넣으면 식은 $5 \otimes 3$ 이 됩니다.
- 같은 $\otimes$ 규칙에 이번엔 $a = 5$, $b = 3$ 을 대입합니다.
💡 같은 "글자 자리에 수 대입" 동작을 바깥쪽 $\otimes$ 에 한 번 더 쓰면 계산이 마무리됩니다.
5.OA.A.1 단계 5 - 구한 값 $4$ 를 다섯 선택지 $4, 13, 15, 30, 72$ 와 맞춰 봅니다.
- 일치하는 것은 (A) 뿐이고 나머지는 모두 지워집니다.
- (함정 주의: (C) $15$ 는 모든 수를 그냥 더했을 때 나오는 값, (E) $72$ 는 $\otimes$ 를 곱셈으로 착각해 $6 \cdot 4 \cdot 3$ 을 계산한 값입니다.)
💡 계산값을 다섯 선택지에 맞춰 보는 AMC 객관식 습관이 (E) 같은 "$\otimes$ 는 곱셈 아냐?" 함정을 막아 줍니다.
5.OA.A.1 괄호를 기준으로 식을 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. (i) 안쪽 $6 \otimes 4$ 의 값을 먼저 구하고, (ii) 그 결과에 $\oti 6.EE.A.2 $\otimes$ 규칙에 $a = 6$, $b = 4$ 를 대입합니다. 규칙은 $a \otimes b = \dfrac{a+b}{a-b}$ 이므로 6.NS.B.2 위·아래의 사칙연산을 끝낸 뒤 나눕니다. 6.EE.A.2 안쪽 결과를 원래 자리에 다시 넣으면 식은 $5 \otimes 3$ 이 됩니다. 같은 $\otimes$ 규칙에 이번엔 $a = 5$, $b = 5.OA.A.1 구한 값 $4$ 를 다섯 선택지 $4, 13, 15, 30, 72$ 와 맞춰 봅니다. 일치하는 것은 (A) 뿐이고 나머지는 모두 지워집니다. ( 검토
합리성 확인: 중간값 두 개를 따로 검산해 봅시다. 안쪽은 $6+4 = 10$, $6-4 = 2$ 이므로 $10/2 = 5$ — 깔끔한 자연수. 바깥쪽은 $5+3 = 8$, $5-3 = 2$ 이므로 $8/2 = 4$ — 역시 깔끔한 자연수. 두 나눗셈 모두 자연수로 떨어진다는 사실 자체가 "규칙을 제대로 대입했다" 는 강한 신호예요. 규칙을 헷갈리면 보통 분수나 음수가 남거든요. 함정 선택지도 살펴보면 안심이 됩니다: (C) $15$ 는 모든 수를 합한 값, (D) $30$ 은 $5 \cdot 6$, (E) $72$ 는 $6 \cdot 4 \cdot 3$ — 각각 학생들이 자주 빠지는 실수와 정확히 맞물려 있어요. 우리는 규칙을 조심스럽게 읽어 모두 피해 갔습니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 낯선 기호를 익숙한 함수 이름으로 바꿔 봅시다 — $f(a, b) = \dfrac{a+b}{a-b}$ 로 두면 문제는 결국 $f(f(6, 4),\, 3)$ 이라는 "같은 함수를 두 번 적용한" 합성입니다. $f(6, 4) = 5$, $f(5, 3) = 4$ 로 같은 답 (A) 가 나오고, "한 기계의 출력을 같은 기계에 다시 넣는다" 라는 정의된 연산의 본질이 한눈에 보입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.OA.A.1수식에서 괄호, 대괄호, 중괄호를 사용하고 그 값 구하기 (괄호의 의미를 지켜 안쪽 $6 \otimes 4$ 를 먼저 계산하고, 마지막에 결과값을 객관식 선택지와 맞추는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (규칙 $\dfrac{a+b}{a-b}$ 의 글자 $a$, $b$ 자리에 $6, 4$ 를 대입하고, 같은 규칙에 $5, 3$ 을 한 번 더 대입해 식의 값을 구하는 데 사용 — 변수에 값을 넣어 식을 계산하는 동작 그 자체.)6.NS.B.2표준 알고리즘으로 여러 자릿수 자연수 나눗셈 능숙하게 하기 (각 적용을 마무리하는 자연수 나눗셈 $10 \div 2 = 5$, $8 \div 2 = 4$ 를 수행.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 "식의 글자 자리에 수를 대입해 계산하기" 를 두 번 반복하기만 하면 풀려요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 "식의 글자 자리에 수를 대입해 계산하기" 를 두 번 반복하기만 하면 풀려요!
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