AMC 8 · 2001 · #17

학년 6 rate-ratiopattern

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

percentagefraction-arithmeticratio-proportionsequences-geometric systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

For the game show Who Wants To Be A Millionaire?, the dollar values of each question are shown in the following table (where K = 1000).

$\begin{tabular}{rccccccccccccccc} \text{Question} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \text{Value} & 100 & 200 & 300 & 500 & 1\text{K} & 2\text{K} & 4\text{K} & 8\text{K} & 16\text{K} & 32\text{K} & 64\text{K} & 125\text{K} & 250\text{K} & 500\text{K} & 1000\text{K} \end{tabular}$

Between which two questions is the percent increase of the value the smallest?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

From 1 to 2

(B)

From 2 to 3

(C)

From 3 to 4

(D)

From 11 to 12

(E)

From 14 to 15

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 퀴즈쇼 Who Wants To Be A Millionaire? 의 $15$ 문제 상금은 일정하게 두 배씩 오르다가 중간에 불규칙한 폭으로 뜁니다. 주어진 다섯 쌍의 연속된 문제 중에서 상금 증가율(퍼센트)이 가장 작은 쌍을 찾으세요.

주어진 것: 문제 $1$~$15$ 의 상금: $100, 200, 300, 500, 1\text{K}, 2\text{K}, 4\text{K}, 8\text{K}, 16\text{K}, 32\text{K}, 64\text{K}, 125\text{K}, 250\text{K}, 500\text{K}, 1000\text{K}$; $1\text{K} = 1000$; 선택지: (A) $1 \to 2$, (B) $2 \to 3$, (C) $3 \to 4$, (D) $11 \to 12$, (E) $14 \to 15$

구하는 것: 다섯 쌍 중에서 상금 증가율이 가장 작은 쌍

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

후보가 다섯 개이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 분리됩니다 — 한 쌍씩 증가율을 계산한 뒤 비교만 하면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 두 번째 도구로 잘 맞아요. 선택지 다섯 개를 식에 직접 넣어 보고 가장 작은 값을 고르는 작업이니까요. 대수는 필요 없고 증가율 공식을 다섯 번 적용한 뒤 한 번 비교하면 끝입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

모든 쌍에 반복해서 쓸 증가율 공식을 먼저 적어 둡니다.
퍼센트의 기준(분모)은 항상 더 앞쪽(번호가 작은) 문제의 상금입니다.

$$\text{증가율} = \dfrac{V_{\text{new}} - V_{\text{old}}}{V_{\text{old}}} \times 100\%$$

💡 이전 값을 "전체"($100\%$ 의 기준)로 잡는 것이 6학년 백분율 변화의 표준 약속입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

표에서 상금 값을 직접 읽어 다섯 쌍에 공식을 적용하고 각 분수를 약분합니다.

$\text{(A)}\;\dfrac{200-100}{100} = 1 = 100\%$ $\text{(B)}\;\dfrac{300-200}{200} = \dfrac{1}{2} = 50\%$ $\text{(C)}\;\dfrac{500-300}{300} = \dfrac{2}{3} \approx 66.7\%$ $\text{(D)}\;\dfrac{125-64}{64} = \dfrac{61}{64} \approx 95.3\%$ $\text{(E)}\;\dfrac{1000-500}{500} = 1 = 100\%$

💡 (D)는 단위가 천 단위지만 비율을 잡으면 단위가 약분되어, $\tfrac{125-64}{64}$ 처럼 작은 수로 계산할 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.7 단계 3

다섯 퍼센트 값을 나란히 놓고 가장 작은 값을 고릅니다.
목록 $100\%,\;50\%,\;66.7\%,\;95.3\%,\;100\%$ 중 최솟값은 분명히 $50\%$ 입니다.

$$\min(100\%,\;50\%,\;66.7\%,\;95.3\%,\;100\%) = 50\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 유리수 다섯 개를 수직선 위에서 비교해 가장 작은 값을 고르는 것은 6학년 수 비교의 기본입니다.

[1] #7 6.RP.A.3 모든 쌍에 반복해서 쓸 증가율 공식을 먼저 적어 둡니다. 퍼센트의 기준(분모)은 항상 더 앞쪽(번호가 작은) 문제의 상금입니다.

[2] #6 6.RP.A.3 표에서 상금 값을 직접 읽어 다섯 쌍에 공식을 적용하고 각 분수를 약분합니다.

[3] #7 6.NS.C.7 다섯 퍼센트 값을 나란히 놓고 가장 작은 값을 고릅니다. 목록 $100\%,\;50\%,\;66.7\%,\;95.3\%,\;100\%$ 중 최솟

검토

합리성 확인: 더해지는 금액이 아니라 "기준이 되는 이전 값"이 퍼센트를 결정합니다. (A)는 $\$100$ 만 늘어나지만 기준도 $\$100$ 이므로 비율이 $100\%$ 로 매우 큽니다. (B)도 똑같이 $\$100$ 만 늘어나지만 기준이 $\$200$ 으로 두 배라서 퍼센트는 절반인 $50\%$ 로 줄어듭니다. 나머지 쌍은 모두 두 배($100\%$) 이거나 거의 두 배($95.3\%$) 라서, $50\%$ 인 (B) 만이 "두 배 미만" 의 유일한 증가입니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): 상금 표는 대부분 한 문제마다 두 배씩 오르는 패턴이라($100 \to 200 \to 400$ 같은 완전한 두 배 패턴) 증가율은 보통 $100\%$ 근처입니다. 이 두 배 패턴이 깨지는 곳은 $200 \to 300$ (단 $+50\%$) 과 $64\text{K} \to 125\text{K}$ (약 $+95\%$) 두 곳뿐입니다. 둘 중 더 크게 패턴이 깨진 — 즉 증가율이 더 작은 — 쪽은 문제 $2$ 에서 $3$ 이라, 답은 (B) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제(특히 퍼센트) 해결 (증가율 공식 $\tfrac{V_{\text{new}}-V_{\text{old}}}{V_{\text{old}}}\times 100\%$ 를 다섯 쌍에 각각 적용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (계산한 다섯 퍼센트 ($100\%, 50\%, 66.7\%, 95.3\%, 100\%$) 를 비교해 최솟값 고르기.)

⭐ 더해지는 금액이 같아도 기준값이 커지면 증가율은 작아져요 — 그래서 $\$200 \to \$300$ 의 $50\%$ 가 다섯 쌍 중 가장 작은 증가입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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