AMC 8 · 2001 · #19

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

rateratio-proportiongraph-reading identify-subproblems ↑ 선수 지식: rateratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Car M traveled at a constant speed for a given time. This is shown by the dashed line. Car N traveled at twice the speed for the same distance. If Car M and Car N's speed and time are shown as solid line, which graph illustrates this?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(speed-time graph) N at twice M's speed, both run for the same time

(B)

(speed-time graph) N at twice M's speed, but N runs longer than M

(C)

(speed-time graph) N's speed is lower than M's, same time

(D)

(speed-time graph) N at twice M's speed, N runs for half the time M does

(E)

(speed-time graph) N's speed is lower than M's, same time

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 자동차 M은 일정한 속력으로 어떤 시간 동안 달립니다. 속력-시간 그래프에서 점선으로 표시돼 있어요. 자동차 N은 M과 같은 거리를 달리되 속력은 M의 두 배입니다. 각 선택지 그래프에서 M은 점선, N은 실선으로 그려져 있어요. 어느 그래프가 N을 올바르게 보여 줄까요?

주어진 것: 그래프의 세로축은 속력, 가로축은 시간; M의 속력은 점선 가로 선분으로 표시되며, 그 선분의 가로 길이가 M의 이동 시간; N의 속력은 M의 두 배: $s_N = 2 s_M$; M과 N의 이동 거리는 같다; 선택지: 다섯 개의 속력-시간 그래프 (A)~(E)

구하는 것: 다섯 그래프 중 N에 대한 두 조건을 모두 만족하는 그래프

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #3 가능성 지우기

두 자동차가 공유하는 "변하지 않는 값" 은 거리입니다 — 도구 #11(변하지 않는 것 찾기). 속력-시간 그래프에서 거리는 선분 아래 직사각형의 넓이로 나타나므로, 두 직사각형의 넓이가 같아야 합니다. 속력 비 $s_N = 2 s_M$ 을 대입하면 넓이가 같다는 조건이 시간 비 $t_N = \tfrac{1}{2} t_M$ 을 강제합니다. "세로 두 배, 가로 절반" 두 조건이 정해지면, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 그래프를 차례로 점검해 둘 중 하나라도 어기는 선택지를 모두 지우면 답이 남습니다.

실행 — 정답: D

#11 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.3 단계 1

변하지 않는 값에 이름을 붙입니다.
두 자동차 모두 같은 거리 $d$ 를 갑니다.
속력-시간 그래프 위에서 속력 $s$ 로 시간 $t$ 동안 달린 선분 아래 직사각형의 넓이가 $s \times t$ 이고, 그것이 이동 거리입니다.

$$d = s_M \cdot t_M = s_N \cdot t_N$$

💡 두 자동차가 공유하는 숨은 양이 "거리" 입니다. 그것을 선분 아래 직사각형의 넓이로 읽으면 문제는 "직사각형 두 개의 넓이 비교" 로 바뀝니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.3 단계 2

속력 조건을 이용해 시간의 비율을 정합니다.
$s_N = 2 s_M$ 을 같은 거리 식에 대입하고 $s_M$ 을 약분합니다.

$$s_M \cdot t_M = (2 s_M) \cdot t_N \;\Rightarrow\; t_N = \dfrac{t_M}{2}$$

💡 거리가 고정인 상태에서 속력이 두 배면 시간은 절반이 됩니다. 같은 넓이, 세로 두 배 $\Rightarrow$ 가로 절반.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.1 단계 3

두 조건을 "점선 M 옆에 그려질 실선 N의 모습" 으로 옮깁니다: 두 배 높이, 절반 길이.

$$\text{높이}(N) = 2 \cdot \text{높이}(M), \quad \text{가로 길이}(N) = \tfrac{1}{2} \cdot \text{가로 길이}(M)$$

💡 이 두 시각적 조건 — 높이 두 배, 가로 절반 — 만 있으면 각 그래프의 합격·불합격을 판단할 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

각 선택지에 두 조건을 적용해 지워 나갑니다.
(A) 높이는 두 배이지만 가로가 같음(시간이 절반이 아님) — 탈락.
(B) 높이는 두 배이지만 N이 M보다 더 김(N이 더 오래 달림) — 탈락.
(C) N이 M보다 낮음(속력이 두 배가 아닌 더 작음) — 탈락.
(D) 높이는 두 배, 가로는 절반 — 두 조건 모두 통과.
(E) N이 M보다 낮음 — 탈락.

$$\text{(A) 가로 실패}, \;\text{(B) 가로 실패}, \;\text{(C) 높이 실패}, \;\text{(D) 통과}, \;\text{(E) 높이 실패} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 네 선택지가 규칙을 어기고, 살아남은 하나가 답입니다. 매번 처음부터 다시 풀기보다 "지우기" 가 훨씬 빠릅니다.

[1] #11 6.RP.A.3 변하지 않는 값에 이름을 붙입니다. 두 자동차 모두 같은 거리 $d$ 를 갑니다. 속력-시간 그래프 위에서 속력 $s$ 로 시간 $t$ 동안 달

[2] #11 6.RP.A.3 속력 조건을 이용해 시간의 비율을 정합니다. $s_N = 2 s_M$ 을 같은 거리 식에 대입하고 $s_M$ 을 약분합니다.

[3] #3 6.RP.A.1 두 조건을 "점선 M 옆에 그려질 실선 N의 모습" 으로 옮깁니다: 두 배 높이, 절반 길이.

[4] #3 6.RP.A.3 각 선택지에 두 조건을 적용해 지워 나갑니다. (A) 높이는 두 배이지만 가로가 같음(시간이 절반이 아님) — 탈락. (B) 높이는 두 배이지만

검토

합리성 확인: 구체적인 숫자로 확인해 봅시다. M이 시속 $60$ 마일로 $2$ 시간 달린다면 거리는 $60 \times 2 = 120$ 마일. 그러면 N은 시속 $120$ 마일로 같은 $120$ 마일을 가야 하므로 시간은 $\tfrac{120}{120} = 1$ 시간. 그래프에서 N은 M의 두 배 높이($120$ 대 $60$) 이면서 가로 길이는 절반($1$ 대 $2$) 이어야 합니다. (D) 만이 두 조건을 동시에 보여 주므로 답이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 넓이가 같으면서 한쪽이 다른 쪽의 두 배 높이가 되는 직사각형 두 개를 그려 봅니다. $2 \times 6$ 과 $4 \times 3$ 타일을 만져 본 사람이라면 "키 큰 직사각형은 폭이 좁아야 한다" 는 점이 즉각 보입니다. 그 "키 큰 N과 폭 넓은 M" 그림을 선택지와 맞춰 보면 (D) 가 유일합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($s_N = 2 s_M$ 을 속력 축에서 "$2{:}1$ 높이 비" 로 읽고, 같은 거리 조건을 시간 축에서 "$1{:}2$ 가로 길이 비" 로 옮기는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$ 을 이용해 같은 거리에서 $s_N = 2 s_M$ 로부터 $t_N = \tfrac{1}{2} t_M$ 을 유도하고, 이 비율 관계로 각 그래프를 점검하는 데 사용.)
6.EE.B.6 실생활 문제에서 수를 나타내는 변수를 쓰고 식을 세우기 (속력과 시간 $s_M, s_N, t_M, t_N$ 과 공통 거리 $d$ 에 이름을 붙여, 같은 거리 조건을 식 하나로 쓰고 시간 비를 풀어내는 데 사용.)

⭐ 속력-시간 그래프에서 거리는 각 선분 아래 직사각형의 넓이. 같은 거리에서 속력이 두 배면 시간은 절반 — 두 배 높이, 절반 가로. 이 시각적 한 줄로 (D) 가 잡혀요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기