AMC 8 · 2001 · #20

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

logical-deductionif-then-reasoning caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Kaleana shows her test score to Quay, Marty and Shana, but the others keep theirs hidden. Quay thinks, "At least two of us have the same score." Marty thinks, "I didn't get the lowest score." Shana thinks, "I didn't get the highest score." List the scores from lowest to highest for Marty (M), Quay (Q) and Shana (S).

답을 골라 클릭하세요.

(A)

S,Q,M

(B)

Q,M,S

(C)

Q,S,M

(D)

M,S,Q

(E)

S,M,Q

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 케일리아나는 자기 시험 점수를 퀘이, 마티, 셰이나에게 보여 주지만, 세 사람은 각자 자기 점수를 숨깁니다. 그래서 세 사람은 모두 두 점수만 알 수 있습니다 — 케일리아나의 점수와 자기 자신의 점수입니다. 퀘이는 "우리 중 적어도 두 명은 같은 점수야" 라고 생각하고, 마티는 "나는 꼴찌가 아니야", 셰이나는 "나는 1등이 아니야" 라고 생각합니다. 각자 자기가 볼 수 있는 두 점수만으로 확실히 말할 수 있는 사실을 사용해, 마티 ($M$), 퀘이 ($Q$), 셰이나 ($S$) 의 점수를 낮은 것부터 높은 순으로 나열하세요.

주어진 것: 케일리아나의 점수 $K$ 는 퀘이, 마티, 셰이나에게 보인다; 퀘이, 마티, 셰이나는 자기 점수와 $K$ 만 알고 있다; 퀘이의 생각: 네 점수 중 적어도 둘은 같다; 마티의 생각: $M$ 은 네 점수 중 꼴찌가 아니다; 셰이나의 생각: $S$ 는 네 점수 중 1등이 아니다; 선택지: (A) $\text{S,Q,M}$, (B) $\text{Q,M,S}$, (C) $\text{Q,S,M}$, (D) $\text{M,S,Q}$, (E) $\text{S,M,Q}$

구하는 것: $M$, $Q$, $S$ 를 낮은 점수부터 높은 점수 순으로 나열한 것

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

각자가 비교할 수 있는 점수는 두 개 — 자기 점수와 케일리아나의 점수 $K$ 뿐입니다. 그러니까 모든 생각은 그 한 번의 비교로 "확실해야" 합니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 가 핵심입니다. 퀘이·마티·셰이나 각각에 대해 자기 점수가 $K$ 보다 큰지·같은지·작은지 세 가지 경우를 따져 생각이 확실해지지 않는 경우를 지웁니다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 세 경우를 빠뜨리지 않도록 표 모양으로 정리해 주는 보조 도구예요. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 짧은 비교 세 번이면 답이 정해집니다.

실행 — 정답: A

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 1

퀘이를 확정합니다.
퀘이가 볼 수 있는 점수는 자기 점수 $Q$ 와 케일리아나의 $K$ 뿐입니다.
그는 "적어도 두 명은 같은 점수" 라고 확신합니다.
그가 확신할 수 있는 "같은 점수" 짝은 자기가 볼 수 있는 두 점수 사이에서만 나올 수 있습니다.
따라서 $Q = K$ 입니다.

$$Q = K$$

💡 퀘이는 마티나 셰이나의 점수를 볼 수 없으므로 "확실한 일치" 는 자기 점수와 케일리아나 점수 사이에만 있을 수 있어요.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 2

마티를 확정합니다.
마티는 $M$ 과 $K$ 만 보고 "나는 꼴찌가 아니다" 라고 확신합니다.
만약 $M < K$ 라면 마티는 보이지 않는 점수들에 따라 꼴찌가 될 수도 있습니다.
$K$ 와의 비교만으로 꼴찌가 아님을 확신할 수 있는 경우는 $M > K$ 뿐입니다.

$$M > K$$

💡 "꼴찌 아님" 이 보장되려면 마티가 자기가 볼 수 있는 한 점수 — 케일리아나 점수 — 를 이미 이기고 있어야 합니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 3

셰이나를 확정합니다.
셰이나는 $S$ 와 $K$ 만 보고 "나는 1등이 아니다" 라고 확신합니다.
똑같은 논리를 거울처럼 적용하면, 확신할 수 있는 경우는 $S < K$ 뿐입니다.

$$S < K$$

💡 "1등 아님" 이 보장되려면 셰이나가 자기가 볼 수 있는 한 점수에 이미 지고 있어야 합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.8 단계 4

세 결론을 묶습니다.
$Q = K$, $M > K$, $S < K$ 에 $K = Q$ 를 대입하면 $M$, $Q$, $S$ 가 한 수직선 위에서 비교됩니다.

$$S < K = Q < M \;\Rightarrow\; S < Q < M$$

💡 같은 기준점 $K$ 에 대한 세 부등식이 자연스럽게 한 줄로 늘어섭니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

그 순서를 읽고 선택지와 맞춥니다.
낮은 것부터 높은 순으로 $S$, $Q$, $M$ 입니다.

$$S, Q, M \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $S, Q, M$ 순으로 나열한 선택지는 (A) 뿐입니다.

[1] #3 6.EE.B.5 퀘이를 확정합니다. 퀘이가 볼 수 있는 점수는 자기 점수 $Q$ 와 케일리아나의 $K$ 뿐입니다. 그는 "적어도 두 명은 같은 점수" 라고 확신

[2] #3 6.EE.B.8 마티를 확정합니다. 마티는 $M$ 과 $K$ 만 보고 "나는 꼴찌가 아니다" 라고 확신합니다. 만약 $M < K$ 라면 마티는 보이지 않는 점수

[3] #3 6.EE.B.8 셰이나를 확정합니다. 셰이나는 $S$ 와 $K$ 만 보고 "나는 1등이 아니다" 라고 확신합니다. 똑같은 논리를 거울처럼 적용하면, 확신할 수

[4] #2 6.EE.B.8 세 결론을 묶습니다. $Q = K$, $M > K$, $S < K$ 에 $K = Q$ 를 대입하면 $M$, $Q$, $S$ 가 한 수직선 위에서

[5] #3 6.EE.B.5 그 순서를 읽고 선택지와 맞춥니다. 낮은 것부터 높은 순으로 $S$, $Q$, $M$ 입니다.

검토

합리성 확인: 숫자를 대입해 확인합니다. $K = 80$ 이라고 둡시다. 그러면 $Q = 80$, $M$ 은 $80$ 보다 큰 아무 값 (예: $90$), $S$ 는 $80$ 보다 작은 아무 값 (예: $70$). 각 생각을 점검해 보면 — 퀘이는 $80, 80$ 을 보고 두 점수가 같다고 확신할 수 있고, 마티는 $80, 90$ 을 보고 자기 ($90$) 가 꼴찌가 아님을 확신할 수 있으며, 셰이나는 $80, 70$ 을 보고 자기 ($70$) 가 1등이 아님을 확신할 수 있습니다. 순서는 $70 < 80 < 90$, 즉 $S < Q < M$ 으로 답 (A) 와 일치합니다. 다른 선택지는 $M$ 을 누군가 뒤에 두거나 ($M > K = Q$ 에 모순) $S$ 를 누군가 앞에 두어 ($S < K = Q$ 에 모순) 모두 실패합니다.

대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 다섯 선택지를 모두 늘어놓고 세 생각과 하나씩 대조합니다. (B) $Q,M,S$ 에서는 $S$ 가 1등이 되어 셰이나의 생각에 모순. (C) $Q,S,M$ 에서는 $S > Q$ 가 되어 셰이나의 결론 $S < K = Q$ 에 모순. (D) $M,S,Q$ 에서는 $M$ 이 꼴찌가 되어 마티의 생각에 모순. (E) $S,M,Q$ 에서는 $Q$ 가 셋 중 가장 높아 $Q > K$ 가 되고, 그러면 일치가 강제되지 않아 퀘이의 확신을 만들 수 없으므로 모순. 살아남는 것은 (A) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.5 방정식·부등식을 푼다는 것은 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 답하는 것임을 이해하기 ("자기 점수 > $K$", "= $K$", "< $K$" 세 경우를 각자의 생각과 맞춰 보고, 그 생각을 확실히 만드는 경우만 남기는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 조건 나타내기 (세 결론 $Q = K$, $M > K$, $S < K$ 를 부등식으로 적고, 이를 묶어 $S < Q < M$ 이라는 하나의 순서로 정리하는 데 사용.)

⭐ 세 사람 모두 자기 점수와 케일리아나 점수만 비교할 수 있어요. 그러니 모든 생각은 그 한 번의 비교로 "확실해야" 합니다. 퀘이의 "같은 점수" 는 $Q = K$, 마티의 "꼴찌 아님" 은 $M > K$, 셰이나의 "1등 아님" 은 $S < K$ 로 강제되고, 묶어 보면 $S < Q < M$, 답은 (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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