AMC 8 · 2001 · #21
학년 6 arithmeticnumber-theory문제
The mean of a set of five different positive integers is 15. The median is 18. The maximum possible value of the largest of these five integers is
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 서로 다른 양의 정수 다섯 개로 이루어진 집합이 있습니다. 다섯 수의 평균은 $15$, 중앙값은 $18$ 입니다. 이 다섯 수 중 가장 큰 수는 최대 얼마까지 될 수 있을까요?
주어진 것: 서로 다른 양의 정수 다섯 개; 다섯 수의 평균이 $15$; 다섯 수의 중앙값이 $18$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $35$, (E) $40$
구하는 것: 가장 큰 수의 최댓값
이해
문제 재정리: 서로 다른 양의 정수 다섯 개로 이루어진 집합이 있습니다. 다섯 수의 평균은 $15$, 중앙값은 $18$ 입니다. 이 다섯 수 중 가장 큰 수는 최대 얼마까지 될 수 있을까요?
주어진 것: 서로 다른 양의 정수 다섯 개; 다섯 수의 평균이 $15$; 다섯 수의 중앙값이 $18$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $35$, (E) $40$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
다섯 수의 합은 $75$ 로 고정입니다. 그러니까 가장 큰 수를 최대로 만드는 것은 나머지 네 수를 최소로 만드는 것과 같은 말이에요 — 이것이 도구 #11 (거꾸로 풀기) 의 핵심입니다. 목표 ("가장 큰 수") 에서 출발해, 나머지 자리에 들어갈 수 있는 가장 작은 값들을 거꾸로 끼워 넣는 거죠. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 순서대로 늘어놓아, 중앙값 조건과 "서로 다른 양의 정수" 조건을 자리별로 하나씩 확인하기 쉽게 해 줍니다.
실행 — 정답: D
6.SP.B.5 단계 1 - 평균을 합으로 바꿉니다.
- 다섯 수의 평균이 $15$ 이므로 합은 $5 \times 15 = 75$ 입니다.
- 어떤 다섯 수를 고르든 이 총합은 변하지 않습니다.
💡 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합. 총합이 고정되면 "한 자리를 키우기" 는 "다른 자리를 줄이기" 와 같은 뜻이 됩니다.
6.SP.A.3 단계 2 - 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 줄세웁니다: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
- 수가 다섯 개일 때 중앙값은 가운데 값이므로 $a_3 = 18$.
- 중앙값보다 작은 두 자리는 $18$ 미만, 중앙값보다 큰 두 자리는 $18$ 초과이어야 합니다.
💡 먼저 정렬해 두면 중앙값 규칙이 한눈에 보입니다 — 세 번째 자리가 곧 가운데 값이에요.
6.EE.B.8 단계 3 - $a_1$ 과 $a_2$ 를 최소로 만듭니다.
- 둘은 서로 다른 양의 정수이고 모두 $18$ 보다 작아야 합니다.
- 가장 작은 두 양의 정수는 $1$ 과 $2$ 이고, 둘 다 $18$ 미만이므로 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 는 조건을 만족하는 최소값입니다.
💡 중앙값 아래 두 자리를 최대한 줄이려면, 서로 다른 가장 작은 두 양의 정수를 고르면 됩니다.
6.EE.B.8 단계 4 - $a_4$ 를 최소로 만듭니다.
- $a_4$ 는 $18$ 보다 크고 $a_5$ 보다 작은 양의 정수여야 합니다.
- $18$ 보다 큰 가장 작은 정수는 $19$ 이므로 $a_4 = 19$.
💡 중앙값 바로 위 자리는 $18$ 을 넘어야 하고, 그 조건을 만족하는 가장 작은 정수는 $19$ 입니다.
6.EE.B.7 단계 5 - 총합에서 $a_5$ 를 구합니다.
- 나머지 네 자리의 합은 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이므로 $a_5 = 75 - 40 = 35$.
- 순서를 확인하면 $1 < 2 < 18 < 19 < 35$ 로 모두 서로 다른 양의 정수, 조건을 만족합니다.
💡 나머지 네 자리를 최솟값으로 못 박으면, $75$ 에서 남는 값이 곧 가장 큰 수의 최댓값입니다.
6.SP.B.5 평균을 합으로 바꿉니다. 다섯 수의 평균이 $15$ 이므로 합은 $5 \times 15 = 75$ 입니다. 어떤 다섯 수를 고르든 이 총합은 변 6.SP.A.3 다섯 자리를 작은 것부터 큰 것까지 줄세웁니다: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. 수가 다섯 개일 때 중앙값은 가운데 값이 6.EE.B.8 $a_1$ 과 $a_2$ 를 최소로 만듭니다. 둘은 서로 다른 양의 정수이고 모두 $18$ 보다 작아야 합니다. 가장 작은 두 양의 정수는 $1 6.EE.B.8 $a_4$ 를 최소로 만듭니다. $a_4$ 는 $18$ 보다 크고 $a_5$ 보다 작은 양의 정수여야 합니다. $18$ 보다 큰 가장 작은 정수 6.EE.B.7 총합에서 $a_5$ 를 구합니다. 나머지 네 자리의 합은 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이므로 $a_5 = 75 - 40 = 35$. 검토
합리성 확인: $a_5$ 를 $35$ 보다 더 키울 수 있는지 점검합니다. 그러려면 나머지 네 자리의 합이 $40$ 보다 작아져야 합니다. 그런데 중앙값 아래 두 자리는 이미 바닥 ($1 + 2 = 3$) 이고 중앙값은 $18$ 로 고정이므로, 줄일 여지는 $a_4$ 뿐. 하지만 $a_4$ 는 $18 < a_4 < a_5$ 인 정수여야 하므로 $a_4 \geq 19$ — 이미 최소입니다. 더 줄일 곳이 없으므로 $35$ 가 진짜 상한이고, 답 (D) 와 일치합니다. 다른 선택지는 모두 무너집니다 — (A) $19$ 는 $a_4$ 의 최솟값일 뿐 $a_5$ 가 아니고, (B) $24$ 와 (C) $32$ 는 예산을 다 쓰지 않아 더 키울 여지가 남으며, (E) $40$ 은 나머지 네 자리의 합이 $35$ 가 되어야 하는데 최솟값들의 합 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 이미 그보다 크므로 불가능.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 로 선택지를 큰 쪽부터 시험해 보기. (E) $a_5 = 40$ 가정: 나머지 네 수의 합 $= 75 - 40 = 35$, 그중 $18$ 을 빼면 나머지 세 수의 합 $= 17$. 그런데 그 세 수는 $1, 2$ ($18$ 미만의 서로 다른 양의 정수 최소) 와 $19$ ($18$ 초과 $40$ 미만의 정수 최소) 로 최소 $1 + 2 + 19 = 22 > 17$ — 불가능, (E) 제외. (D) $a_5 = 35$ 가정: 나머지 네 수의 합 $= 40$, 그리고 $1 + 2 + 18 + 19 = 40$ 으로 정확히 맞음 — 가능. 따라서 도달 가능한 최댓값은 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.A.3수치자료의 중심 측도는 모든 값을 하나의 수로 요약한다는 것 이해 ("중앙값 $= 18$" 을 "정렬한 다섯 수의 가운데 (세 번째) 값이 $18$" 로 읽어 $a_3$ 을 고정하고, 나머지 네 자리를 아래 둘 / 위 둘로 나누는 데 사용.)6.SP.B.5수치자료를 맥락에 맞춰 요약하기 (다섯 수의 평균 $= 15$ 를 고정된 총합 $a_1 + \cdots + a_5 = 75$ 로 바꿔, 그 예산을 자리별로 나누는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (네 자리를 최솟값으로 못 박은 뒤 $1 + 2 + 18 + 19 + a_5 = 75$ 를 풀어 $a_5 = 35$ 를 구하는 데 사용.)6.EE.B.8$x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 조건 나타내기 (중앙값·서로 다른 양의 정수 조건을 $a_1 < a_2 < 18 < a_4 < a_5$ 로 적고, 각 부등식을 만족하는 가장 작은 정수를 고르는 데 사용.)
⭐ 평균이 고정이면 총합도 고정. 한 수를 가장 크게 만들려면 나머지 네 수를 법이 허용하는 가장 작은 값까지 끌어내리면 됩니다. 여기서는 최솟값이 $1, 2, 18, 19$ 이므로 가장 큰 수는 $75 - 40 = 35$ — 답은 (D).
⭐ 평균이 고정이면 총합도 고정. 한 수를 가장 크게 만들려면 나머지 네 수를 법이 허용하는 가장 작은 값까지 끌어내리면 됩니다. 여기서는 최솟값이 $1, 2, 18, 19$ 이므로 가장 큰 수는 $75 - 40 = 35$ — 답은 (D).
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.