AMC 8 · 2001 · #4

학년 4 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

place-valuedigit-constraintsparitysystematic-enumeration systematic-enumerationcaseworkdigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valueparity

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문제

The digits 1, 2, 3, 4 and 9 are each used once to form the smallest possible even five-digit number. The digit in the tens place is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 모두 사용해 가능한 가장 작은 $5$ 자리 짝수를 만듭니다. 그때 십의 자리 숫자는 무엇입니까?

주어진 것: $1, 2, 3, 4, 9$ 다섯 숫자를 각각 정확히 한 번씩 사용한다; $5$ 자리 수는 짝수여야 한다; 그 중 가장 작은 수를 찾는다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $9$

구하는 것: 가장 작은 짝수의 십의 자리 숫자

이해

문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 모두 사용해 가능한 가장 작은 $5$ 자리 짝수를 만듭니다. 그때 십의 자리 숫자는 무엇입니까?

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #5 규칙 찾기

도구 #5(규칙 찾기)는 자리값 규칙을 알려줍니다 — 여러 자리 수에서는 왼쪽 자리가 가장 무겁기 때문에, 수를 작게 만들려면 작은 숫자부터 왼쪽에 차례로 놓아야 한다는 것이죠. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 비틀린 조건을 처리합니다 — 짝수 조건 때문에 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 하므로, 왼쪽부터 무작정 채우는 방식은 마지막 두 자리에서 부딪힐 수 있습니다. 그때 일의 자리만 바꿔 다시 확인하면 됩니다.

실행 — 정답: E

#5 규칙 찾기 4.NBT.A.2 단계 1

먼저 욕심껏 왼쪽부터 채워 봅니다.
$1 < 2 < 3 < 4 < 9$ 순서대로, 왼쪽 자리부터 가장 작은 숫자를 놓으면 $12349$ 가 나옵니다.

$$\text{첫 시도} = 12349$$

💡 자리값에 따르면 만의 자리가 가장 무거우므로 가장 작은 숫자가 그 자리에 들어가야 하고, 다음은 천의 자리, 그다음은 백의 자리 순으로 채웁니다.

#6 추측하고 확인하기 2.OA.C.3 단계 2

짝수 조건을 확인합니다.
$12349$ 의 일의 자리는 $9$ 로 홀수이므로 조건에 어긋납니다.
일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 합니다 — 주어진 숫자 중 짝수는 그 둘뿐입니다.

$$12349 \text{ 의 끝자리 } 9 \Rightarrow \text{홀수} \Rightarrow \text{불가}$$

💡 어떤 수가 짝수인지 아닌지는 일의 자리만 보면 알 수 있고, 사용 가능한 짝수는 $2$ 와 $4$ 입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.A.2 단계 3

일의 자리를 고정한 뒤 자리값 규칙을 다시 적용합니다.
수를 작게 만들려면 큰 짝수 $4$ 를 일의 자리에 보내고, 작은 짝수 $2$ 는 더 왼쪽 자리에 두어야 합니다.
그러면 남은 네 숫자 $1, 2, 3, 9$ 를 왼쪽부터 작은 순으로 놓아 만, 천, 백의 자리는 $1, 2, 3$ 이 차지하고, $9$ 가 십의 자리에 남습니다.

$$\underbrace{1}_{\text{만}}\ \underbrace{2}_{\text{천}}\ \underbrace{3}_{\text{백}}\ \underbrace{9}_{\text{십}}\ \underbrace{4}_{\text{일}} = 12394$$

💡 $2$ 보다 $4$ 를 일의 자리에 보내는 것이 유리합니다 — $2$ 가 더 작으므로 더 무거운 자리에 두는 편이 전체 수를 더 많이 낮춰 줍니다.

#5 규칙 찾기 4.NBT.A.2 단계 4

$12394$ 의 십의 자리 숫자를 읽습니다.

$$12394 \Rightarrow \text{십의 자리} = 9 \Rightarrow \textbf{(E)}$$

💡 십의 자리는 오른쪽에서 두 번째 자리이므로 $9$ 입니다.

[1] #5 4.NBT.A.2 먼저 욕심껏 왼쪽부터 채워 봅니다. $1 < 2 < 3 < 4 < 9$ 순서대로, 왼쪽 자리부터 가장 작은 숫자를 놓으면 $12349$ 가 나옵

[2] #6 2.OA.C.3 짝수 조건을 확인합니다. $12349$ 의 일의 자리는 $9$ 로 홀수이므로 조건에 어긋납니다. 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 합니다 —

[3] #6 4.NBT.A.2 일의 자리를 고정한 뒤 자리값 규칙을 다시 적용합니다. 수를 작게 만들려면 큰 짝수 $4$ 를 일의 자리에 보내고, 작은 짝수 $2$ 는 더 왼

[4] #5 4.NBT.A.2 $12394$ 의 십의 자리 숫자를 읽습니다.

검토

합리성 확인: 다른 후보와 비교해 봅니다. 일의 자리에 $2$ 를 놓았다면 남은 $1, 3, 4, 9$ 를 왼쪽부터 작은 순으로 채워 $13492$ 가 됩니다. $12394 < 13492$ 이므로 일의 자리에 $4$ 를 둔 선택이 맞습니다. 또 $12394$ 는 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 사용하고($\checkmark$) 끝이 $4$ 로 짝수임도 확인됩니다($\checkmark$). 마지막으로 십의 자리는 오른쪽에서 두 번째 — $1\,2\,3\,\underline{9}\,4 \to 9$, 답 (E) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 입니다. 각 경우에 남은 숫자를 왼쪽부터 작은 순으로 채우면 됩니다. 일의 자리 $= 2$ 이면 남은 $\{1,3,4,9\}$ 로 $13492$, 일의 자리 $= 4$ 이면 남은 $\{1,2,3,9\}$ 로 $12394$. 더 작은 쪽은 $12394$ 이고, 그 십의 자리는 $9$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 (왼쪽 자리의 자리값이 가장 크다는 사실을 이용해, 수를 작게 만들기 위해 가장 작은 숫자를 가장 왼쪽 자리에 두는 데 사용.)
2.OA.C.3 물체의 묶음(최대 $20$ 개)이 짝수인지 홀수인지 판별하기 (어떤 자연수가 짝수인지 여부는 일의 자리만 보면 된다는 사실을 이용해, 정답 수의 일의 자리를 $2$ 또는 $4$ 로 좁히는 데 사용.)

⭐ 수를 작게 만들려면 작은 숫자부터 왼쪽 자리로 보내면 되는데, "짝수여야 한다" 같은 조건이 한 자리를 차지하면 그 자리에는 허용된 숫자 중 큰 쪽을 두어 작은 숫자가 더 무거운 왼쪽에서 일하도록 두면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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