AMC 8 · 2004 · #14

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

coordinate-geometryarea-trianglesspatial-visualization coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

What is the area enclosed by the geoboard quadrilateral below?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$18\frac12$

(C)

$22\frac12$

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $10 \times 10$ 지오보드 위에서 못 $(4,0)$, $(0,5)$, $(3,4)$, $(10,10)$ 을 순서대로 이어 사각형을 그립니다. 이 사각형이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 꼭짓점 순서: $V_1=(4,0)$, $V_2=(0,5)$, $V_3=(3,4)$, $V_4=(10,10)$; 각 못은 단위 격자 위 정수 좌표에 있음; 선택지: (A) $15$, (B) $18\tfrac12$, (C) $22\tfrac12$, (D) $27$, (E) $41$

구하는 것: 사각형 $V_1 V_2 V_3 V_4$ 가 둘러싸는 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수 활용

도형이 좌표로 주어졌으니 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 네 못을 찍어 보면 $V_3$ 에서 안쪽으로 꺾이는 오목 사각형임이 보입니다. 오목 다각형을 한 덩어리로 다루기는 까다로우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 대각선 $V_1V_3$ 을 따라 두 개의 평범한 삼각형으로 나눕니다. 각 삼각형의 꼭짓점이 모두 정수 좌표이므로, 마무리는 도구 #13(대수 활용) — 좌표 넓이 공식을 적용합니다. 두 삼각형의 넓이를 더하면 전체 넓이입니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.NS.C.6 단계 1

꼭짓점을 모눈종이에 찍습니다.
$V_1=(4,0)$ 은 아래쪽, $V_2=(0,5)$ 는 왼쪽, $V_3=(3,4)$ 는 가운데 근처, $V_4=(10,10)$ 은 오른쪽 위 모서리입니다.
$V_1\to V_2\to V_3\to V_4\to V_1$ 순서로 이어 보면 $V_3$ 에서 안으로 꺾인 사변형 — 오목 사각형임을 확인할 수 있습니다.

$$V_1=(4,0),\ V_2=(0,5),\ V_3=(3,4),\ V_4=(10,10)$$

💡 좌표평면 위에 순서쌍을 찍는 것은 6학년 "좌표로 점 위치 찾기" 그대로입니다. 그림을 그리는 이유는 바로 이 모양을 눈으로 보기 위함입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

대각선 $V_1V_3$ 을 따라 사각형을 자릅니다.
$V_3$ 가 움푹 들어간(오목한) 꼭짓점이므로 $V_1$ 에서 $V_3$ 로 그은 대각선은 도형 안쪽에 머물러 두 개의 삼각형으로 나눕니다: 왼쪽의 삼각형 $A = V_1V_2V_3$, 오른쪽의 삼각형 $B = V_1V_3V_4$.
전체 넓이는 두 삼각형의 넓이의 합입니다.

$$\text{넓이}(V_1V_2V_3V_4) = \text{넓이}(A) + \text{넓이}(B)$$

💡 6학년 "다각형 합치고 쪼개기"에 따르면 어떤 다각형도 삼각형들로 나눌 수 있습니다. 오목 꼭짓점을 지나는 대각선이 자연스러운 절단선이에요.

#13 대수 활용 6.G.A.3 단계 3

꼭짓점이 $(4,0)$, $(0,5)$, $(3,4)$ 인 삼각형 $A$ 의 넓이를 좌표 넓이 공식으로 계산합니다.
$(x_1,y_1)=(4,0)$, $(x_2,y_2)=(0,5)$, $(x_3,y_3)=(3,4)$ 로 두고 대입하세요.

$$\text{넓이}(A) = \tfrac12\,|\,4(5-4) + 0(4-0) + 3(0-5)\,| = \tfrac12\,|4 + 0 - 15| = \tfrac{11}{2}$$

💡 좌표 넓이 공식은 6학년 "좌표평면 위의 다각형" 도구를 삼각형에 적용한 것입니다. 계산은 곱하고, 더하고, 절댓값 취하고, 반으로 나누는 것뿐.

#13 대수 활용 6.G.A.3 단계 4

꼭짓점이 $(4,0)$, $(3,4)$, $(10,10)$ 인 삼각형 $B$ 의 넓이도 같은 방식으로 계산합니다.
$(x_1,y_1)=(4,0)$, $(x_2,y_2)=(3,4)$, $(x_3,y_3)=(10,10)$ 으로 두고 대입.

$$\text{넓이}(B) = \tfrac12\,|\,4(4-10) + 3(10-0) + 10(0-4)\,| = \tfrac12\,|-24 + 30 - 40| = \tfrac{34}{2} = 17$$

💡 같은 공식, 다른 꼭짓점. 절댓값이 부호를 흡수해 주니 삼각형을 어느 방향으로 돌든 결과는 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

두 삼각형의 넓이를 더해 전체 넓이를 구합니다.

$$\text{전체} = \tfrac{11}{2} + 17 = \tfrac{11}{2} + \tfrac{34}{2} = \tfrac{45}{2} = 22\tfrac12 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 쪼개기는 마지막에 다시 합쳐야 의미가 있습니다. 그 합이 선택지 (C) 와 일치합니다.

[1] #1 6.NS.C.6 꼭짓점을 모눈종이에 찍습니다. $V_1=(4,0)$ 은 아래쪽, $V_2=(0,5)$ 는 왼쪽, $V_3=(3,4)$ 는 가운데 근처, $V_4

[2] #7 6.G.A.1 대각선 $V_1V_3$ 을 따라 사각형을 자릅니다. $V_3$ 가 움푹 들어간(오목한) 꼭짓점이므로 $V_1$ 에서 $V_3$ 로 그은 대각선은

[3] #13 6.G.A.3 꼭짓점이 $(4,0)$, $(0,5)$, $(3,4)$ 인 삼각형 $A$ 의 넓이를 좌표 넓이 공식으로 계산합니다. $(x_1,y_1)=(4,0

[4] #13 6.G.A.3 꼭짓점이 $(4,0)$, $(3,4)$, $(10,10)$ 인 삼각형 $B$ 의 넓이도 같은 방식으로 계산합니다. $(x_1,y_1)=(4,0)

[5] #7 6.G.A.1 두 삼각형의 넓이를 더해 전체 넓이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 사각형 전체에 픽의 정리(Pick's theorem)를 적용해 교차 검증합니다. 변에서 경계 격자점을 세면 $V_1V_2$ 는 $\gcd(4,5)=1$, $V_2V_3$ 는 $\gcd(3,1)=1$, $V_3V_4$ 는 $\gcd(7,6)=1$, $V_4V_1$ 은 $\gcd(6,10)=2$ 이므로 $V_4V_1$ 위에 내부 격자점 한 개 — 중점 $(7,5)$ — 가 추가됩니다. 따라서 $B=4+1=5$. 오목 영역 내부의 못 개수를 그림으로 세면 $I=21$. 픽의 정리: $\text{넓이} = I + B/2 - 1 = 21 + 2.5 - 1 = 22.5$. (C) 와 정확히 일치합니다. 또한 지오보드 다각형의 넓이는 항상 $\tfrac12$ 의 배수이므로 반정수가 아닌 답은 자동으로 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)을 다시 써서, 이번에는 삼각형 $B$ 를 외접 직사각형 안에 가둡니다. 삼각형 $B$ 의 꼭짓점 $(4,0)$, $(3,4)$, $(10,10)$ 은 직사각형 $[3,10]\times[0,10]$ (넓이 $70$) 안에 들어갑니다. 모서리 직각삼각형 세 개를 빼면: 오른쪽 아래 $(4,0)$–$(10,0)$–$(10,10)$ 의 넓이 $\tfrac12\cdot 6\cdot 10=30$; 왼쪽 아래 $(3,0)$–$(4,0)$–$(3,4)$ 의 넓이 $\tfrac12\cdot 1\cdot 4=2$; 왼쪽 위 $(3,4)$–$(3,10)$–$(10,10)$ 의 넓이 $\tfrac12\cdot 6\cdot 7=21$. 따라서 $\text{넓이}(B)=70-30-2-21=17$ 로 공식과 일치. 같은 방식으로 삼각형 $A$ 가 $\tfrac{11}{2}$ 임을 확인한 뒤 합하세요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하고 좌표평면으로 확장 (1단계에서 지오보드 네 못을 좌표평면 위 순서쌍으로 찍는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형의 넓이를 삼각형 등으로 합치거나 쪼개어 구하기 (오목 사각형을 대각선 $V_1V_3$ 을 따라 두 삼각형으로 나누고, 두 넓이를 더해 전체를 얻는 데 사용.)
6.G.A.3 꼭짓점 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면 위에 그리기 (각 삼각형의 꼭짓점 좌표를 좌표 넓이 공식 $\tfrac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ 에 대입해 넓이를 구하는 데 사용.)

⭐ 좌표 도형이 이상하거나 움푹 들어 보이면 먼저 그림을 그리고 대각선으로 쪼개세요. 깔끔한 두 삼각형은 오목 사각형 하나보다 항상 다루기 쉽고, 넓이 공식은 각 조각을 따로따로 처리해 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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