AMC 8 · 2002 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremarea-trianglesperfect-squares identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

Right isosceles triangles are constructed on the sides of a 3-4-5 right triangle, as shown. A capital letter represents the area of each triangle. Which one of the following is true?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

X+Z=W+Y

(B)

W+X=Z

(C)

3X+4Y=5Z

(D)

$X+W=\frac{1}{2}(Y+Z)$

(E)

X+Y=Z

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형의 세 변마다 직각이등변삼각형을 바깥쪽에 하나씩 붙여 그렸습니다. 안쪽 직각삼각형의 넓이를 $W$, 길이 $3$, $4$, $5$ 인 변에 붙은 바깥쪽 삼각형의 넓이를 각각 $X$, $Y$, $Z$ 라 합시다. 다섯 개 후보 식 중 항상 참인 것은 무엇일까요?

주어진 것: 안쪽 삼각형: 두 변이 $3, 4$, 빗변이 $5$ 인 직각삼각형, 넓이 $W$; 세 개 바깥쪽 직각이등변삼각형($45\text{-}45\text{-}90$): 각 삼각형은 안쪽 삼각형의 한 변을 두 변(다리) 중 하나로 공유함; $X$ 는 길이 $3$ 인 변, $Y$ 는 길이 $4$ 인 변, $Z$ 는 길이 $5$ 인 빗변 위에 놓임; 선택지: (A) $X+Z=W+Y$, (B) $W+X=Z$, (C) $3X+4Y=5Z$, (D) $X+W=\tfrac{1}{2}(Y+Z)$, (E) $X+Y=Z$

구하는 것: 다섯 개 후보 식 중 네 넓이에 대해 항상 참인 식

이해

계획

주요 도구: #10 관련 문제 활용하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

직각삼각형의 세 변마다 같은 종류의 도형을 하나씩 붙인 구도 — 이건 피타고라스 정리 증명에서 늘 나오는 그림입니다. 도구 #10(관련 문제 활용하기)은 다섯 개 선택지를 일일이 따져 보는 대신 $3^2 + 4^2 = 5^2$ 를 그대로 쓰자고 알려 줍니다. 길이 $s$ 인 변 위의 바깥쪽 삼각형 넓이는 $\tfrac{1}{2}s^2$ 이므로, 세 바깥쪽 넓이는 세 변의 제곱의 정확히 절반. 피타고라스 식의 양변에 $\tfrac{1}{2}$ 만 곱하면 $X+Y=Z$ 가 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 $W, X, Y, Z$ 를 하나씩 계산하고 선택지에 대입하는 정리 작업을 담당합니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

안쪽 $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형의 넓이 $W$ 를 구합니다.
두 변 $3, 4$ 가 직각을 이루므로 그대로 밑변과 높이입니다.

$$W = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

💡 6학년 "직각삼각형의 넓이 $= \tfrac{1}{2}$ 밑변 $\times$ 높이" 를 두 다리에 그대로 적용.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

$X, Y, Z$ 를 구합니다.
각 바깥쪽 삼각형은 직각이등변삼각형이고 두 다리가 안쪽 삼각형의 변과 같으므로, 변의 길이가 $s$ 인 경우 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}s^2$ 입니다.

$$X = \tfrac{1}{2}\cdot 3^2 = 4.5,\quad Y = \tfrac{1}{2}\cdot 4^2 = 8,\quad Z = \tfrac{1}{2}\cdot 5^2 = 12.5$$

💡 두 다리가 모두 $s$ 인 직각이등변삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}s \cdot s = \tfrac{1}{2}s^2$ — 그 변 위의 정사각형의 절반.

#10 관련 문제 활용하기 8.G.B.7 단계 3

피타고라스 패턴을 인식합니다.
안쪽 삼각형은 $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형이므로 $3^2 + 4^2 = 5^2$.
양변에 $\tfrac{1}{2}$ 를 곱하면 바깥쪽 삼각형 넓이와 일치합니다.

$$3^2 + 4^2 = 5^2 \;\Rightarrow\; \tfrac{1}{2}\cdot 3^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 4^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5^2 \;\Rightarrow\; X + Y = Z$$

💡 8학년 "피타고라스 정리 적용" — 직각삼각형의 세 변 위에 닮은 도형을 하나씩 붙이면, 세 도형이 변 위 정사각형의 같은 비율을 차지하므로 항상 바깥$_a$ + 바깥$_b$ = 바깥$_c$ 가 성립.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 4

계산한 $W=6,\,X=4.5,\,Y=8,\,Z=12.5$ 를 선택지에 대입해 확인합니다.
(A) $X+Z = 4.5+12.5 = 17$, $W+Y = 6+8 = 14$ — 불일치.
(B) $W+X = 6+4.5 = 10.5 \ne 12.5 = Z$ — 불일치.
(C) $3X+4Y = 13.5+32 = 45.5$, $5Z = 62.5$ — 불일치.
(D) $X+W = 10.5$, $\tfrac{1}{2}(Y+Z) = \tfrac{1}{2}\cdot 20.5 = 10.25$ — 불일치.
(E) $X+Y = 4.5+8 = 12.5 = Z$ — 일치.

$$X+Y = 4.5 + 8 = 12.5 = Z \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 6학년 "식을 참으로 만드는 값 확인하기" — 수치 대입에서도 오직 (E) 만 살아남고, 이는 피타고라스 논증과 정확히 일치.

[1] #7 6.G.A.1 안쪽 $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형의 넓이 $W$ 를 구합니다. 두 변 $3, 4$ 가 직각을 이루므로 그대로 밑변과 높이입

[2] #7 6.G.A.1 $X, Y, Z$ 를 구합니다. 각 바깥쪽 삼각형은 직각이등변삼각형이고 두 다리가 안쪽 삼각형의 변과 같으므로, 변의 길이가 $s$ 인 경우 바

[3] #10 8.G.B.7 피타고라스 패턴을 인식합니다. 안쪽 삼각형은 $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형이므로 $3^2 + 4^2 = 5^2$. 양변에 $

[4] #7 6.EE.B.5 계산한 $W=6,\,X=4.5,\,Y=8,\,Z=12.5$ 를 선택지에 대입해 확인합니다. (A) $X+Z = 4.5+12.5 = 17$, $W

검토

합리성 확인: 서로 다른 두 경로가 같은 결론을 줍니다. 직접 계산: $W=6,\,X=4.5,\,Y=8,\,Z=12.5$ 로 (E) 만 수치적으로 성립. 구조적 논증: 각 바깥쪽 넓이는 그 변 위 정사각형의 $\tfrac{1}{2}$ 배이므로, 피타고라스 식 $3^2+4^2=5^2$ 에 $\tfrac{1}{2}$ 만 곱하면 $X+Y=Z$ 가 $3\text{-}4\text{-}5$ 뿐 아니라 모든 직각삼각형에서 성립. 구조적 관점은 $W$ 가 정답 식에 등장하지 않는 이유도 설명해 줍니다 — $W$ 는 안쪽 삼각형이고 어떤 변 위에도 "붙은" 도형이 아니기 때문.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) + 정사각형 대체: 각 직각이등변삼각형을 그 변 위의 정사각형으로 바꿉니다(정사각형 하나는 같은 직각이등변삼각형 두 개와 같습니다). 그러면 그림은 직각삼각형 세 변 위 정사각형 — 고전적 피타고라스 그림 — 이 되고, 두 다리 위 정사각형 넓이는 $2X, 2Y$, 빗변 위 정사각형은 $2Z$. 피타고라스 정리로 $2X + 2Y = 2Z$, 양변을 $2$ 로 나누면 같은 답 $X + Y = Z$ — (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 직사각형 합성·삼각형 분해로 직각삼각형 등 도형의 넓이 구하기 ($W = \tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4 = 6$ 과 변 $s = 3,4,5$ 에 대한 $X,Y,Z = \tfrac{1}{2}s^2$ 를 계산하는 데 사용.)
6.EE.B.5 값을 대입해 식을 참으로 만드는 값 확인하기 ($W=6,\,X=4.5,\,Y=8,\,Z=12.5$ 를 다섯 선택지에 대입해 오직 (E) 만 성립함을 확인하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 적용해 미지의 길이 구하기 ($3^2 + 4^2 = 5^2$ 에 $\tfrac{1}{2}$ 를 곱해 선택지 대입 없이도 $X + Y = Z$ 를 유도하는 데 사용.)

⭐ $3\text{-}4\text{-}5$ 직각삼각형의 세 변 위에 직각이등변삼각형을 붙인 그림은 결국 피타고라스 그림 — 각 넓이가 "변 위 정사각형" 의 절반이라, $3^2+4^2=5^2$ 가 그대로 $X+Y=Z$ 로 옮겨집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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